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Thema eröffnet 2022-07-22 19:29 von Primentus
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Kein bestimmter Bereich Finde das beste Pi-Datum!
Hans-Juergen
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  Beitrag No.120, eingetragen 2022-08-04

@ #116: Ich finde nicht, dass der Tausender-Trennpunkt die Lesbarkeit verbessert. Eher irritiert er. In Deutschland ist er nicht üblich, und bei Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Schreibweise_von_Zahlen?veaction=edit§ion=11 ) heißt es zusätzlich: "Im Jahr 1948 beschloss die 9. Generalkonferenz für Maß und Gewicht (Conférence Générale des Poids et Mesures, CGPM) in Resolution 7, dass zur Erleichterung des Lesens Zahlen in Gruppen von je drei Ziffern aufgeteilt werden können; die Gruppen werden unter keinen Umständen durch Punkte oder durch Kommata getrennt." Die Aufteilung in Gruppen kann in HTML-Texten mit Hilfe des schmalen geschützten Leerzeichens vorgenommen werden.


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cramilu
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  Beitrag No.121, eingetragen 2022-08-04

\quoteon(2022-08-04 00:24 - Hans-Juergen in Beitrag No. 120) Ich finde nicht, dass der Tausender-Trennpunkt die Lesbarkeit verbessert. Eher irritiert er. [...]\quoteoff Scheint so. \quoteon(2022-08-04 00:24 - Hans-Juergen in Beitrag No. 120) [...] In Deutschland ist er nicht üblich, [...]\quoteoff Entschuldige, aber das ist Unfug stimmt so nicht! [EDIT: "Unfug" war zu hart - Hans-Juergen, entschuldige bitte!] Gerade WIKIPEDIA führt den Punkt unter »Übliche Trennzeichen« für »Deutschland/Österreich« ausdrücklich auf, und zwar sowohl für normalen Text wie auch für mathematischen Formelsatz. Der Tausender-Trennpunkt entspricht tatsächlich nicht mehr den Fachnormen, was jedoch einen Unterschied macht. Die SI-Regelung dazu ist mir bekannt. Die aus dem Jahr 1948 wurde sogar 2003 noch einmal ausdrücklich bekräftigt. Das hatte ich bis dato rein auf die Darstellung physikalischer Größenangaben bezogen, aber es kommt mir nun auch so zupass. Im LATEX-Satz wirkt der Punkt unbestreitbar optisch aufdringlich. Unter anderem das hat mich überzeugt, künftig zum schmalen Leerzeichen zu wechseln. [EDIT: Hans-Juergen, Dein Hinweis hat mich aufgerüttelt.] Praktischer Nebeneffekt wird sein, dass die normwidrig sturen Dezimalpunktscharlatane auch weniger verwirrt sein werden. 😉 Zum Ansatz mit der Bruchdifferenz: Dass \(\frac{22}{7}\) und \(\frac{355}{113}\) aus der Kettenbruchentwicklung von \(\pi\) im Hinblick auf ihren 'Ziffernverbrauch' beide schon recht ordentliche Näherungen darstellen, ist klar. Aus dem jeweils verbleibenden Ziffernpotenzial kann man nun entweder weitere Brüche bilden, welche man hinzuzählt oder abzieht. Oder man konzentriert sich bei derartigem 'Nachschliff' lediglich auf Zähler oder Nenner... \(\frac{\,22\;\pm\;\varepsilon_{1_\phantom{q}}}{\,7\;\pm\;\varepsilon_2^\phantom{q}}\)


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Primentus
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  Beitrag No.122, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-04

Hallo tactac, ja, das habe ich mir auch schon gedacht, dass es eigentlich sinnvoll wäre, die Ausdrücke in die Rekordtabelle mit reinzuschreiben, weil die Funde selbst ja der eigentliche Hauptbestandteil eines solchen Eintrages sind, aber ich dachte mir dann, dass das die Tabelle zu sehr aufblähen würde (sowohl in der Breite als auch in der Höhe als auch im Hinblick auf die mittlerweile vielen Einträge). Vor allem bräuchte man um alle Daten sprich Spalten mit aufzunehmen, deutlich mehr Breite als die hier im Forum üblichen rund 600 Pixel für den Content. (Oder kann man einem $\LaTeX$ Content hier im Forum auch eine waagerechte Scrollleiste hinzufügen?) Ich habe mir aber schon überlegt, demnächst nochmal eine Art Reinschrift der Tabelle zu machen, wo ich dann die Ausdrücke mit aufnehme und z. B. auch diejenigen Funde mit Fakultät noch aussortiere und ggf. in eine eigene Liste packe. Da empfiehlt sich dann eine $\LaTeX$-basierte Darstellung im A4-Querformat, welche ich dann z. B. als PDF zur Verfügung stellen kann. Aber solange noch damit zu rechnen ist, dass noch neue Rekorde oder sonstige Funde eingehen, warte ich erstmal noch damit. Wahrscheinlich muss man dann insgesamt sogar mehrere Tabellen machen, da wir ja bereits mehrere verschiedene Arten von Funden haben, die man nicht vermischen sollte (mindestens die vier Arten "unendliche Genauigkeit", "endliche Genauigkeit unter Einhaltung der Bedingungen", "endliche Genauigkeit außerhalb der Bedingungen" und "endliche Genauigkeit unter ausschließlicher Zuhilfenahme der Grundrechenarten"). LG Primentus


