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Analysis » Funktionen » Funktion bildet Intervall [0,1] auf sich selbst ab
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Universität/Hochschule J Funktion bildet Intervall [0,1] auf sich selbst ab
shirox
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  Themenstart: 2022-08-08

Guten Tag, ich muss für einen Beweis folgende Bedingung beweisen, aber bin mir noch nicht wirklich sicher wie: Sei $g : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion. Es gilt $g(0)<0$ und $g(1)>0$ mit $g(x)=x-f(x)$. Man wähle $a>0$ und $b<1$ so, dass $g(x)<0$ für $0 \leq x \leq a$ und $g(x)>0$ für $b \leq x \leq 1$. Definiere nun f durch $$ f(x)=x+ \lambda g(x)$$ wobei $\lambda = max \{-\frac{a}{M} , \frac{1-b}{m}\} (<0)$ und M ist die obere Schranke und m die untere Schranke von g. Ich möchte nun zeigen, dass f das Intervall [0,1] auf [0,1] abbildet. Setze ich beispielsweise 0 in f ein habe ich ja: $f(0)=0+ \lambda g(0)=0+ irgendwas$ da $\lambda$ negativ ist und $g(0)$, aber woher weiß ich, dass $\lambda$ klein genug ist, dass ich nicht etwas größer als 1 addiere? Und wie gehe ich bei den restlichen unendlich Werten vor, die nicht die Ränder sind?


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Qing
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-08

Hallo, ist die Aufgabenstellung so richtig wiedergegeben? Eine Selbstreferenzielle Definition von $g$ macht meines Erachtens keinen Sinn. Erst einmal müsste man sich fragen, ob es überhaupt eine Funktion gibt, die dies erfüllt, da es alles andere als klar ist. Du hast ja $f(x)=x+\lambda g(x)=x+\lambda(x-f(x))$. Also $(1+\lambda)f(x)=(1+\lambda)x$. Ist $\lambda\neq -1$ haben wir $f(x)=x$. Dann muss aber $g$ konstant Null sein, wegen $x=x+\lambda g(x)$. Das macht aber keinen Sinn, weil ja $g(0)<0$ bzw. $g(1)>0$ sein soll. In dem Fall $\lambda = -1$ hat man $f(x)=x-x+f(x)$. Das ist also der einzige Wert der für die Aufgabe überhaupt in Frage kommen würde. Ich sehe nicht weshalb $\lambda$ so wie es definiert ist, immer dieser Wert sein sollte. Edit: Mir fällt gerade auf, dass dies wohl nicht die Aufgabenstellung ist, sondern die eigene Beweisidee. Die Kritik bleibt natürlich bestehen. Ich denke, dass es sinnvoll ist, wenn du uns die originale Aufgabenstellung zeigst.


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shirox
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-09

Erstmal danke ich dir. Ich verstehe dein Problem. Die Gleichheit wurde in beiden Fällen weggelassen, da diese automatisch die zu beweisende Aufgabe folgern würden. Ziel ist es mit dem Fixpunktsatz von Brouwer (im eindimensionalen) den Zwischenwertsatz bzw. den Nullstellensatz zu zeigen. Wenn erlaubt folgt nun einfach der Ausschnitt aus der Quelle: Wobei Satz 1 als Nullstellensatz so formuliert ist: Sei $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion mit $g(0) \leq 0 \leq g(1)$. Dann gibt es ein $\zeta \in [0,1]$ mit $f(\zeta)=0$ Satz 2: Sei $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $\zeta \in [0,1]$ mit $f(\zeta)=\zeta$ Nun der Beweis: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51930_Screenshot_2022-08-09_143144.png Edit: Betrachte ich zum Beispiel: $f(0)=0+\lambda g(0)$ und $g(0) <0$ da $\lambda$ ebenfalls negativ ist addiere ich also irgendwas auf die $0$ aber woher weiß ich, dass das was ich addiere kleiner als $1$ ist, sonst bin ich außerhalb des Intervalls. Eventuell hilft auch die erwähnte Abbildung 3. Leider weiß ich nicht, welche Fälle ich betrachten soll. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51930_Abb3.png


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