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thureduehrsen
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 |  Beitrag No.40, eingetragen 2022-06-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
\quoteon(2022-06-12 20:32 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 38)
\quoteon(2022-06-12 20:12 - thureduehrsen in Beitrag No. 37)
Du musst zeigen, dass die Menge \(\{x\in\mathbb{R}^d:\|x\|_1=r\}\) beschränkt ist. Also, dass es eine reelle Zahl \(M\geq 0\) so gibt, dass die Norm eines jeden Elements der Menge \(\{x\in\mathbb{R}^d:\|x\|_1=r\}\) nicht größer als \(M\) ist.
Welches \(M\) bietet sich da an?
\quoteoff
-> r selbst
\quoteoff
Finde ich auch.\(\endgroup\)
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Prinzessinaladina
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 | Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12
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\quoteon(2022-06-12 20:36 - thureduehrsen in Beitrag No. 39)
\quoteon Aber wie begründest du, dass das Komplement offen ist?
\quoteon -> Das Komplement umfasst alle x, für die die Norm kleiner oder größer r ist, d.h. die Menge enthält ausschließlich innere Punkte.
\quoteoff \quoteoff
Der Gedanke ist richtig. Aber warum ist jeder der Punkte der Menge \(\{x\in\mathbb{R}^d:\|x\|_1\neq r\}\) ein innerer Punkt in \(\mathbb{R}^d\)?
-> Weil ich für jeden dieser Punkte einen Radius R>0 finden kann, so dass die offene Kugel mit Mittelpunkt x und Radius R immer noch in der Menge liegt.
mfg
thureduehrsen
\quoteoff
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.39 begonnen.]
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thureduehrsen
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| Beitrag No.42, eingetragen 2022-06-12
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\quoteon(2022-06-12 20:39 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 41)
Weil ich für jeden dieser Punkte einen Radius R>0 finden kann, so dass die offene Kugel mit Mittelpunkt x und Radius R immer noch in der Menge liegt.
\quoteoff
Jo. Passt.
Schreibe bitte deine Antworten nicht in den zitierten Bereich, da man sonst schwer erkennen kann, was von wem stammt.
Unterbrich das Zitat mittels
\sourceon MP-Forumstexteingabe
\quoteoff
\sourceoff
und nimm es mit
\sourceon MP-Forumstexteingabe
\quoteon
\sourceoff
wieder auf.
mfg
thureduehrsen
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Prinzessinaladina
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| Beitrag No.43, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12
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Dankeschön, jetzt bin ich glücklich und zufrieden.
Ich wünsche einen schönen Abend.
Herzlich
Prinzessinaladina
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thureduehrsen
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| Beitrag No.44, eingetragen 2022-06-12
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Weil es so schön war: schreibe deinen fertigen Beweis von Anfang bis Ende hier hin. So richtig schön ausformuliert und lehrbuchreif.
mfg
thureduehrsen
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Prinzessinaladina
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| Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12
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Das mache ich, wenn ich meine Serie komplett ordentlich ausformuliert habe - nur werde ich es als Foto einstellen müssen, weil ich bis dahin nicht LaTeX-fit sein kann.
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zippy
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 | Beitrag No.46, eingetragen 2022-06-12
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\quoteon(2022-06-12 20:39 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 41)
-> Weil ich für jeden dieser Punkte einen Radius R>0 finden kann, so dass die offene Kugel mit Mittelpunkt x und Radius R immer noch in der Menge liegt.
\quoteoff
Das ist ja die Definition von "offen". Es wird aber nicht gesagt, warum man im vorliegenden Fall solche Kugeln finden kann. Also steht da im Wesentlichen "die Menge ist offen, weil sie offen ist".
Irgendwo muss die Stetigkeit von $x\mapsto\|x\|_1$ ausgenutzt werden. Man kann beispielsweise argumentieren, dass $\{\|x\|_1=r\}$ als Urbild der abgeschlossenen Menge $\{r\}$ unter einer stetigen Abbildung abgeschlossen ist.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.44 begonnen.]
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Prinzessinaladina
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| Beitrag No.47, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-17
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Guten Morgen, das ist mein Vorschlag:
Seite 1:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54157_Bildschirmfoto_2022-06-17_um_07.35.27.png
Seite 2
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54157_Bildschirmfoto_2022-06-17_um_07.35.24.png
Viele Grüße
Prinzessinaladina
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thureduehrsen
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| Beitrag No.48, eingetragen 2022-06-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Guten Morgen,
da geht leider noch einiges durcheinander.
Es ist unschön, in der Voraussetzung einen Vektor \(x\) einzuführen, der später nicht gebraucht wird.