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cramilu
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  Beitrag No.123, eingetragen 2022-08-04

Bei meinem aktuellen Ansatz habe ich mir als Grundlage erst einmal diejenigen Näherungen für \(\pi\) vorgenommen, mit denen man bei mäßigem 'Ziffernverbrauch' effizient eine ordentliche Genauigkeit erzielt - Abweichungen relativ zum Zielwert \(\pi\) : \(3\) ( \(4{,}507×10^{-2}\) mit einer Ziffer ) \(\sqrt{\,10^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}\underline162\,277\,66{.}{.}{.}\) ( \(6{,}584×10^{-3}\) mit zwei Ziffern ) \(\sqrt{\,2^\phantom{b}}\,+\,\sqrt{\,3^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}1\underline46\,264\,{.}{.}{.}\) ( \(1{,}487×10^{-3}\) mit zwei Ziffern ) \(\sqrt{\sqrt{\,97^\phantom{b}}^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}\underline138\,288\,992\,7{.}{.}{.}\) ( \(1{,}05×10^{-3}\) mit zwei Ziffern ) \(\frac{\,22_\phantom{q}}{\,7^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}1\underline42\,857\,{.}{.}{.}\) ( \(4{,}025×10^{-4}\) mit drei Ziffern ) \(1\,+\,\sqrt{\sqrt{\,21^\phantom{b}}^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}1\underline40\,695\,{.}{.}{.}\) ( \(2{,}857×10^{-4}\) mit drei Ziffern ) \(\sqrt[3\,]{\,31^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}14\underline1\,380\,652\,{.}{.}{.}\) ( \(6{,}748×10^{-5}\) mit drei Ziffern ) \(\sqrt[5\,]{\,306^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}141\,\underline552\,{.}{.}{.}\) ( \(1{,}3×10^{-5}\) mit vier Ziffern ) Beschert hat mir das bis dato: \(1\,+\,\sqrt{\sqrt{\;21\;+\;\frac{\,2_\phantom{q}}{\,57^\phantom{b}}^\phantom{b}+\;9^{-4}\;}^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}141\,592\,6\underline54\,356\,125\,{.}{.}{.}\) [\(2{,}44×10^{-10}\)] - für z.B. den \(24.\,12.~1975\) \(\sqrt{\sqrt{\;98\;-\;\frac{\,13_\phantom{q}}{\,22^\phantom{b}}^\phantom{b}+\;6^{-9}\;}^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}141\,592\,65\underline3\,382\,718\,{.}{.}{.}\) [\(6{,}59×10^{-11}\)] - für z.B. den \(26.\,12.~3899\) \(\sqrt{\sqrt{\;97\;+\;\frac{\,9_\phantom{q}}{\,22^\phantom{b}}^\phantom{b}+\;(14)^{-6}\;}^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}141\,592\,65\underline3\,653\,480\,{.}{.}{.}\) [\(2{,}027×10^{-11}\)] - für z.B. den \(24.\,12.~6799\) Und gälte[!] die einfache[!] Fakultät noch, dann hätte ich sogar meinen ersten Elfer: \(\sqrt{\sqrt{\;98\;-\;\frac{\,13_\phantom{q}}{\,22^\phantom{b}}^\phantom{b}+\;(4!)^{-5}\;}^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}141\,592\,653\,\underline595\,237\,4{.}{.}{.}\) [\(1{,}73×10^{-12}\)] - für z.B. den \(24.\,12.~3589\) Weiter geht's mit der dritten und der fünften Wurzel (s.o.). 😎


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Primentus
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  Beitrag No.124, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-04

\quoteon(2022-08-04 08:18 - cramilu in Beitrag No. 121) \(\frac{\,22\;\pm\;\varepsilon_{1_\phantom{q}}}{\,7\;\pm\;\varepsilon_2^\phantom{q}}\) \quoteoff Hallo cramilu, bei dieser Idee komme ich eigentlich nur auf drei mögliche Varianten: $\frac{22+223}{7+71}=\frac{245}{78}$  mit Abweichung $\approx 5.6701256415221282162\cdot 10^{-4}$  mit Datum 27.12.2237 $\frac{22+201}{7+64}=\frac{223}{71}$  mit Abweichung $\approx 7.4758316725802719504\cdot 10^{-4}$  mit Datum 24.12.2067 $\frac{22-223}{7-71}=\frac{201}{64}$  mit Abweichung $\approx 9.6765358979323846264\cdot 10^{-4}$  mit Datum 22.12.2377 Bei derselben Vorgehensweise für den Bruch \(\frac{\,355\;\pm\;\varepsilon_{1_\phantom{q}}}{\,113\;\pm\;\varepsilon_2^\phantom{q}}\) erhält man eigentlich nur Erweiterungen des Bruches $\frac{355}{113}$, wenn die Abweichung kleiner als $10^{-6}$ sein soll. Ein paar Beispiele (von vielen solchen): $\frac{355-9940}{113-3164}=\frac{9585}{3051}=\frac{27\cdot 355}{27\cdot 113}$  leider ohne Datum $\frac{355-6035}{113-1921}=\frac{5680}{1808}=\frac{16\cdot 355}{16\cdot 113}$  mit Datum 18.08.5680 $\frac{355-3905}{113-1243}=\frac{3550}{1130}=\frac{10\cdot 355}{10\cdot 113}$  mit Datum 30.11.3550 Diese Beispiele haben die Abweichung $\approx 2.6676418906242231237\cdot 10^{-7}$. LG Primentus


