Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Maßtheorie » Innerer und äußerer Jordaninhalt - Würfelsummen
Autor
Universität/Hochschule Innerer und äußerer Jordaninhalt - Würfelsummen
Boy666
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2018
Mitteilungen: 34
  Themenstart: 2022-07-08

Hallo liebe Leute! Im Buch "Analysis 2" von Wolfgang Walter (5.Auflage) auf Seite 273 findet sich eine kleine Aufgabe, bei der ich mir nicht ganz sicher bin, ob ich sie richtig gelöst habe: Sei I\el\R^n ein Intervall (I=[a_1, b_1 ]x...x[a_n, b_n ]\subset\R^n) und M\subsetequal\I beschränkt. Zu zeigen ist abs(M)_a+abs(I\\M)_i=abs(I), wobei abs(*)_i den inneren und abs(*)_a den äußeren Jordaninhalt bezeichnet. Mein Ansatz lautet nun wie folgt: Laut Analysis 2 [Walter, s. 225] kann man den äußeren und inneren Jordaninhalt als Limiten von Würfelsummen darstellen, i.e. abs(M)_a=lim(k->\inf,abs(W^k)) und abs(I\\M)_i=lim(k->\inf,abs(W_k)). Pro "k" wird der R^n in gleichgroße Würfel der Seitenlänge 2^(-k) fast disjunkt zerteilt. W^k(M) bezeichne die Würfelsumme("Summe"=Vereinigung), die alle Würfel der Seitenlänge 2^(-k) enthält, die mindestens einen Punkt mit M gemeinsam haben, und bezeichne mit W_k(M) die Vereinigung aller Würfel der Seitenlänge 2^(-k), die vollständig in M enthalten sind. Nach Definition und Satz gilt damit erst einmal abs(M)_a + abs(I\\M)_i = lim(k->\inf,abs(W^k(M)))+lim(k->\inf,abs(W_k(I\\M))) (beide Limiten existieren laut Walter =>) = lim(k->\inf, (abs(W^k(M))+abs(W_k(I\\M))) Nun sind abs(W^k(M)) und abs(W_k(I\\M)) zumindest fast disjunkte Mengen und somit abs(W^k(M))+abs(W_k(I\\M))=abs(W^k(M)\union\ W_k(I\\M)). Nun besteht W_k(I) aus allen Würfeln der Seitenlänge 2^(-k), die vollständig in I liegen. Dementsprechend kann man W_k(I) in drei Mengen A,B und C zerteilen. A sei die Vereinigung aller Würfel, die ganz in M liegen, B sei die Vereinigung aller Würfel, die ganz in I\\M liegen, und C sei die Vereinigung aller Würfel, die mit mindestens beiden Mengen einen Punkt gemeinsam haben. Also W_k(I)=A\union\B\union\C. Damit ist leicht ersichtlich, dass W_k(I)\subsetequal\ (W^k(M)\union\ W_k(I\\M)). Weiterhin gilt offenbar W^k(M)\union\ W_k(I\\M)\subsetequal W^k(I). Grenzübergang samit SandwichTheorem für Folgen, Monotonie des Inhalts und I als quadrierbarer Menge ergibt nun den geforderten Zusammenhang. Das lässt mich ob der Korrektheit zweifeln. Warum hätte er sonst nicht direkt die allgemeinere Quadrierbarkeit als Voraussetzung genommen. Oder gibt es einen banalen Beweis, bei der man ein Intervall als Grundmenge "ausspielen" kann. Bitte um Einschätzung :)


   Profil
Boy666
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2018
Mitteilungen: 34
  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-09

Noch zur Inklusion bei der Stelle mit A,B und C: Ein Punkt x ist hier genau dann in zwei Mengen enthalten, wenn der x enthaltende Würfel in beiden Mengen enthalten ist (da alle Seiten ausschließlich Würfelsummen über denselben "Basis"-Würfeln sind). Damit gilt: Wenn x\el\ A => x\el\ W_k(M)\subsetequal W^k(M). Wenn x\el\ B => x\el\ W_k(I\\M) nach Definition. Wenn x\el\ C => x\el\ W^k(M) nach Definition, denn wenn C die Würfel enthält, die mit sowohl M als auch I\\M einen Punkt gemeinsam haben, enthält sicher auch W^k(M) den Würfel, für den ja schon ein nicht leerer Schnitt mit M ausreicht.


   Profil
Boy666
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2018
Mitteilungen: 34
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-15

Noch ein Push-Versuch :)


   Profil

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]