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Schule Beweis durch Widerspruch
Mathelehrlingm
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Dabei seit: 25.05.2022
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  Themenstart: 2022-06-11

Wenn a und b durch 7 teilbar sind, ist auch die Summe a+b durch 7 teilbar. Direkt wäre ja folgendermaßen: a=7x b=7y a+b=7x+7y=7*(x+y) Könntet ihr mir beim Beweis durch Widerspruch helfen?


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-11

Das ist eine Aussage, die nicht durch Widerspruch bewiesen werden muss. Diese Beweismethode würde den Beweis unnötig verkomplizieren.


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Mathelehrlingm
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-11

Das weiß ich, aber die Aufgabenstellung fordert einen Beweis durch Widerspruch. Falls mir jemand helfen könnte, wäre das sehr freundlich.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-11

\quoteon(2022-06-11 14:32 - Mathelehrlingm in Beitrag No. 2) Das weiß ich, aber die Aufgabenstellung fordert einen Beweis durch Widerspruch. Falls mir jemand helfen könnte, wäre das sehr freundlich. \quoteoff Angenommen, 7 ist kein Teiler von a+b ... jetzt kommt dein Beweis von oben ... also ist 7 doch ein Teiler von a+b. Widerspruch.


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HellsKitchen
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-11

Hallo deinen direkten Beweis könnte man, leicht angepasst, in jedem Ring verwenden. Die Behauptung folgt sofort aus dem Distributivgesetz. Die Annahme: \(7 \nmid (a + b)\) führt zu: 7x + 7y = a + b \(\neq 7*z\) insbesondere für z = x + y Das Distributivgesetz gilt nicht allgemein. Widerspruch! Gruß Hellskitchen [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Mathelehrlingm
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-11

Danke für eure Mühe


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Triceratops
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-11

Die Beweise bisher hier sind ja keine echten Widerspruchsbeweise, sie umschreiben nur den direkten Beweis. Hier ein echter Widerspruchsbeweis. Nehmen wir anstelle von $7$ auch gleich eine beliebige Primzahl $p$. (Die ursprüngliche Aussage gilt natürlich für jede Zahl, aber der folgende Widerspruchsbeweis eben nur für Primzahlen.) Seien $a,b \in \IZ$ mit $p \mid a$, $p \mid b$ und $p \not\mid a+b$. Weil $p$ prim ist, bedeutet das $\mathrm{ggT}(p,a)=p$, $\mathrm{ggT}(p,b)=p$ und $\mathrm{ggT}(p,a+b)=1$. Der ggT von $x,y$ ist ein Erzeuger des Ideals $\langle x,y \rangle$. Es folgt $\IZ = \langle p,a+b \rangle \subseteq \langle p,a \rangle + \langle p,b \rangle = \langle p \rangle + \langle p \rangle = \langle p \rangle,$ Widerspruch.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-11

\quoteon(2022-06-11 18:56 - Triceratops in Beitrag No. 6) Die Beweise bisher hier sind ja keine echten Widerspruchsbeweise, sie umschreiben nur den direkten Beweis. \quoteoff #3 sollte eigentlich ein Scherz sein 🙃


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Triceratops
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-06-11

@StrgAltEntf: Ja, nur leider werden tatsächlich viele "Widerspruchsbeweise" genau so geführt. 😃


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Mathelehrlingm hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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