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Primentus
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  Beitrag No.125, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-04

Hallo cramilu, Du hast sehr schön aufgezeigt, wie Du weitergemacht hast. Deine Idee, mit möglichst wenig Ziffernverbrauch eine möglichst große Genauigkeit zu erreichen, ist natürlich sehr gut. Sehr schöne Funde sind dabei herausgekommen! Die ersten drei derselbigen mit Datum habe ich in die Rekordliste eingetragen (aktueller Stand siehe weiter unten). Schade, dass bei Deinem vierten und persönlichen Rekordfund eine Fakultät mit drin ist. Aber solche Funde werde ich wie gesagt demnächst noch in einer eigenen Liste zusammentragen. Das ist der aktuelle Stand der besten bisherigen Funde: \sourceon Liste der Pi-Näherungsrekorde mit Bedingungen aus Themenstart Anzahl korrekter Entdecker- Datum, für das die Abweichung Pi-Ziffern Nickname Pi-Näherung formuliert wurde zu Pi ------------------------------------------------------------------------------------ 13 querin 27.07.1963 BISHERIGER REKORD! ca. 5.082*10^(-14) 14 tactac/querin 28.12.3467 AUSSERH. BEDINGUNGEN ca. 6.399*10^(-14) 13 tactac/querin 28.12.5667 ca. 15.053*10^(-14) 13 querin 27.09.2166 ca. 48.760*10^(-14) 11 tactac 28.12.5677 ca. 50.86*10^(-14) 11 tactac 28.12.2345 ca. 153.06*10^(-14) 11 tactac 28.12.4556 ca. 173.07*10^(-14) 12 tactac/querin 28.12.1984 ca. 212.05*10^(-14) 11 querin 29.11.2579 ca. 281.41*10^(-14) 12 querin 27.12.5567 ca. 304.76*10^(-14) 11 querin 27.06.1431 ca. 663.54*10^(-14) 12 cramilu 22.07.1999 ca. 714.71*10^(-14) 12 querin 17.12.1567 ca. 842.53*10^(-14) 11 Aquilex 31.05.4899 ca. 1527.49*10^(-14) 11 Aquilex 24.12.1985 ca. 1532.11*10^(-14) 11 Aquilex 31.08.3499 ca. 2001.31*10^(-14) 11 querin 29.08.2458 ca. 2897.93*10^(-14) 11 querin 29.12.5778 ca. 5117.05*10^(-14) 10 cramilu 24.12.6799 ca. 6368.69*10^(-14) 11 cramilu 22.07.1998 ca. 7582.45*10^(-14) 10 cramilu 29.09.2157 ca. 18150.78*10^(-14) 10 cramilu 29.12.2346 ca. 20707.50*10^(-14) 10 cramilu 26.12.3899 ca. 20707.50*10^(-14) 10 tactac 01.04.2016 ca. 24979.51*10^(-14) 10 tactac 19.03.2022 ca. 34254.38*10^(-14) 9 Aquilex 16.04.2239 9 cramilu 29.07.2337 9 cramilu 24.12.1975 9 cramilu 14.03.2022 9 cramilu 25.05.3456 9 cramilu 17.11.4476 9 cramilu 14.11.3377 9 cramilu 15.04.1986 9 querin 22.04.1997 8 cramilu 17.11.3557 8 cramilu 29.09.3379 8 cramilu 19.09.3457 8 cramilu 27.10.2345 8 cramilu 19.10.3445 8 cramilu 28.10.2347 8 cramilu 31.08.2789 8 cramilu 24.12.2699 8 cramilu 26.03.3333 8 cramilu 19.09.5555 8 cramilu 18.10.1773 8 tactac 01.01.2028 7 cramilu 27.08.1036, 18.06.2355 7 DerEinfaeltige 17.05.1814 7 Primentus 17.12.2358 7 stpolster 15.05.1033, 07.06.2021, 14.04.2021, 15.07.2022 5 Primentus 16.04.2999 5 querin 13.12.1223 \sourceoff Zur Erinnerung: Darüber hinaus gibt es noch Lösungen, die von Funktionen außerhalb der im Themenstart genannten Bedingungen Gebrauch machen, wie z. B. Fakultät oder Binomialkoeffizient, inklusive der Möglichkeit, unendlich lange Ausdrücke durch $...$ abzukürzen, wenn dadurch klar ist, wie der hinter diesem Platzhalter zu bildende Ausdruck weitergeht (mit Wirkung ab 01.08.2022 gehören Fakultät und damit verwandte Ausdrücke wie Binomialkoeffizienten nicht mehr zu den Bedingungen im Themenstart). Auf diese Weise können sogar Ausdrücke konstruiert werden, die unendliche Genauigkeit zu Pi aufweisen, d. h. der so erzeugte Wert hat die Abweichung 0 von Pi. Beispiele solcher Funde sind aus nachfolgender Tabelle ersichtlich (zu einem späteren Zeitpunkt wird es voraussichtlich noch detaillierter vier verschiedene Rekordlisten geben: "unendliche Genauigkeit", "endliche Genauigkeit unter Einhaltung der Bedingungen", "endliche Genauigkeit außerhalb der Bedingungen" und "endliche Genauigkeit unter ausschließlicher Zuhilfenahme der Grundrechenarten"): \sourceon Liste der Pi-Asudrücke mit unendlicher Genauigkeit Anzahl korrekter Entdecker- Datum, für das die Abweichung Pi-Ziffern Nickname Pi-Näherung formuliert wurde zu Pi ------------------------------------------------------------------------------------ unendlich hyperG 29.07.2022 0 unendlich hyperG 14.11.2000 0 unendlich querin 26.12.3333 0 \sourceoff LG Primentus


