Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Nichtlineare DGL 2. Ordnung » DGL Bewegung in einem Zentralkraftfeld
Autor
Universität/Hochschule J DGL Bewegung in einem Zentralkraftfeld
mannoschen
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 6
  Themenstart: 2022-07-20

Hallo zusammen, beifolgendem habe ich gerade Schwierigkeiten: Sei E ein \IR-Banachraum, B offene Teilmenge von E und g: B -> \IR eine lokal Lipschitz-stetige Funktion. Sei nun y: I -> E eine lösung von y'' = g(y) * y, \xi\el\ I und U der Untervektorraum der von den Vektoren y(\xi) und y'(\xi) aufgespannt wird. Zu zeigen: y(I) \subsetequal\ U Meine Ideen: Ich könnte zunächst zeigen das g(y) * y ebenfalls die lokale Lipschitz Bedingung erfüllt nur wüsste ich nicht wie das weiterhelfen sollte, ohne Anfangsbedingung kann ich auch keine Aussage über Eindeutigkeit und maximale Lösung geben. Für die DGL 2. Ordnung haben wir definiert das der "2-Jet" j_n y(t) = (y(t), y'(t)) wäre auch das scheint mich nicht weiterzubringen. Ich habe versucht y(t) als Linearkombinationen der beiden Vektoren von U Aufzustellen, bisher gescheitert. Mir fehlt ein sinnvoller Ansatz. Grüße mannoschen


   Profil
semasch
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 391
Wohnort: Wien
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-21

Moin mannoschen, deine Idee hier \quoteon(2022-07-20 19:51 - mannoschen im Themenstart) Ich habe versucht y(t) als Linearkombinationen der beiden Vektoren von U Aufzustellen \quoteoff geht in die richtige Richtung. Betrachte zunächst die Abbildung $h: \mathbb{R}^2 \to E, (\eta_1, \eta_2) \mapsto \eta_1 y(\xi) + \eta_2 y'(\xi)$ und definiere dann $O := h^{-1}(B)$ und $f := g \circ h \rvert_O$. Zeige nun, dass \[ y(x) = \eta_1(x) y(\xi) + \eta_2(x) y'(\xi) \] für alle $x \in I$ gilt, wobei $I \ni x \mapsto (\eta_1(x), \eta_2(x))$ die Lösung des AWPs \[ \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \end{pmatrix}'' = f(\eta_1, \eta_2) \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \end{pmatrix}(\xi) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \end{pmatrix}'(\xi) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] ist. LG, semasch


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9609
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.2, eingetragen 2022-07-21

Hallo, vielleicht geht es auch so, dass man die Dgl. in ein System umschreibt (das kommt man wohl nicht drum herum) und die Lösung mit dem Euler-Polygonzugverfahren annähert. Dabei sieht man hoffentlich, dass man in dem Unterraum bleibt, und das gilt dann auch für den Grenzwert. Viele Grüße Wally


   Profil
mannoschen
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 6
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-21

Hallo semasch, ich scheine mit deinem Tip noch nicht weiterzukommen. Muss ich die Lösung des AWPs finden, wenn dem so wäre wie schaff ich das? Ich verstehe wohl deinen Tip noch nicht so ganz. Wally, da wir das Euler-Polygonzugverfahren nicht besprochen haben, komme ich mit der Idee leider nicht weiter, trotzdem danke. Viele Grüße mannoschen


   Profil
semasch
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 391
Wohnort: Wien
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-21

\quoteon(2022-07-21 12:49 - mannoschen in Beitrag No. 3) ich scheine mit deinem Tip noch nicht weiterzukommen. Muss ich die Lösung des AWPs finden, wenn dem so wäre wie schaff ich das? Ich verstehe wohl deinen Tip noch nicht so ganz. \quoteoff Überlege dir, dass die rechte Seite der DGL des AWPs lokal Lipschitz ist. Damit hast du die Existenz einer Lösung des AWPs in einer Umgebung von $\xi$. Zeige, dass damit die Funktion $x \mapsto \tilde{y}(x) := \eta_1(x) y(\xi) + \eta_2(x) y'(\xi)$ in dieser Umgebung von $\xi$ eine Lösung des AWPs \[\overline{y}'' = g(\overline{y}) \overline{y}, \quad \overline{y}(\xi) = y(\xi), \quad \overline{y}'(\xi) = y'(\xi)\] ist. Gleiches gilt natürlich auch für $y$. Da auch die rechte Seite der DGL dieses AWPs lokal Lipschitz ist, folgt aufgrund der Lösungseindeutigkeit $y(x) = \tilde{y}(x)$ für $x$ in der oben genannten Umgebung von $\xi$. Folgere damit letztlich, dass die Lösung $x \mapsto (\eta_1(x), \eta_2(x))$ schon auf ganz $I$ existieren muss und dass $y(x) = \tilde{y}(x)$ für alle $x \in I$ gilt. LG, semasch


   Profil
mannoschen
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 6
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-21

Hallo semasch, vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden. LG mannoschen


   Profil
mannoschen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
mannoschen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
mannoschen wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]