Die Formulierung "Es sind die Abbildungen \(\mathbb R^d\to \mathbb R\) und \(x\mapsto \|x\|\) stetig" ist sehr unglücklich. Es ist eine Abbildung, die von \(\mathbb R^d\) nach \(\mathbb R\) geht und jedes \(x\in \mathbb R^d\) auf \(\|x\|\) abbildet. Nebenbei taucht hier eine Norm ohne Index auf.
Du schreibst "Das Bild der Abbildung \(x\mapsto \|x\|_{(1)}\) ist \(\{r\}\)". Warum sollte das so sein? Von wo nach wo geht diese Abbildung?
Weiter: "und da für alle \(x\in\mathbb R^d\) gilt \(\|x\|_{(1)}=r\)".
Das stimmt nicht.
Ich werde bis heute Abend mal meine eigene Version des Beweises schreiben.\(\endgroup\)
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thureduehrsen
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| Beitrag No.49, eingetragen 2022-06-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
\quoteon(2022-06-17 09:16 - thureduehrsen in Beitrag No. 48)
Ich werde bis heute Abend mal meine eigene Version des Beweises schreiben.
\quoteoff
\showon
Aufgabe:
Sei \(d\in\mathbb{N}_{>0}\), und seien \(\|\cdot\|_{(1)}\) und \(\|\cdot\|_{(2)}\) zwei beliebige Normen auf \(\mathbb{R}^d\).
Sei \(r\) eine positive reelle Zahl.
Begründen Sie, dass
\[
\min\{\|x\|_1\colon\, x\in \mathbb{R}^d \land \|x\|_{(2)} = r\}
\]
existiert und größer als 0 ist.
Lösung:
Die grundsätzliche Idee stammt von StrgAltEntf.
\showon
\quoteon(2022-06-12 12:56 - StrgAltEntf in Beitrag No. 26)
Überlege dir, dass
(i) $\{x\in\IR^r:\|x\|_1=r\}$ kompakt und
(ii) die Abbildung $\IR^d\to\IR$, $x\mapsto\|x\|_2$ stetig ist.
Was folgt daraus für die Existenz des Minimums?
Wieso kann das Minimum nicht 0 sein?
\quoteoff
\showoff
Dass jede Norm \(\|\cdot\|:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}\) stetig ist, setzen wir als bekannt voraus.
Wir zeigen zunächst, dass die Menge
\[
R:=\{x\in\mathbb{R}^d:\|x\|_{(2)}=r\}
\]
kompakt ist.
\showon
Dazu zeigen wir, dass sie beschränkt und abgeschlossen ist.
Die Beschränkheit ist hierbei klar, denn jedes Element der Menge \(R\) hat Norm \(r\).
Einem Vorschlag von zippy folgend, definieren wir
\[
N_2:\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)\to \mathcal{P}(\mathbb{R}),\ A\mapsto\{\|x\|_{(2)}:x\in A\}
\]
und haben die Stetigkeit dieser Abbildung zu zeigen.
\showon
Freiwillige vor!
\showoff
Es ist \(\{r\}\) als einpunktige Menge abgeschlossen, und ihr Urbild unter \(N_2\) ist damit ebenfalls abgeschlossen. Dies ist aber gerade die Menge \(R\).
\showoff
Also ist die Menge \(R\) kompakt.
Nun folgt die zu zeigende Aussage wie folgt:
Da die Abbildung \(\|\cdot\|_{(1)}:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}\) als Norm stetig ist, ist das Bild der kompakten Menge \(R\) ebenfalls kompakt.
\showon
Bilder kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen sind kompakt.
Aber um welche Abbildung geht es?
Doch wohl um
\[
N_1:\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)\to \mathcal{P}(\mathbb{R}),\ A\mapsto\{\|x\|_{(1)}:x\in A\}
\]
Ihre Stetigkeit ist noch zu zeigen!
Freiwillige vor!
\showoff
Also ist die Menge
\[
N_1(R)=\{\|x\|_{(1)}: x\in\mathbb{R}^d\land \|x\|_{(2)}=r\}
\]
kompakt.
Also hat sie ein kleinstes Element \(m\) (wende den Satz vom Max. und Min. auf die stetige Abbildung \(\id:N_1(R)\to N_1(R)\) an).
Es ist nun noch \(m>0\) zu zeigen.
Sei also \(x_0\in\mathbb{R}^d\) so gewählt, dass \(\|x_0\|_{(1)}=m\) gilt.
Wegen \(r>0\) und der Definitheit von \(\|\cdot\|_{(2)}\) ist der Nullvektor nicht in der Menge \(R\) enthalten.