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cramilu
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  Beitrag No.126, eingetragen 2022-08-05

Guten Morgen! 😉 Hans-Juergen, bitte nimm' mein "Unfug" von oben keinesfalls persönlich - es war begrifflich zu hart; entschuldige bitte! In der Sache stehe ich zu meiner Entgegnung. Dass ausgerechnet ich über Jahrzehnte regelmäßig gerade an diejenigen Minderheitenvertreter geraten wäre, welche tatsächlich die Tausendertrennpunkte verwenden, erschiene mir höchst unwahrscheinlich. Außerdem steht es ja auch bei Wikipedia ausdrücklich anders. Allerdings scheint es in der Tat vornehmlich im kaufmännischen Umfeld noch gebräuchlich. Für mich selber habe ich inzwischen normtechnisch konsequent umgestellt. Maßgeblich auch nach selbst- kritischem Grübeln infolge Deines Hinweises. Danke! 😉 Primentus, so, wie Du es hernach angegangen bist, war der Bruch mit den 'Epsilönern' nicht gedacht; man muss Zähler und/oder Nenner schon jeweils mit sehr kleinen Zahlen - Brüche, Bruchwurzeln etc. - beaufschlagen. Und auch nicht notwendigerweise beide! Eine 'ziffernsparsame' Näherung hatte ich noch vergessen und inzwischen in meinem vorigen Beitrag nachgetragen; sie hat auch gleich geliefert: \(\sqrt{\,2^\phantom{b}}\,+\,\sqrt{\,3^\phantom{b}}\,-\,\frac{\,37_\phantom{q}}{\,7\,920^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}141\,592\,6\underline52\,770\,255\,{.}{.}{.}\) [\(8{,}2×10^{-10}\)] - für z.B. den \(29.\,07.~2337\) Und dann... hat mich das mit der Fakultät wirklich gefuchst! Und meinen kleinlichen Ehrgeiz noch mehr angestachelt. 😉 Ausgangspunkt: \(\sqrt{\sqrt{\;97\;+\;\frac{\,9_\phantom{q}}{\,22^\phantom{b}}^\phantom{b}+\;(24)^{-5}\;}^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}141\,592\,653\,\underline595\,237\,4{.}{.}{.}\) [\(1{,}73×10^{-12}\)] - aber leider kein gültiges Datum; Mist! Dann eben die "\(24\)" durch "\(4!\)" ersetzt und vorne an der Bruchsumme herumgeschraubt - leider nicht listenfähig; Mist! Mit leicht verändertem Korrektursummanden wird immerhin ein weiterer ordentlicher 'Zehner' daraus: \(\sqrt{\sqrt{\;97\;+\;\frac{\,9_\phantom{q}}{\,22^\phantom{b}}^\phantom{b}+\;5^{-10}\;}^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}141\,592\,65\underline3\,408\,{.}{.}{.}\) [\(5{,}78×10^{-11}\)] - für z.B. den \(29.\,09.~2157\) Aber der 'Brüller': Zieht man den Korrektursummanden - schwupps! - geistig unverkrampft aus dem Radikanden heraus, fällt auch schon der ersehnte... 'Elfer'[?] - NEIN: sogar 'Zwölfer' ! - vom Tisch: \(10^{-9}\,+\,\sqrt{\sqrt{\;97\;+\;\frac{\,9_\phantom{q}}{\,22^\phantom{b}}^\phantom{b}}^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}141\,592\,653\,5\underline82\,646\,{.}{.}{.}\) [\(2{,}275×10^{-12}\)] - für z.B. den \(22.\,07.~1999\) An jenem Tage fand übrigens auf dem Zerstörer USS Briscoe die Seebestattung von John F. Kennedy, Jr., seiner Frau und deren Schwester statt. Die drei waren sechs Tage zuvor bei einem Flugzeugabsturz ums Leben gekommen. Doch noch ein ordentlicher 'Elfer' lässt sich dann leicht ableiten, indem man den Korrektursummanden etwas verkleinert: \(8^{-10}\,+\,\sqrt{\sqrt{\;97\;+\;\frac{\,9_\phantom{q}}{\,22^\phantom{b}}^\phantom{b}}^\phantom{b}}\;\approx\;\;3{,}141\,592\,653\,\underline513\,968\,699\,82{.}{.}{.}\) [\(2{,}4×10^{-11}\)] - für z.B. den \(22.\,07.~1998\)


