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Analysis » Grenzwerte » Zeichnen imaginärer Funktion
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Universität/Hochschule J Zeichnen imaginärer Funktion
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  Themenstart: 2022-08-15

Ich tue mich irgendwie bei der Skizze folgender imaginären Funktion schwer. $$-j{f\over 4\pi(f^2-1)}$$ Ich habe versucht mit einer Grenzwertbetrachtung und Einsetzen von $\pm 1$, das etwas zu vereinfachen, jedoch bekommen ich beim Einsetzen von $\pm 1$ folgendes heraus: $$-j{f\over 4\pi(f^2-1)}\bigg{|}_{f=\pm 1} = \mp j\infty$$ Laut Wolfram Alpha müsste aber für $f=\pm 1$, $\pm j\infty$ herauskommen. Zuerst mal das.


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Caban
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-15

Hallo In meinen Augen musst du hier unterscheiden, ob du von links oder rechts an die 1 rankommst. Bei der 1 erhalte ich von links ein negatives , von rechts ein positives Vorzeichen. Bei -1 ist es umgekehrt. Gruß caban


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-15

\quoteon(2022-08-15 19:42 - Caban in Beitrag No. 1) Hallo In meinen Augen musst du hier unterscheiden, ob du von links oder rechts an die 1 rankommst. Bei der 1 erhalte ich von links ein negatives , von rechts ein positives Vorzeichen. Bei -1 ist es umgekehrt. \quoteoff Muss man dafür aber nicht den Funktionsverlauf bereits kennen? Ich versuche den Graphen ja zu skizzieren, ohne die Kenntnis darüber zu haben, wie denn eigentlich der Verlauf der Funktion aussieht.


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lula
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-15

Hallo du kannst doch einfach x/(x^2-1) plotten (falls f reell) dann ist eben die Einheit auf der y Achse i Gruß lula


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-15

\quoteon(2022-08-15 20:29 - lula in Beitrag No. 3) Hallo du kannst doch einfach x/(x^2-1) plotten (falls f reell) dann ist eben die Einheit auf der y Achse i Gruß lula \quoteoff Mir ging es aber nicht um das plotten sondern wie man selber darauf kommt, diese Funktion zu zeichnen. Per Wolfram Alpha habe ich es ja bereits abgecheckt, jedoch komme ich beim Einsetzen von $+1$ nicht auf den Wert $j\infty$, sondern auf $-j\infty$


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, zeichne dir doch einmal per Funktionen-Plotter den Graphen von \[f(x)=\frac{x}{x^2-1}\] Vielleicht siehst du dann, was Caban in #1 gemeint hat (und was deine obige Frage eigentlich erschöpfend beantworten sollte). (Immer vorausgesetzt, dass \(f\) eine reelle Variable ist. Was du da oben angegeben hast ist noch nicht einmal Funktionen, sondern einfach irgendein Term...) Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17

\quoteon(2022-08-15 20:40 - Diophant in Beitrag No. 5) Hallo, zeichne dir doch einmal per Funktionen-Plotter den Graphen von \[f(x)=\frac{x}{x^2-1}\] Vielleicht siehst du dann, was Caban in #1 gemeint hat (und was deine obige Frage eigentlich erschöpfend beantworten sollte). (Immer vorausgesetzt, dass \(f\) eine reelle Variable ist. Was du da oben angegeben hast ist noch nicht einmal Funktionen, sondern einfach irgendein Term...) \quoteoff ich habe bereits am Anfang Caban verstanden aber diese Aufgabe wurde im Rahmen einer Prüfung, etwas abgewandelt, gestellt. Dazu soll man den Verlauf der Funktion hier $S(f) = -j {f\over 4\pi (f^2-1)}$ skizzieren. Da wir dort auch keinen Plotter benutzen dürfen, fällt es mir schwer diese Funktion zu skizzieren. Nichtsdestotrotz hier meine Berechnung mit Skizze. Müsste ich es dann vielleicht numerisch, durch Einsetzen skizzieren, da ich ohne die Skizze nicht auf die linkseitigen- und rechtseitigen Grenzwerte komme oder geht das auch analytisch? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-17_163115.png


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-08-17 16:36 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) ...da ich ohne die Skizze nicht auf die linkseitigen- und rechtseitigen Grenzwerte komme oder geht das auch analytisch?... \quoteoff Ja sicher. Man nimmt sich ein \(h>0\) und betrachtet die beiden Grenzwerte \(\lim_{h\to 0}S(\pm 1+h)\) sowie \(\lim_{h\to 0}S(\pm 1-h)\) jeweils getrennt. Anschaulich gesprochen schaut man sich damit an, was Zähler und Nenner vorzeichentechnisch um die kritische Stelle herum machen. Wichtig ist dabei einfach, dass das \(h\) ein festes Vorzeichen hat. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17

