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Mathematik » Topologie » Linksseitige Grenzwerte in topologischen Räumen
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Universität/Hochschule Linksseitige Grenzwerte in topologischen Räumen
Toasten47
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  Themenstart: 2022-07-26

Sei $(E,\tau)$ ein topologischer Raum, $\infty\not\in E$, $(E_\infty,\tau_\infty)$ die Alexandroff-Einpunkterweiterung von $(E,\tau)$ um $\infty$, $f:[0,\infty]\to E_\infty$ und $\zeta:=\inf\{t\ge0:f(t)=\infty\}$. Sei $t\in(0,\zeta)$. Können wir zeigen, dass $f$ einen linksseitigen Grenzwert an der Stelle $t$ hat genau dann, wenn ein $\ell\in E$ existiert, sodass für jede $\tau$-Umgebung $N\subseteq E$ von $\ell$ ein $\delta\in(0,t]$ mit $f((t-\delta,t))\subseteq N$ existiert? Angenommen $f$ hat einen linksseitigen Grenzwert an der Stelle $t$. Dann existiert ein $\ell\in E_\infty$, sodass für jede $\tau_\infty$-Umgebung $N_\infty\subseteq E_\infty$ von $\ell$ ein $\delta\in(0,t]$ mit $f((t-\delta,t))\subseteq N_\infty$ existiert. Doch jetzt scheitere ich schon daran $\ell\in E$ zu zeigen ... (Wenn die Annahmen an $f$ unzureichend für die gewünschte Aussage sind, wäre ich bereit Rechtsstetigkeit in $[0,\zeta)$ anzunehmen.)


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darkhelmet
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-27

\quoteon(2022-07-26 15:35 - Toasten47 im Themenstart) Sei $t\in(0,\zeta)$. Können wir zeigen, dass $f$ einen linksseitigen Grenzwert an der Stelle $t$ hat genau dann, wenn ein $\ell\in E$ existiert, sodass für jede $\tau$-Umgebung $N\subseteq E$ von $\ell$ ein $\delta\in(0,t]$ mit $f((t-\delta,t))\subseteq N$ existiert? \quoteoff Deine Bedingung an $\ell$ ist doch genau, dass es linksseitiger Grenzwert von $f$ an $t$ ist. Also ist zu zeigen, dass $f$ an $t$ einen linksseitigen Grenzwert in $E_\infty$ hat genau dann, wenn es einen in $E$ hat. Das stimmt aber nicht. Nehme z.B. $E=\mathbb{R}$ und definiere \[ f(t)= \begin{cases} \frac{1}{t-1},\hspace{2ex}&\text{für }t\in[0,1)\\ 0,\hspace{2ex}&\text{für }t\in[1,\infty]. \end{cases} \] Dann ist $f$ rechtsstetig, $\zeta=\infty$ und $f$ hat an $1$ einen linksseitigen Grenzwert in $E_\infty$, aber nicht in $E$.


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