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Primentus
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  Beitrag No.127, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-05

Hallo cramilu, ok, dann hattest Du das mit dem "Epsilon" anders gemeint. Aber Du hast recht - der Buchstabe Epsilon steht ja normalerweise auch für ganz kleine Werte. Auf jeden Fall bist Du inzwischen ein absoluter Spezialist bezüglich immer größere Genauigkeit erzwingen mit immer kleineren Korrekturausdrücken. Deine drei neuen Funde habe ich bereits eingetragen. Und ich sehe gerade, dass Du soeben noch einen vierten Fund ergänzt hast - diesen trage ich umgehend nach. Dass es einen richtig fuchst, dass ein genialer Fund, zu dem es auch ein passendes Datum gibt, nur am Fakultätszeichen "scheitert", verstehe ich absolut. Die Fakultät eröffnet eben sehr viele weitere Möglichkeiten, aber leider eben auch solche, dass immer "wildere" Ausdrücke möglich sind, wie wir in diesem Thread an anderer Stelle schon gesehen haben. LG Primentus


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Bernhard
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  Beitrag No.128, eingetragen 2022-08-05

Hallo Primentus! \quoteon(2022-08-03 21:34 - Primentus in Beitrag No. 110) Hallo Bernhard, die von Dir vorgeschlagene Idee wäre natürlich auch eine Variante, auf Suche zu gehen. Je weniger Rechenoperationen man allerdings zulässt, desto weniger ist es wohl möglich, eine möglichst hohe Anzahl korrekter Dezimalziffern zu erzielen. Ich denke, dass da schon recht früh Schluss wäre. Welche Rechenoperationen würdest Du genau zulassen? Nur noch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Klammersetzung? Oder auch noch das Potenzieren? Und Würzelausdrücke dann gar nicht mehr? Ohne Wurzelausdrücke glaube ich beraubt man sich der Möglichkeit, sehr hohe Genauigkeit zu erreichen, denn diese Methode hat sich hier ja schon als äußerst praktisch erwiesen. LG Primentus \quoteoff Mir ging es hier weniger, im laufenden Thread noch eine weitere Regel aufzustellen, als mal eine verallgemeinerte und genau definierte vorzulegen. Auf Einschränkungen wie die Anzahl der Ziffern oder die Datumsfähigkeit sollte verzichtet werden, dafür die Operationen genau festgelegt sein, damit über Näherungslösungen wie Kettenbrüche, Limes oder auch die Winkelfunktionen nicht "geschummelt" werden kann. Mir ging es eher auch ums Prinzip, was mir tactac in #109 auch schon bestätigt hat: Habe ich eine endlich große Menge vorgegebener Ziffern und verknüpfe sie nur mit den Grundrechenarten, dann habe ich dazu nur endlich viele Mölichkeiten, also auch Ergebnisse und 2.) sind sie alle rational. Meine Suche nach einer Näherung zu einer irrationalen oder gar transzendenten Zahl geht also irgendwann zu Ende. Je mehr Ziffern rlaubt sind, desto später und desto näher komme ich heran. Viele Grüße, Bernhard


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Primentus
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  Beitrag No.129, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-05

