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Analysis » Grenzwerte » Grenzwert einer Wurzelfunktion
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Universität/Hochschule J Grenzwert einer Wurzelfunktion
Max_804
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  Themenstart: 2022-07-07

Hallo, die Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass für alle t_0 > 0 der Grenzwert $$ \lim\limits_{t\to\\t_0}\frac{\sqrt{t}-\sqrt{t_0}}{t-t_0} $$ existiert und bestimmen Sie diesen. Ich bräuchte Hilfe bei der Aufgabe, da ich nicht weiß wie ich mit der Wurzel umgehen soll.


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-07

Hallo, faktorisiere einmal den Nenner, so dass du den Bruch kürzen kannst (Stichwort: "3. Binom"...) Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant]


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Max_804
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08

\quoteon(2022-07-07 13:45 - Diophant in Beitrag No. 1) Hallo, faktorisiere einmal den Nenner, so dass du den Bruch kürzen kannst (Stichwort: "3. Binom"...) Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant] \quoteoff Ich weiß jetzt nicht, ob ich es richtig verstanden habe, aber so? $$ \frac{(\sqrt{t}-\sqrt{t_0})(t+t_0)}{(t-t_0)(t+t_0)} $$


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-07-08 17:41 - Max_804 in Beitrag No. 2) Ich weiß jetzt nicht, ob ich es richtig verstanden habe, aber so? $$ \frac{(\sqrt{t}-\sqrt{t_0})(t+t_0)}{(t-t_0)(t+t_0)} $$ \quoteoff Nein, das hast du falsch verstanden. Versuche einmal, unter Ausnutzung von \(t_0>0\) ausschließlich den Nenner des Terms zu faktorisieren. Dabei sollte im Idealfall ein Faktor dann dem Zähler entsprechen... Falls du Bedenken bzgl. der Gültigkeit dieser Faktorsierung hast, die ich meine: wenn man \(t_0>0\) hat und das ganze auf einer hinreichend kleinen Umgebung um \(t_0\) betrachtet, dann darf man das tun, es kollidiert insbesondere nicht mit der Definition der Quadratwurzel. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Max_804
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08

\quoteon(2022-07-08 17:48 - Diophant in Beitrag No. 3) \quoteon(2022-07-08 17:41 - Max_804 in Beitrag No. 2) Ich weiß jetzt nicht, ob ich es richtig verstanden habe, aber so? $$ \frac{(\sqrt{t}-\sqrt{t_0})(t+t_0)}{(t-t_0)(t+t_0)} $$ \quoteoff Nein, das hast du falsch verstanden. Versuche einmal, unter Ausnutzung von \(t_0>0\) ausschließlich den Nenner des Terms zu faktorisieren. Dabei sollte im Idealfall ein Faktor dann dem Zähler entsprechen... Falls du Bedenken bzgl. der Gültigkeit dieser Faktorsierung hast, die ich meine: wenn man \(t_0>0\) hat und das ganze auf einer hinreichend kleinen Umgebung um \(t_0\) betrachtet, dann darf man das tun, es kollidiert insbesondere nicht mit der Definition der Quadratwurzel. Gruß, Diophant \quoteoff Hmm.. ich stehe gerade auf dem Schlauch. $$ \frac{\sqrt{t}-\sqrt{t_0}}{t(1-\frac{t_0}{t})} $$ Ich verstehe nicht wie ich das 3. Binom hier anwenden kann.


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Qing
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-08

Gucke dir einmal nur $t-t_0$ an. Der Tipp ist, dass du dies so faktorisieren sollst, um deinen Bruch zu vereinfachen. Also scharf hinsehen. Wie wendet man hier die dritte binomische Formel an?


