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Schulmathematik » Analytische Geometrie » Windschiefe Geradenschar und Abstandsberechnung
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Kein bestimmter Bereich J Windschiefe Geradenschar und Abstandsberechnung
Qmat1321
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  Themenstart: 2022-09-25

Hallo zusammen, beim Blättern durch meine alten Unterlagen kam mir eine alte Mathe-Abi-Aufgabe unter, die ich eigentlich nur spaßeshalber rechne, die aber dann doch geringfügig an meinem Ego kratzt, da ich den zweiten Aufgabenteil überhaupt nicht "gezeigt" bekomme. Vielleicht mag mir ja jemand helfen. :) Aufgabe: Für jedes k \in \IR ist durch h_k : x^> = matrix(2;1;-1) + t matrix(1+2k;-1-k;2k) , t \in \IR eine zur Geraden g: x^> = matrix(3;-3;2) + r matrix(2;-1;2) windschiefe Gerade h_k gegeben. (1) Zeigen Sie, dass alle diese Geraden h_k in der Ebene F: 2x_1 + 2x_2 - x_3 = 7 liegen. (2) Zeigen Sie, dass alle diese Geraden h_k denselben Abstand von der Geraden g haben. Meine Lösung zu (1): Einsetzen der Geradenschar in die Ebene und auflösen liefert direkt das gewünschte Ergebnis. Meine Lösungsversuche zu (2): Egal, ob ich über einen allgemeinen Verbindungsvektor gehe oder über eine Hilfsebene oder... was auch immer an kruden Gedanken ich schon hatte: Ich scheitere spätestens an den resultierenden Gleichungssystemen, in denen neben den Variablen s, k, t nun eben auch das Produkt aus k und t auftaucht und mich somit hier rein algebraisch überfordert. Zumal dies eine alte Abituraufgabe ist... und mit Mitteln der Schulmathematik gelöst werden können sollte. P.S.: Dass der Abstand 3 ist und der Stützvektor der Geraden auf den Punkt mit dem kürzesten Verbindungsvektor zur Geraden g weist habe ich mit anderen Mitteln (GeoGebra) gelöst bekommen bzw. mir irgendwie auch schon gedacht, aber das ist ja kein Nachweis im eigentlichen Sinne. Mag mir jemand einen Tipp geben / den Knoten lösen? Wahrscheinlich fehlt mir nur ein schlauer Gedanke.


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Sofern das Kreuz- bzw. Vektorprodukt zur Verfügung steht, gibt es für den Abstand zweier windschiefer Geraden die folgende Formel: \[d=\frac{\left|\vec{r}_1\times\vec{r}_2\cdot(\vec{s}_2-\vec{s}_1)\right|}{\left|\vec{r}_1\times\vec{r}_2\right|}\] (Darin sind die \(\vec{r}_i\) Richtungs- und die \(\vec{s}_i\) Stützvektoren aus den beiden Geradengleichungen.) Ohne muss man tatsächlich über ein Gleichungssystem gehen: den Vektor zwischen den zwei "laufenden Geradenpunkten" in Abhängigkeit der beiden Parameter bestimmen, und dann die Skalarprodukte dieses Vektors mit den beiden Richtungsvektoren gleich Null setzen. Das läuft auf ein 2x2-LGS hinaus, dessen Lösungsmenge aus den beiden Parameterwerten der beiden Lotfußpunkte besteht. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Analytische Geometrie' von Diophant]\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-09-25

Hallo Qmat1321, du könntest versuchen zu zeigen, dass g parallel zu F und zu keiner der Geraden $h_k$ liegt.


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Qmat1321
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-25

Oh mein Gott. Das k hebt sich im Kreuzprodukt komplett weg. Und ich Depp rechne hier seitenlang durch irgendwelche Gleichungssysteme. Vielen Dank für die flotte Hilfe! :) [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Qmat1321
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-25

\quoteon(2022-09-25 13:41 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2) Hallo Qmat1321, du könntest versuchen zu zeigen, dass g parallel zu F liegt. \quoteoff Das ginge natürlich auch (und ist rechnerisch dann schon beinahe wieder öde). Danke. 😃


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-25

\quoteon(2022-09-25 13:48 - Qmat1321 in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-09-25 13:41 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2) du könntest versuchen zu zeigen, dass g parallel zu F liegt. \quoteoff Das ginge natürlich auch (und ist rechnerisch dann schon beinahe wieder öde). Danke. 😃 \quoteoff Stimmt, du brauchst die Abstandsformel nicht. Nach dem Abstand ist ja auch gar nicht gefragt. (Beachte noch die nachträgliche Ergänzung in Beitrag #2.)


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