Hallo Bernhard, die genauen Regeln sind letztlich im Themenstart formuliert. Generell konnte ich aber nicht verhindern, dass auch darüber hinausgehende Pi-Näherungen eingereicht wurden. Sicher ergibt es sich so, dass man bei der Suche nach Pi-Näherungen oft nahe dran ist an einer zulässigen Lösung, aber sie letztlich nicht den Bedingungen entspricht, aber der Entdecker diese dann trotzdem den anderen zeigen möchte, weil sie ja dennoch interessant und wie man im Thread auch gesehen hat, sehr oft auch inspirierend sein konnte. Im Endeffekt wollte ich daher auch nicht zu streng sein, aber so gut es mir gelang, habe ich nur die Lösungen, die den Bedingungen aus dem Themenstart entsprechen, in die lange Rekordliste aufgenommen (bis auf eventuell ein paar Funde, die man nachträglich noch wegen Fakultät oder Binomialkoeffizient aussortieren müsste). Aufgrund der Dynamik des Threads haben sich dann aber immer verschiedenartigere Funde herauskristallisiert (vier verschiedene Sorten), und als ich dann merkte, dass die Benutzung der Fakultät sozusagen "aus dem Ruder" lief, habe ich ja entsprechend "eingebremst" und die Fakultät und die Binomialkoeffizienten, sowie unendlich lange Ausdrucke, die Gebrauch von einem Platzhalterausdruck wie "$...$" machen, als nicht zulässig erklärt. Vielleicht wäre es besser, wenn für Funde bestehend aus den reinen Grundrechenarten (die dann exakt zu definieren sind) ein eigener Thread aufgemacht wird, ähnlich wie cramilu vor kurzem einen Thread mit Pi-Näherungssuche mit Ausdrücken aus 6 uhrzeittauglichen Ziffern erstellt hat, da ansonsten dieser Thread hier in der Tat zu unübersichtlich wird. Und wie gesagt - primäre Prämisse war und ist es noch immer, Pi-Näherungen zu finden, die den Bedingungen aus dem Themenstart entsprechen. Und worauf ich unbedingt noch hinweisen möchte, ist, dass man keinesfalls die Beschränkung der Anzahl von Ziffern weglassen sollte, weil sonst nämlich ein Ausdruck der Art $$3+\frac{1}{10}+\frac{4}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{5}{10000}+\frac{9}{100000}+...$$ gebildet werden kann, mit dem Pi exakt beschrieben werden kann, wodurch das "Suchspiel" schnell beendet wäre. Man übersieht schnell, wie stark eine noch so kleine Regeländerung die Suche "aus dem Ruder" laufen lassen kann. LG Primentus


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Bernhard
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  Beitrag No.130, eingetragen 2022-08-06

Hallo Primentus! Ganz hast Du wohl noch nicht verstanden, was ich gemeint hatte. Zuerst wollte ich Euch natülich nicht den Spaß verderben. Es hat immer zwei Seiten, wenn in solch einem Zusammenhang die Regeln überschritten werden: Die Sache kann interessanter und spannender werden aber auch das ursprüngliche Spiel dadurch quasi "ertränken". Ich habe hier auch beides beobachten können. Aber das war nicht der eigentliche Grund meines Posts. Klar, daß man diese Ausnahmen, Überschreitungen oder wie man sie auch nennen mag, damit unterbunden hätte, aber zuerst ging es darum, das Problem so einfach und allgemein zu formulieren, daß man z.B. einen Computeralgoritmus daraus machen könnte. Verschiedene Kombinationen von Ziffern mit Operatoren durchzuprüfen ginge vielleicht, aber dazu noch immer kontrollieren zu müssen, ob es ein Datumsformat ist (was das natürlich hier im Thread witziger macht), wäre etwas umständlich. In diesem Sinne habe ich auch keine Anzahl von Ziffern vorgegeben. Aber ich habe die Beschränkung in der Zahl nicht aufgehoben, sondern lediglich von einer "endlichen Menge vorgegebener Ziffern" gesprochen. Vielleicht hätte ich besser "endliche Anzahl" sagen sollen. Ich hatte ja auch geschrieben, daß ich damit solchen Sachen wie Limes-Funktionen und Kettenbrüchen zuvorkommen wollte. Viele Grüße, Bernhard


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Primentus
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  Beitrag No.131, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-06

Hallo Bernhard, ah ok - die Formulierung "endlich" habe ich bezüglich der Menge der Ziffern (oder besser gesagt deren Anzahl) wohl übersehen. Dann wäre ein Ausdruck wie von mir gezeigt natürlich nicht möglich (bzw. dann nur ein solcher mit endlicher Genauigkeit). Ja, möglicherweise ist es so, dass dies auch nochmal eine interessante Variante der Suche wäre. Wenn Du möchtest, kannst Du ja gerne einen entsprechenden Thread dazu eröffnen und die genauen Regeln dazu festlegen. Ich persönlich finde es in der Tat sehr witzig, das z. B. mit einem Datum zu verknüpfen, weil dann die Herausforderung vielleicht ein bisschen größer ist. Und selbst bei endlicher Anzahl von Ziffern kann es natürlich so sein, dass man riesengroße Brüche bilden kann, z. B. einen Zähler mit 1000 Ziffern und einen Nenner mit 999 Ziffern, und dann würde man bestimmt eine extrem gute Pi-Näherung hinbekommen. "Endlich" kann ja letztendlich doch auch sehr weit gehen. Deshalb frage ich mich, ob dann jeder einfach nur ellenlange Brüche bilden würde, um das Problem zu lösen - quasi das Prinzip 22/7 oder 355/113 bis zum Exzess weiterführen. LG Primentus


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querin
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  Beitrag No.132, eingetragen 2022-08-06