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-07-08

\quoteon(2022-07-08 17:58 - Max_804 in Beitrag No. 4) Ich verstehe nicht wie ich das 3. Binom hier anwenden kann. \quoteoff Das 3. Binom kann man auf jede Differenz positiver Größen anwenden. Ich habe doch schon mit einem ziemlich dicken Zaunpfahl gewunken: \quoteon(2022-07-08 17:48 - Diophant in Beitrag No. 3) Dabei sollte im Idealfall ein Faktor dann dem Zähler entsprechen... \quoteoff Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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Kuestenkind
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-08

Wenn du in der Schule aufgepasst hast, sollte dir dieser Grenzwert eigentlich auch vertraut vorkommen. Gruß, Küstenkind


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Max_804
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08

\quoteon(2022-07-08 18:08 - Diophant in Beitrag No. 6) \quoteon(2022-07-08 17:58 - Max_804 in Beitrag No. 4) Ich verstehe nicht wie ich das 3. Binom hier anwenden kann. \quoteoff Das 3. Binom kann man auf jede Differenz positiver Größen anwenden. Ich habe doch schon mit einem ziemlich dicken Zaunpfahl gewunken: \quoteon(2022-07-08 17:48 - Diophant in Beitrag No. 3) Dabei sollte im Idealfall ein Faktor dann dem Zähler entsprechen... \quoteoff Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.] \quoteoff Ich weiß nicht wie ich das so hinkriegen soll.. habe es jetzt so gelöst: $$ \frac{(\sqrt{t}-\sqrt{t_0)}(\sqrt{t}+\sqrt{t_0})}{(t-t_0)(\sqrt{t}+\sqrt{t_0})} $$ oben die dritte binomische Formel $$ \frac{(t-t_0)}{(t-t_0)(\sqrt{t}+\sqrt{t_0})} $$ Kürzen $$ \frac{1}{\sqrt{t}+\sqrt{t_0}} $$ Und damit ist der Grenzwert 0. Alternativ habe ich überlegt oben Wurzel t und unten t auszuklammern und aus Wurzel t durch t 1 durch Wurzel t zu machen und so lösen


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mathilde01
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-07-08

Eigentlich hast du die Aufgabe richtig gelöst, aber bist du dir sicher, dass der Grenzwert $0$ ist?


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Max_804
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08

\quoteon(2022-07-08 20:10 - mathilde01 in Beitrag No. 9) Eigentlich hast du die Aufgabe richtig gelöst, aber bist du dir sicher, dass der Grenzwert $0$ ist? \quoteoff Hmm, also der Nenner konvergiert gegen unendlich da $t_0 > 0$, somit wäre das doch $0$?


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Diophant
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-07-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-07-08 19:44 - Max_804 in Beitrag No. 8) Ich weiß nicht wie ich das so hinkriegen soll.. habe es jetzt so gelöst: $$ \frac{(\sqrt{t}-\sqrt{t_0)}(\sqrt{t}+\sqrt{t_0})}{(t-t_0)(\sqrt{t}+\sqrt{t_0})} $$ oben die dritte binomische Formel $$ \frac{(t-t_0)}{(t-t_0)(\sqrt{t}+\sqrt{t_0})} $$ Kürzen $$ \frac{1}{\sqrt{t}+\sqrt{t_0}} $$ \quoteoff Hm. Warum einfach, wenns auch umständlich geht? 😉 So hatte ich es gemeint, und so solltest du es aus der Schulzeit kennen (wie Kuestenkind schon richtig angemerkt hatte*): \[\frac{\sqrt{t}-\sqrt{t_0}}{t-t_0}=\frac{\sqrt{t}-\sqrt{t_0}}{\left(\sqrt{t}-\sqrt{t_0}\right)\left(\sqrt{t}+\sqrt{t_0}\right)}=\frac{1}{\sqrt{t}+\sqrt{t_0}}\] Das geht wie gesagt, da man eine Umgebung um \(t_0\) betrachtet und somit auch \(t>0\) annehmen darf. \quoteon(2022-07-08 19:44 - Max_804 in Beitrag No. 8) Und damit ist der Grenzwert 0. \quoteoff Wie soll denn das gehen, es strebt doch \(t\to t_0\)? * Dazu könntest du dir auch einmal klarmachen, was man mit diesem Grenzwert denn ausrechnet?... Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]\(\endgroup\)


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Max_804
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08

