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Universität/Hochschule Gleichung in Z/p
Galois_1993
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  Themenstart: 2022-07-27

Hallo. Wir haben folgende Gleichung: $\lambda_1(x_1+x_2+\dotsc +x_t)+\lambda_2(x_1^2+x_2^2+\dotsc +x_t^2) + \dots + \lambda_t(x_1^t+x_2^t+\dotsc +x_t^t) = -1$ mod $p$. Dabei sind die $x_i$ paarweise verschieden und aus $\{1,2,\dotsc, n\}$ und $t < n/2$. Zudem ist $n\ll p$ (man denke sich $n$ höchstens von der Größenordnung $log(p)$), und $t$ und $n$ sind natürlich fest. Meine Frage ist folgende: Kann man die $\lambda_i$ aus $\mathbb{Z}/p$ so wählen, dass die obige Gleichung für alle möglichen Tupel $(x_1,\dotsc,x_t)$ (wie oben definiert) erfüllt ist? Falls nein, kann man die Anzahl solcher Tupel quantifizieren (etwa eine gute obere Schranke finden) aus allen möglichen $\binom{n}{t}$ Tupeln?


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tactac
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\) Es geht im Allgemeinen nicht. Betrachte $n=1$ oder $n=2$. Dann ist $t=0$, und mit dem damit einzig möglichen Tupel von $x_i$ lautet die Gleichung $0 \equiv -1 \pmod p$.\(\endgroup\)


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Galois_1993
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-28

Ach so, es sollte auch $t\geq 1$ sein. Ich weiß allerdings schon, dass die Gleichung nicht für alle möglichen Tupel erfüllt sein kann. Wäre aber interessant zu wissen, wie eine obere Schranke aussieht für die Anzahl.


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Galois_1993 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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