Hallo Primentus, melde mich noch mal zurück ;) Die Regeländerung (Verbot der Fakultät) finde ich gut. Du solltest aber dann konsequenterweise alle Ergbnisse mit Fakultäten aus der Liste entfernen. Als Ersatz hätte ich ein paar Wurzeltürme mit 11, 12 und 13 korrekten Dezimalstellen: 29.08.2458 $$\sqrt{\sqrt{89+5\cdot\sqrt{\sqrt8}+4^{-\sqrt{20}-2}}}$$ 27.06.1431 $$\sqrt{\sqrt{71\cdot\sqrt2-3-6^{1-\sqrt{40}}}}$$ 17.12.1567 $$\sqrt{7\cdot\sqrt{\sqrt{\sqrt{1+1}}}+\sqrt5}-\frac1{(7+\sqrt2)^6}$$ 27.12.5567 $$\sqrt{\sqrt{2+\sqrt{\sqrt5}}+7+1+6^{-7+\sqrt{\sqrt{2-\sqrt{\sqrt{\sqrt5}}}}}}$$ 27.09.2166 $$\sqrt{10}\cdot\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\frac{\sqrt6}{2+\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt2}}}}}-\frac{6^{-9}}{\sqrt7}}}}}}$$ 27.07.1963 $$\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{30^{\sqrt{29}}}-\sqrt{\sqrt6+7^{-1-\sqrt{\sqrt7}}}}}}$$ LG querin


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Primentus
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  Beitrag No.133, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-07

Hallo querin, willkommen zurück im Thread. 👍 Das sind nochmal sehr gute Funde von Dir. Ich trage sie heute noch im Laufe des Tages ein! Und - ja - sobald ich dazu komme, bereinige ich noch die Rekordliste um die Einträge, die nicht den Bedingungen entsprechen. LG Primentus


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  Beitrag No.134, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-07

Hallo, nun habe ich nochmal die Tabellen/Funde/Rekordlisten überarbeitet für mehr Übersichtlichkeit (zunächst aber noch weiterhin im ASCII-Format). Dabei habe ich einige Einträge entsprechend umsortiert, und manche kamen noch hinzu, die bislang noch nicht eingetragen waren. Es gibt jetzt nachfolgend diese drei Rekordlisten: 1. Liste der Pi-Näherungsrekorde mit Bedingungen aus Themenstart 2. Liste der Pi-Näherungsrekorde außerhalb der Bedingungen mit endlicher Genauigkeit (hierunter fallen insbesondere Funde, die Gebrauch machen von der Fakultät, von Binomialkoeffizienten, Dezimalpunkten und Platzhaltern wie "$...$", die unendlich lange Ausdrücke andeuten sollen) 3. Liste der Pi-Ausdrücke außerhalb der Bedingungen mit unendlicher Genauigkeit Und hier sind nun die drei Rekordlisten: 1. Liste der Pi-Näherungsrekorde mit Bedingungen aus Themenstart \sourceon Anzahl korrekter Entdecker- Datum, für das die Abweichung Pi-Ziffern Nickname Pi-Näherung formuliert wurde zu Pi ------------------------------------------------------------------------------------ 13 querin 27.07.1963 BISHERIGER REKORD! ca. 5.082*10^(-14) 13 querin 27.09.2166 ca. 48.760*10^(-14) 12 tactac/querin 28.12.1984 ca. 212.05*10^(-14) 12 querin 27.12.5567 ca. 304.76*10^(-14) 11 querin 27.06.1431 ca. 663.54*10^(-14) 12 cramilu 22.07.1999 ca. 714.71*10^(-14) 12 querin 17.12.1567 ca. 842.53*10^(-14) 11 Aquilex 31.05.4899 ca. 1527.49*10^(-14) 11 Aquilex 31.08.3499 ca. 2001.31*10^(-14) 11 querin 29.08.2458 ca. 2897.93*10^(-14) 11 querin 29.12.5778 ca. 5117.05*10^(-14) 10 cramilu 24.12.6799 ca. 6368.69*10^(-14) 11 cramilu 22.07.1998 ca. 7582.45*10^(-14) 10 cramilu 29.09.2157 ca. 18150.78*10^(-14) 10 cramilu 29.12.2346 ca. 20707.50*10^(-14) 10 cramilu 26.12.3899 ca. 20707.50*10^(-14) 10 tactac 01.04.2016 ca. 24979.51*10^(-14) 10 tactac 19.03.2022 ca. 34254.38*10^(-14) 9 Aquilex 16.04.2239 9 cramilu 29.07.2337 9 cramilu 24.12.1975 9 cramilu 14.03.2022 9 cramilu 25.05.3456 9 cramilu 17.11.4476 9 cramilu 14.11.3377 9 cramilu 15.04.1986 9 querin 22.04.1997 8 cramilu 17.11.3557 8 cramilu 29.09.3379 8 cramilu 19.09.3457 8 cramilu 27.10.2345 8 cramilu 19.10.3445 8 cramilu 28.10.2347 8 cramilu 31.08.2789 8 cramilu 24.12.2699 8 cramilu 26.03.3333 8 cramilu 19.09.5555 8 cramilu 18.10.1773 8 tactac 01.01.2028 7 cramilu 27.08.1036, 18.06.2355 7 DerEinfaeltige 17.05.1814 7 Primentus 17.12.2358 7 Primentus 19.12.2777 7 Primentus 18.08.5680 7 Primentus 30.11.3550 7 stpolster 15.05.1033, 07.06.2021, 14.04.2021, 15.07.2022 5 Primentus 16.04.2999 5 querin 13.12.1223 \sourceoff 2. Liste der Pi-Näherungsrekorde außerhalb der Bedingungen mit endlicher Genauigkeit \sourceon Anzahl korrekter Entdecker- Datum, für das die Abweichung Pi-Ziffern Nickname Pi-Näherung formuliert wurde zu Pi ------------------------------------------------------------------------------------ 14 tactac 28.12.2447 ca. 4.761*10^(-14) 14 tactac/querin 28.12.3467 ca. 6.399*10^(-14) 13 tactac/querin 28.12.5667 ca. 15.053*10^(-14) 11 tactac 28.12.5677 ca. 50.86*10^(-14) 11 tactac 28.12.2345 ca. 153.06*10^(-14) 11 tactac 28.12.4556 ca. 173.07*10^(-14) 11 querin 29.11.2579 ca. 281.41*10^(-14) 11 Aquilex 24.12.1985 ca. 1532.11*10^(-14) 10 cramilu 07.04.1999 ca. 27415.77*10^(-14) 10 cramilu 28.12.2234 ca. 39202.84*10^(-14) \sourceoff 3. Liste der Pi-Ausdrücke außerhalb der Bedingungen mit unendlicher Genauigkeit \sourceon Anzahl korrekter Entdecker- Datum, für das die Abweichung Pi-Ziffern Nickname Pi-Näherung formuliert wurde zu Pi ------------------------------------------------------------------------------------ unendlich AnnaKath 14.12.3459 0 unendlich hyperG 29.07.2022 0 unendlich hyperG 14.11.2000 0 unendlich hyperG 30.12.2014 0 unendlich hyperG 31.12.2014 0 unendlich hyperG 23.11.2011 0 unendlich hyperG 13.02.2141 0 unendlich querin 26.12.3333 0 unendlich querin 01.01.2041 0 \sourceoff LG Primentus