\quoteon(2022-07-08 20:20 - Diophant in Beitrag No. 11) \quoteon(2022-07-08 19:44 - Max_804 in Beitrag No. 8) Ich weiß nicht wie ich das so hinkriegen soll.. habe es jetzt so gelöst: $$ \frac{(\sqrt{t}-\sqrt{t_0)}(\sqrt{t}+\sqrt{t_0})}{(t-t_0)(\sqrt{t}+\sqrt{t_0})} $$ oben die dritte binomische Formel $$ \frac{(t-t_0)}{(t-t_0)(\sqrt{t}+\sqrt{t_0})} $$ Kürzen $$ \frac{1}{\sqrt{t}+\sqrt{t_0}} $$ \quoteoff Hm. Warum einfach, wenns auch umständlich geht? 😉 So hatte ich es gemeint, und so solltest du es aus der Schulzeit kennen (wie Kuestenkind schon richtig angemerkt hatte*): \[\frac{\sqrt{t}-\sqrt{t_0}}{t-t_0}=\frac{\sqrt{t}-\sqrt{t_0}}{\left(\sqrt{t}-\sqrt{t_0}\right)\left(\sqrt{t}+\sqrt{t_0}\right)}=\frac{1}{\sqrt{t}+\sqrt{t_0}}\] Das geht wie gesagt, da man eine Umgebung um \(t_0\) betrachtet und somit auch \(t>0\) annehmen darf. \quoteon(2022-07-08 19:44 - Max_804 in Beitrag No. 8) Und damit ist der Grenzwert 0. \quoteoff Wie soll denn das gehen, es strebt doch \(t\to t_0\)? * Dazu könntest du dir auch einmal klarmachen, was man mit diesem Grenzwert denn ausrechnet?... Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.] \quoteoff Hmm, also der Grenzwert erinnert mich an eine Ableitungsrechnung, kann das sein?


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mathilde01
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-07-08

Nach deiner Aufgabenstellung ist $t_0>0$, es treten also keine negativen Wurzeln auf. Der Grenzwert den du ausrechnen möchtest, ist die Ableitung der Funktion $t\mapsto \sqrt{t}, t>0$


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Diophant
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-07-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-07-08 20:33 - Max_804 in Beitrag No. 12) Existiert der nicht, weil der linksseitige Grenzwert nicht existiert, wegen der negativen Wurzel? Oder ist das irrelevant, da $t_0 > 0$ gegeben ist \quoteoff Was soll denn nicht existieren? Es gibt keine negativen Quadratwurzeln im Reellen, es gibt höchstens Wurzeln mit negativem Radikand. Aber das gibt es hier auch nicht, denn sonst wäre ja schon der Ausgangstrerm nicht definiert. Vielleicht habe ich dich mit diesen Anmerkungen verwirrt, dann sorry dafür. Ich wollte dich damit nur auf die Spur bringen, wie du die Differenz \(t-t_0\) direkt mit Wurzeln faktorisieren kannst, so wie ich es in #11 gemacht habe. Was dich jetzt daran hindert, den Grenzwert vollends auszurechnen, erschließt sich mir ehrlich gesagt nicht. Hast du realisiert, dass der Grenzwert für \(t\to t_0\) gesucht ist? Falls ja: rechts- und linksseitiger Grenzwert sind hier gleich, das muss man überhaupt nicht bedenken. Nur ausrechnen musst du es noch. Und dazu muss man jetzt doch nur noch einsetzen und sozusagen eins und eins zusammenzählen... Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]\(\endgroup\)


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Max_804
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08