Wegen der Definitheit von \(\|\cdot\|_{(1)}\) ist die reelle Zahl 0 auch kein Element von \(N_1(R)\), und damit (Definitheit von \(\|\cdot\|_{(2)}\)) ist \(x_0\) nicht der Nullvektor, also ist \(m>0\).
\showoff
Wer schließt die Lücken?
Prinzessinaladina, ich schiele da mal ganz kräftig zu dir.
Was kann man hieran sonst noch verbessern?
mfg
thureduehrsen
\(\endgroup\)
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zippy
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| Beitrag No.50, eingetragen 2022-06-17
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\quoteon(2022-06-17 14:46 - thureduehrsen in Beitrag No. 49)
Einem Vorschlag von zippy folgend, definieren wir
\[
N_2:\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)\to \mathcal{P}(\mathbb{R}),\ A\mapsto\{\|x\|_{(2)}:x\in A\}
\]
und haben die Stetigkeit dieser Abbildung zu zeigen.
\quoteoff
Warum sollten wir so eine schreckliche mengenwertige Abbildung betrachten wollen? Mein Vorschlag war:
\quoteon(2022-06-12 20:39 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 41)
Irgendwo muss die Stetigkeit von $x\mapsto\|x\|_1$ ausgenutzt werden. Man kann beispielsweise argumentieren, dass $\{\|x\|_1=r\}$ als Urbild der abgeschlossenen Menge $\{r\}$ unter einer stetigen Abbildung abgeschlossen ist.
\quoteoff
Die Abbildung, um die es geht, ist also einfach $\mathbb R^d\to\mathbb R$, $x\mapsto\|x\|_{(2)}$.
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thureduehrsen
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| Beitrag No.51, eingetragen 2022-06-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
\quoteon(2022-06-17 15:05 - zippy in Beitrag No. 50)
Die Abbildung, um die es geht, ist also einfach $\mathbb R^d\to\mathbb R$, $x\mapsto\|x\|_{(2)}$.
\quoteoff
\showon
Dann haben wir aber ein Problem, denn die Norm nimmt nur einzelne Elemente aus \(\mathbb{R}^d\) und keine Teilmengen von \(\mathbb{R}^d\) als Argumente.
Locker-flockig-sprachlich habe ich wenig einzuwenden, aber formal-typentheoretisch schon 😎
\showoff
Schreiben wir jetzt also einfach
Wir zeigen zunächst, dass die Menge
\[
R:=\{x\in\mathbb{R}^d:\|x\|_{(2)}=r\}
\]
kompakt ist.
Dazu zeigen wir, dass sie beschränkt und abgeschlossen ist.
Die Beschränkheit ist hierbei klar, denn jedes Element der Menge \(R\) hat Norm \(r\).
Es ist \(\{r\}\) als einpunktige Menge abgeschlossen, und ihr Urbild unter \(\|\cdot\|_{(2)}\) ist damit ebenfalls abgeschlossen. Dies ist aber gerade die Menge \(R\).
Also ist die Menge \(R\) kompakt.
und sind glücklich?
Und gleichermaßen lassen wir den nächsten hide-Block auch einfach komplett weg?
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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zippy
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| Beitrag No.52, eingetragen 2022-06-17
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\quoteon(2022-06-17 16:03 - thureduehrsen in Beitrag No. 51)
Dann haben wir aber ein Problem, denn die Norm nimmt nur einzelne Elemente aus \(\mathbb{R}^d\) und keine Teilmengen von \(\mathbb{R}^d\) als Argumente.
\quoteoff
Erinnere dich daran, wie Bild und Urbild einer Abbildung definiert sind: Zu einer Abbildung $f\colon X\to Y$ ist das Bild einer einer Menge $A\subseteq X$ die Menge $f(A)=\{f(x):x\in A\}$ und das Urbild einer Menge $B\subseteq Y$ die Menge $f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}$.
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thureduehrsen
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| Beitrag No.53, eingetragen 2022-06-17
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Guter Einwand.
mfg
thureduehrsen
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Prinzessinaladina
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| Beitrag No.54, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-06
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Liebe Unterstützer,
ich habe auf die oben hochgeladene handschriftliche Lösung die volle Punktzahl bekommen. Danke nochmals und viele Grüße
Prinzessinaladina
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| Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
thureduehrsen
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| Beitrag No.55, eingetragen 2022-07-07
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Schön zu hören!
Leichte Abzüge in der B-Note wären gerechtfertigt, aber den Kern der Argumentation hast du gut dargelegt.
mfg
thureduehrsen
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