\quoteon(2022-08-17 16:50 - Diophant in Beitrag No. 7) Hallo, \quoteon(2022-08-17 16:36 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) ...da ich ohne die Skizze nicht auf die linkseitigen- und rechtseitigen Grenzwerte komme oder geht das auch analytisch?... \quoteoff Ja sicher. Man nimmt sich ein \(h>0\) und betrachtet die beiden Grenzwerte \(\lim_{h\to 0}S(\pm 1+h)\) sowie \(\lim_{h\to 0}S(\pm 1-h)\) jeweils getrennt. Anschaulich gesprochen schaut man sich damit an, was Zähler und Nenner vorzeichentechnisch um die kritische Stelle herum machen. Wichtig ist dabei einfach, dass das \(h\) ein festes Vorzeichen hat. \quoteoff Damit konnte ich schon was anfangen, danke. Jedoch bekomme ich für den Linksseitigen- und rechtsseitigen uneigentlichen Grenzwert (um $f=1$ herum), das selbe heraus. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-17_183919.png interpretiere ich das Ergebnis vielleicht falsch? Der linkseitige Grenzwert müsste doch $j\infty$ sein oder?


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Caban
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-08-17

Hallo Nein, so geht das nicht, du kannst nicht einfach durch 0 teilen. Setzte f=1+1*n^(-1), setzte das f ein. Vereinfache den Term und untersuche, was passiert wenn n gegen unendlich. Gruß Caban


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Diophant
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-08-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-08-17 18:43 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) interpretiere ich das Ergebnis vielleicht falsch? Der linkseitige Grenzwert müsste doch $j\infty$ sein oder? \quoteoff Ich hatte ja geschrieben: du musst schauen, was das Vorzeichen in der Umgebung der kritischen Punkte macht, genauer gesagt: "auf dem Weg Richtung \(\pm 1\)". Betrachten wir einmal \[\lim_{h\to 0}S(1-h)=\lim_{h\to 0}\left(-j\frac{1-h}{4\pi\cdot\left((1-h)^2-1\right)}\right)\] Wenn \(h\) klein genug ist, ist der Zähler des Bruchs sicherlich positiv, gibst du mir da recht? Der Nenner ist dann aber negativ, da dann \((1-h)^2<1\) gilt. Wenn man alle Vorzeichen berücksichtigt, hat man hier dann schlussendlich: \[\lim_{h\to 0}\left(-j\frac{1-h}{4\pi\cdot\left((1-h)^2-1\right)}\right)=j\cdot\infty\] Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]\(\endgroup\)


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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-17_190627.png Ich hätte den Wert für $h$ demnach nicht einsetzen sollen, wegen $1/0$. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17

\quoteon(2022-08-17 19:00 - Diophant in Beitrag No. 10) \quoteon(2022-08-17 18:43 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) interpretiere ich das Ergebnis vielleicht falsch? Der linkseitige Grenzwert müsste doch $j\infty$ sein oder? \quoteoff Ich hatte ja geschrieben: du musst schauen, was das Vorzeichen in der Umgebung der kritischen Punkte macht, genauer gesagt: "auf dem Weg Richtung \(\pm 1\)". Betrachten wir einmal \[\lim_{h\to 0}S(1-h)=\lim_{h\to 0}\left(-j\frac{1-h}{4\pi\cdot\left((1-h)^2-1\right)}\right)\] Wenn \(h\) klein genug ist, ist der Zähler des Bruchs sicherlich positiv, gibst du mir da recht? Der Nenner ist dann aber negativ, da dann \((1-h)^2<1\) gilt. Wenn man alle Vorzeichen berücksichtigt, hat man hier dann schlussendlich: \[\lim_{h\to 0}\left(-j\frac{1-h}{4\pi\cdot\left((1-h)^2-1\right)}\right)=j\cdot\infty\] \quoteoff Ja genau. Das habe ich dann jetzt verstanden. Also kann ich mir dann merken, wenn ich Polstellen habe, sprich der Nenner irgendwie $0$ werden kann, darf ich den Wert wonach $f$ strebt nicht einsetzen oder gibt es dafür auch eine Regel? Bei dem Teil mit dem Quadrat musste ich kurz nachdenken aber weil ja $h > 0$ ist, ist das Quadrat ja immer kleiner als $1$, weil egal was ich für h im Nenner einsetze, es wird mit $1-h$ bereits kleiner $1$ und das Quadrat macht es ja nicht größer als $1$. Der nächste Schritt wäre dann, dass man das ohne $h$ macht und sich das dann nur noch gedanklich vorstellt, indem man sagt es geht gegen $\pm 1^{\pm}$ richtig?