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cramilu
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  Beitrag No.135, eingetragen 2022-08-09

Da ich eher auf - Zitat tactac in #16 - »hübsch unkomplexe« Terme stehe, hatte ich es mit meinem 'Zwölfer' aus #126 zunächst selbstzufrieden bewenden lassen. Nun ist mir jedoch noch eine verhältnismäßig gute Vier-Ziffern-Näherung aufgefallen, bei der es lohnen könnte, irgendwo einen 'Korrekturabschlag' einzubauen: \(\sqrt{\sqrt{\;6^\phantom{b}}^\phantom{b}}^\left(\frac{\,23_\phantom{q}}{\,9^\phantom{b}}\right)\;\approx\;\;3{,}141\,6{.}{.}{.}\) [\(5{,}33×10^{-6}\)] Teamwork macht stark! 😉


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  Beitrag No.136, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-13

Hallo cramilu, ich hoffe, jemand findet noch eine gute Verbesserung Deiner Pi-Näherung. Inzwischen habe ich eine $\LaTeX$-Übersicht der drei Rekordlisten gebastelt, die den aktuellen Stand wiedergeben und nun erstmals auch die Pi-Näherungsausdrücke selbst enthalten. Ich habe das Dokument als PDF-Datei in meinem Notizbuch abgelegt, bzw. es ist auch abrufbar unter Das beste Pi Datum - Rekordlisten als PDF (Edit: Link zuletzt aktualisiert am 14.08.2022 um 15:25 Uhr). Nun haben wir eine gute Übersicht über alle bisherigen Funde. Ich möchte in diesem Zusammenhang nochmals ausdrücklich querin sehr herzlich gratulieren, der mit 13 korrekten Dezimalziffern die bisher beste Pi-Näherung unter Einhaltung der Bedingungen aus dem Themenstart eingereicht hat (1. Rekordliste). Außerdem auch herzlichen Glückwunsch an tactac, der mit 14 korrekten Dezimalziffern die bisher beste Pi-Näherung außerhalb der Bedingungen aus dem Themenstart eingereicht hat (2. Rekordliste). Die Einträge aus der dritten Rekordliste (unendliche Genauigkeit zu Pi) sind innerhalb derer alle als gleich gut einzustufen wegen der exakten Übereinstimmung mit Pi. LG Primentus


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OlgaBarati
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  Beitrag No.137, eingetragen 2022-08-14

Vielleicht noch für Liste 3 das Datum $11.11.1111$. $$\sqrt{(1+1+1+1+1+1) \zeta(1+1)}=\pi$$


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Hallo OlgaBarati, wow - sehr interessanter Ausdruck von Dir - er überzeugt durch Einfachheit und Genialität zugleich und das zu einem sehr schönen Datum. Wirklich sehr sehenswert! Vielen Dank für diesen wunderbaren Fund! Ich habe diesen zu Liste 3 hinzugefügt und den Link in Beitrag #136 entsprechend aktualisiert. Generell gilt: Sehr gerne nehme ich noch weitere Funde (mit mindestens 5 korrekten Dezimalziffern bezüglich Pi) in das PDF-Dokument auf, falls jemand noch welche parat haben sollte! LG Primentus


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