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Ingenieurwesen » Technische Mechanik » Biegelinie Balken veränderlicher Querschnitt (asymmetrisch)
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Beruf Biegelinie Balken veränderlicher Querschnitt (asymmetrisch)
tomst
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 07.07.2022
Mitteilungen: 1
  Themenstart: 2022-07-07

Hallo Zusammen! Vielleicht könnt ihr mir helfen. Leider ist meine Mechanikvorlesung doch schon etwas her. ;-) Ich versuche die Biegelinie eine Balkens zu berechnen. Dieser hat einen rechteckigen Querschnitt und eine variable Höhe vergleichbar mit einem rechtwinkligen Trapez. An der dicken Seite des Trapez ist der Balken eingespannt. Auf das dünne Ende wirkt eine Kraft. Die variable Höhe konnte ich berechnen: h(x)=tan(\alpha)*x+h(x0) Sollte man den Tangens ersetzen dürfen bekomme ich analog: h(x)=a/l*x+h(x0) Diese Terme würde ich nun in die Formel für das Flächenträgheitsmoment eines rechteckigen Querschnitts einsetzen: I(x)=1/12*b*[tan(\alpha)*x+h(x0)]^3 Für die Berechnung der Biegelinie würde ich dieses in die DGL der Biegelinie einsetzen und integrieren. Hier im Forum gibt es schon ein ähnliches (älteres) Problem (hier), auch in Gross-TM II Formeln & Aufgaben ist ein Beispiel mit variabler Breite enthalten. Beide genannten Beispiele sind jedoch symmetrisch bzw. sehen symmetrisch aus. Nun frage ich mich aber, ob meine Berechnung so zulässig ist. Bei den obigen Beispielen sollte der Schwerpunkt bzw. dessen Koordinatensystem ja konstant sein. Die Schwerpunkte der infinitesimalen Abschnitte meines Balkens sind es aber nicht bzw. die Schwerachse des Balkens liegt wahrscheinlich nicht mittig in der dünnen Stelle. Hier bin ich etwas ratlos. Könnt ihr mir eventuell weiterhelfen? Danke schon mal! https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55727_Matheplanet.jpg


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-07

Hallo tomst, im Grunde kannst Du es genauso machen wie dort. Die DGL Deiner Biegelinie lautet $$w''(x)=-\frac{M_b(x)}{\frac16Ebh^3(x)}$$(Das Minus ist Definitionssache - bitte für Deinen Anwendungsfall prüfen). In dieser DGL kommt nur die zweite Ableitung vor, Du musst bekanntermaßen zweimal integrieren, um auf die Biegelinie zu kommen, und dabei werden zwei Integrationskonstanten hinzugefügt. Und erst da entsteht der Unterschied. Die neutrale Faser des Balkens läuft durch die Mitte des Balkens. Das führt jedoch nur dazu, dass man beim Einsetzen entsprechender Randwerte aufpassen muss. Während man bei einem horizontalen Balken normalerweise an der Einspannstelle $w'=0$ setzt, musst Du hier halt $w'=-\frac a{2l}$ einsetzen, weil das die Neigung ist, unter der die Balkenachse im unbelasteten Zustand verläuft. Ciao, Thomas


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