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Diophant
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-08-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-08-17 19:23 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) Ja genau. Das habe ich dann jetzt verstanden. Also kann ich mir dann merken, wenn ich Polstellen habe, sprich der Nenner irgendwie $0$ werden kann, darf ich den Grenzwert nicht einsetzen oder gibt es dafür auch eine Regel? \quoteoff Das ist ja u.a. der Witz an der Limes-Schreibweise: man kann die meisten Grenzwerte nicht einfach durch Einsetzen bestimmen, sondern es braucht oft sehr viel weiterführende Überlegungen. Auf der anderen Seite möchte man diese Überlegungen notieren, und dafür ist diese Schreibweise da. Und für den Fall, dass es auf die Bestimmung des Vorzeichens von links- und rechtsseitigem Grenzwert hinausläuft habe ich dir jetzt eine meiner Kenntnis nach übliche Methode vorgeführt. Die Frage nach 'Regeln' verstehe ich in dem Zusammnhang jetzt nicht so ganz. Natürlich gibt es da massenhaft Regeln, aber man kann hier im Forum ja schlecht ein halbes Analysis 1-Skript abtippen... \quoteon(2022-08-17 19:23 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) Bei dem Teil mit dem Quadrat musste ich kurz nachdenken aber weil ja $h > 0$ ist, ist das Quadrat ja immer kleiner als $1$, weil egal was ich für h im Nenner einsetze, es wird mit $1-h$ bereits kleiner $1$ und das Quadrat macht es ja nicht größer als $1$. Der nächste Schritt wäre dann, dass man das ohne $h$ macht und sich das dann nur noch gedanklich vorstellt, indem man sagt $\pm 1^+$ richtig? \quoteoff Das verstehe ich ebensowenig. Wenn dein Dozent sich damit zufrieden gibt, dass du ihm sagst, du hättest dir diesen oder jenen Grenzwert gründlich überlegt, dann kannst du das so machen. Ansonsten würde ich es ersteinmal dabei belassen, den Sinn der obigen Vorgehensweise zu verstehen: da kommt nämlich im Idealfall nicht nur der richtige Grenzwert heraus, sondern man kann deine Überlegung dann nachvollziehen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Ich könnte jetzt nicht den rechten Term als Produkt, wie folgt aufschreiben, da diese an den Stellen $\pm 1$ nicht konvergieren oder? Das würde sich ja sonst anbieten, da man die Verläufe $1/x$ ja kennt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-17_211924.png


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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-08-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-08-17 21:24 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) Ich könnte jetzt nicht den rechten Term als Produkt, wie folgt aufschreiben, da diese an den Stellen $\pm 1$ nicht konvergieren oder? Das würde sich ja sonst anbieten, da man die Verläufe $1/x$ ja kennt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-17_211924.png \quoteoff Richtig. Grenzwertregeln/-sätze darf man nur anwenden, wenn alle beteiligten Funktionen konvergent sind. Außerdem solltest du dich bei deinen Notationen bemühen, dass sie nachvollziehbarer werden. Das ist ja schlussendlich der Zweck schlechthin von jeder mathematischen Notation: dass andere deine Gedankengänge möglichst gut nachvollziehen können. Wenn ich mir den Thread bisher so anschaue: ganz ehrlich, das scheinst du für meinen Geschmack (noch) nicht so sehr auf dem Schirm zu haben. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Caban
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-08-17

Hallo Das darf man nicht machen, weil die Grenzwerte nicht endlich sind. Außerdem ist es nur sinnvoll den Grenzwert an einer bestimmten Stelle zu untersuchen. Gruß Caban [Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]


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Ich werde es dann einfach so machen, wie in Beitrag 11 oder 10. Ich hadere noch mit mir selbst, ob das wirklich das war, was der Prüfer sich vorgestellt hatte. Vielleicht hat er erwartet, dass wir den Verlauf bereits kennen. Nichtsdestotrotz ist das ja schon ganz schön anschaulich. Vielen Dank, für eure Mühen und einen schönen Abend wünsche ich euch :)


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