\quoteon(2022-07-08 20:43 - Diophant in Beitrag No. 14) \quoteon(2022-07-08 20:33 - Max_804 in Beitrag No. 12) Existiert der nicht, weil der linksseitige Grenzwert nicht existiert, wegen der negativen Wurzel? Oder ist das irrelevant, da $t_0 > 0$ gegeben ist \quoteoff Was soll denn nicht existieren? Es gibt keine negativen Quadratwurzeln im Reellen, es gibt höchstens Wurzeln mit negativem Radikand. Aber das gibt es hier auch nicht, denn sonst wäre ja schon der Ausgangstrerm nicht definiert. Vielleicht habe ich dich mit diesen Anmerkungen verwirrt, dann sorry dafür. Ich wollte dich damit nur auf die Spur bringen, wie du die Differenz \(t-t_0\) direkt mit Wurzeln faktorisieren kannst, so wie ich es in #11 gemacht habe. Was dich jetzt daran hindert, den Grenzwert vollends auszurechnen, erschließt sich mir ehrlich gesagt nicht. Hast du realisiert, dass der Grenzwert für \(t\to t_0\) gesucht ist? Falls ja: rechts- und linksseitiger Grenzwert sind hier gleich, das muss man überhaupt nicht bedenken. Nur ausrechnen musst du es noch. Und dazu muss man jezt doch nur noch einsetzen und sozusagen eins und eins zusammenzählen... Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.] \quoteoff Da $t->t_0$ folgt daraus $$\frac{1}{2\sqrt{t_0}}$$ Und da $t_0 > 0$ geht der Nenner doch gegen unendlich, oder übersehe ich hier was?


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Diophant
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-07-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-07-08 20:53 - Max_804 in Beitrag No. 15) Da $t->t_0$ folgt daraus $$\frac{1}{2\sqrt{t_0}}$$ \quoteoff Jetzt stimmt es teilweise, bis auf den letzten Satz: \quoteon(2022-07-08 20:53 - Max_804 in Beitrag No. 15) Und da $t_0 > 0$ geht der Nenner doch gegen unendlich, oder übersehe ich hier was? \quoteoff Das ist doch Unsinn. \(t_0\in\IR^{+}\) ist doch fest! Ist dir nicht klar, dass du damit die Ableitung der Quadratwurzelfunktion an der Stelle \(t=t_0\) berechnet hast? Indem du nämlich den Differentialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten berechnet hast? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Max_804
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08

\quoteon(2022-07-08 20:58 - Diophant in Beitrag No. 16) \quoteon(2022-07-08 20:53 - Max_804 in Beitrag No. 15) Da $t->t_0$ folgt daraus $$\frac{1}{2\sqrt{t_0}}$$ Und da $t_0 > 0$ geht der Nenner doch gegen unendlich, oder übersehe ich hier was? \quoteoff Jetzt stimmt es teilweise. \quoteon(2022-07-08 20:53 - Max_804 in Beitrag No. 15) Da $t->t_0$ folgt daraus $$\frac{1}{2\sqrt{t_0}}$$ Und da $t_0 > 0$ geht der Nenner doch gegen unendlich, oder übersehe ich hier was? \quoteoff Das ist doch Unsinn. \(t_0\in\IR^{+}\) ist doch fest! Ist dir nicht klar, dass du damit die Ableitung der Quadratwurzelfunktion an der Stelle \(t=t_0\) berechnet hast? Indem du nämlich den Differentialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten berechnet hast? Gruß, Diophant \quoteoff Ja, das habe ich verstanden. Habe es mir eben nochmal angeguckt. Habe die Aufgabe falsch interpretiert, dachte ich soll $t_0$ gegen unendlich laufen lassen. Muss ich hier beim Ergebnis jetzt noch was ändern?


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mathilde01
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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-07-08

Was willst du denn noch ändern? Du hast $\lim\limits_{t\to t_0}\frac{\sqrt{t}-\sqrt{t_0}}{t-t_0}=\frac{1}{2\sqrt{t_0}}$ berechnet.


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Max_804
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\quoteon(2022-07-08 21:09 - mathilde01 in Beitrag No. 18) Was willst du denn noch ändern? Du hast $\lim\limits_{t\to t_0}\frac{\sqrt{t}-\sqrt{t_0}}{t-t_0}=\frac{1}{2\sqrt{t_0}}$ berechnet. \quoteoff Diophant meinte es stimmt teilweise. Denke, er hat es dann wahrscheinlich auch noch auf meine zweite Aussage bezogen. Danke für die Hilfe.


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Max_804 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Max_804 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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