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| Autor |
 Zweite Quantisierung von Boson-Fermion-Systemen |
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Skalhoef
Aktiv 
Dabei seit: 29.01.2017
Mitteilungen: 242
Wohnort: Uppsala (Schweden)
 |  Themenstart: 2022-07-07
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Hej,
ich hatte gehofft, dass mir mal jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Im Buch von Mahan (Abschnitt 3.4 in der dritten Auflage) betrachtet man das Boson-Fermion-System
\[ H = H_{ \text{el}} + H_{ \text{ph}} + H_{ \text{int}} \]
mit $H_{ \text{el}} = \sum_{ \mathbf{p} , \sigma} \epsilon_{\mathbf{p}} c_{ \mathbf{p} \sigma}^{\dagger} c_{ \mathbf{p} \sigma}$, $H_{ \text{ph}} = \sum_{ \mathbf{p} , \sigma} \omega_{\mathbf{q}} a_{ \mathbf{q} }^{\dagger} a_{ \mathbf{q}}$ und
\[ H_{ \text{int}} \propto \sum_{ \mathbf{q}} M_{\mathbf{q}} \left( a_{ \mathbf{q}} + a_{ - \mathbf{q}}^{\dagger} \right) \sum_{\mathbf{p} \sigma} c_{ \mathbf{p} + \mathbf{q} \sigma}^{\dagger} c_{ \mathbf{p} \sigma} \]
Also "Elektronengas $+$ Phononengas $+$ Wechselwirkung".
Was mich verwundert ist die Herkunft bzw. die Gestalt der Wechselwirkung. In einführenden Vorlesungen zur Vielteilchenphysik (etwa hier in Abschnitt 3.5) wird ein Standard-Rezept dargelegt um von einer rein fermionischen oder rein bosonischen Ein-Teilchen-Theorie hin zu einer rein fermionischen oder rein bosonischen Viel-Teilchen-Theorie überzugehen.
Frage: Gibt es für den "gemixten" Fall auch ein solches Standard-Rezept? Woher kommt der obige Hamiltonian?
Ich freue mich auf Rückmeldungen.
Vänliga hälsningar
Sebastian
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PhysikRabe
Senior 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2455
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-07
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Välkommen tillbaka, Sebastian,
wenn ich das richtig interpretiere (ich habe das von dir erwähnte Buch nicht zur Hand) dann ist $\sigma$ hier ein Spin-Index, und $H$ ist wohl sowas wie der Fröhlich-Hamiltonian*, richtig? Dann beschreibt die Wechselwirkung $H_{\mathrm{int}}$ in jedem Summanden im Wesentlichen die Emission bzw. Absorption eines Phonons mit Impuls $-\mathbf{q}$ bzw. $\mathbf{q}$, wodurch der Impuls $\mathbf{p}$ eines Elektrons aufgrund von Streuung zu $\mathbf{p}+\mathbf{q}$ geändert wird (unter Erhaltung des Spins).
Die Herleitung (inklusive aller Vorfaktoren wie Streuamplituden und so Zeug) bzw. die Motivation dahinter ist natürlich etwas umfangreicher, aber ich kann mir nicht vorstellen, dass das nicht auch irgendwo in deinem Buch genauer ausgeführt wird. Hättest du noch weitere Informationen dazu?
Jedenfalls beschreibt das Modell eine konkrete physikalische Situation. Natürlich kann man bei der Konstruktion eines Hamiltonians bis zu einem gewissen Grad raten, zumindest was die prinzipielle Struktur betrifft. Aber ein "Standard-Rezept" ist mir nicht bekannt.
Grüße,
PhysikRabe
* H. Fröhlich, "Electrons in lattice fields", Advances in Physics 3, 325-361 (1954), https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00018735400101213
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