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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » z-Übertragungsfunktion + Differenzengleichung + Signalflußgraph
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Universität/Hochschule z-Übertragungsfunktion + Differenzengleichung + Signalflußgraph
Sinnfrei
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Gegeben ist ein zeitdiskretes System mit der nachfolgend angegebenen z-Übertragungsfunktion $$H[z] = {7z^2-3z \over z -{1\over 2}}$$ 1.1) Ermitteln Sie die Differenzengleichung dieses Systems. 1.2) Skizzieren Sie den Signalflußgraphen für das System Auf das System wird nun die nachfolgend angegebene Signalflussfolge gegeben: $$x[n] = \varepsilon[n] \cdot \left({1\over 3}\right)^n$$ 1.3) Ermitteln Sie die z-Transformierte der Signalfolge $y[n]$ am Ausgang des Systems 1.4) Ermitteln Sie die Ausgangssignalfolge $y[n]$ mit Hilfe der PBZ (Partialbruchzerlegung) der z-Transformierten $Y[z]$ Hinweis: $$\mathcal{Z}\{a^n\cdot \varepsilon[n]\} = {1\over 1-az^{-1}}$$ 2) Die folgenden Systeme sind entweder durch ihren Signalflussgraphen, ihre Differenzengleichung oder ihre z-Übertragungsfunktion vorgegeben. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-07_193918.png 2.1) Skizzieren Sie jeweils für alle 4 Systeme das zugehörige PN-Diagramm. 2.2) Geben Sie an und begründen Sie jeweils, ob die 4 Systeme die nachfolgend aufgeführten Eigenschaften besitzen Stabilität Kausalität 2.3) Wie kann bei allen gegebenen Systemen Kausalität erreicht werden? Skizzieren Sie die kausalen Systeme 3)Berechnen Sie die ersten 5 Werte der Impulsantwortfunktionen der nachfolgend angegebenen drei Systeme mit Hilfe der Polynomdivision: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-07_194510.png 4)Ein zeitdiskretes System besitzt zwei Polstellen bei $z_{x1} = z_{x2} = 0$. Die Nullstellen des Systems liegen bei $z_{01} = -1, z_{02} = +j$ und $z_{03} = -j$ 4.1)Erläutern und begründen Sie, ob es sich um ein FIR- oder IIR System handelt. 4.2) Ermitteln Sie die z-Übertragungsfunktion des Systems und den zugehörigen Frequenzgang. 4.3) Erläutern Sie, ob das System technisch realisierbar ist. Falls dies nicht möglich ist, erläutern Sie, wie sich das System durch Modifikation ohne Veränderung des Amplituden(frequenz)gangs technisch realisieren ließe. Zu den ersten 4 Punkten aus 1) komme ich auf folgende Rechnungen und Graphen Zu 1.1) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-07_170126.png Zu 1.2) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-07_170201.png Bei dem in rot markierten Kasten, bin ich mir unsicher, ob man das so machen darf, da hier das Signal $x[n]$ bereits für $n=-1$ existiert ($7x[n+1]$) Zu 1.3) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-07_170234.png Zu 1.4) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_1_Screenshot_2022-07-07_170302.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_1_Screenshot_2022-07-07_192639.png Erstmal bis hierhin. Ist soweit alles richtig? Vielen Dank schon mal im voraus.


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-13

Hallo Sinnfrei, die Differenzengleichung ist richtig, im Blockschaltbild ist das negative Vorzeichen des Koeffizienten $3$ verloren gegangen, richtig ist $-3$. Die Formulierung \quoteon(2022-07-07 19:55 - Sinnfrei im Themenstart) Bei dem in rot markierten Kasten, bin ich mir unsicher, ob man das so machen darf, da hier das Signal $x[n]$ bereits für $n=-1$ existiert ($7x[n+1]$) \quoteoff lässt offen, ob Du erkannt hast, dass die "negative Verzögerung" ein akausales System ist, das aus dem aktuellen Abtastwerte $x[n]$ den zukünftigen Wert $x[n+1]$ vorhersagt. So ein System ist nicht realisierbar, aber das liegt nicht an der Existenz von Signalwerten, an der ja kein Zweifel besteht. Die z-Transformierte $Y[z]$ des Ausgangssignals ist richtig, aber bei der Polynomdivision hast Du Dich verrechnet: der cyan markierte Faktor fehlt, was den ersten Rest und damit die weitere Rechnung fehlerhaft macht. \[ 7z\cdot \left( z^2 - \frac{5}{6} z + \frac{1}{6}\right) = 7z^3 - \frac{\color{cyan}{7\cdot}5}{6} z^2 + \frac{7}{6} z \] Servus, Roland


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-14

\quoteon(2022-07-13 23:51 - rlk in Beitrag No. 1) Hallo Sinnfrei, die Differenzengleichung ist richtig, im Blockschaltbild ist das negative Vorzeichen des Koeffizienten $3$ verloren gegangen, richtig ist $-3$. \quoteoff Jo hast Recht. Hab das minus irgendwie verschlampt. \quoteon(2022-07-13 23:51 - rlk in Beitrag No. 1) Die Formulierung \quoteon(2022-07-07 19:55 - Sinnfrei im Themenstart) Bei dem in rot markierten Kasten, bin ich mir unsicher, ob man das so machen darf, da hier das Signal $x[n]$ bereits für $n=-1$ existiert ($7x[n+1]$) \quoteoff lässt offen, ob Du erkannt hast, dass die "negative Verzögerung" ein akausales System ist, das aus dem aktuellen Abtastwerte $x[n]$ den zukünftigen Wert $x[n+1]$ vorhersagt. So ein System ist nicht realisierbar, aber das liegt nicht an der Existenz von Signalwerten, an der ja kein Zweifel besteht. \quoteoff Diesbzgl. konnte ich ich schon eine konkrete Antwort vom Aufgabensteller bekommen, hier soll man das anscheinend begründen, obwohl das nicht einmal in der Aufgabe steht. Daher ist die Teilaufgabe etwas verwirrend gewesen. Das es akausal ist, ist mir bereits aufgefallen nur hatten wir so ein Signalflußgraph noch nie gehabt. Schade das man sowas dann begründen muss, obwohl es nicht mal in der Aufgabe geschrieben steht, falls es der Fall sein könnte oder dergleichen aber naja, da muss man wohl durch. \quoteon(2022-07-13 23:51 - rlk in Beitrag No. 1) Die z-Transformierte $Y[z]$ des Ausgangssignals ist richtig, aber bei der Polynomdivision hast Du Dich verrechnet: der cyan markierte Faktor fehlt, was den ersten Rest und damit die weitere Rechnung fehlerhaft macht. \[ 7z\cdot \left( z^2 - \frac{5}{6} z + \frac{1}{6}\right) = 7z^3 - \frac{\color{cyan}{7\cdot}5}{6} z^2 + \frac{7}{6} z \] \quoteoff Da hatte ich bloß die 3 vor der 5 vergessen mit aufzuschreiben. Die Schritte danach sollten aber dennoch richtig sein.


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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-15

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-15_182046.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-15_182557.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-15_182854.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-15_182945.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-15_183026.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-15_183116.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-15_183145.png Wenn soweit alles richtig ist, hat sich die Aufgabe damit erledigt.


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