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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Maximum einer implizit definierten Funktion
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Universität/Hochschule J Maximum einer implizit definierten Funktion
elO
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 01.02.2022
Mitteilungen: 13
Wohnort: Deutschland, Hamburg
  Themenstart: 2022-09-29

Hallo, ich habe eine Aufgabe in der ich folgende Gleichung gegeben habe: $x^2+y^2+sin(y)=0$. Ich soll nun zeigen, dass diese Gleichung eine eindeutige Lösung $y=f(x)$ auf einer Nullumgebung in $\mathbb{R}^2$ hat. Das habe ich mit dem Satz über implizite Funktionen getan. Das war relativ einfach. Nun soll ich aber außerdem zeigen, dass $f$ ein Maximum im Nullpunkt hat. Leider weiß ich nicht, wie man zeigen kann, dass eine implizit definierte Funktion irgendwo ein Maximum oder Minimum hat. Ich bin euch für eure Hilfe sehr dankbar. Viele Grüße Ole


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go361
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Dabei seit: 21.06.2022
Mitteilungen: 30
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \) Versuch' einmal, die gegebene Gleichung nach $x$ abzuleiten.\(\endgroup\)


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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10026
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.2, eingetragen 2022-09-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, leite doch einmal die implizite Gleichung nach \(x\) ab und löse die so erhaltene Gleichung nach \(y'\) auf. Das legt dann schon einmal ein Extremum an der Stelle \(x=0\) nahe. (Dabei die Kettenregel nicht vergessen!) Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] [Verschoben aus Forum 'Funktionen' in Forum 'Differentialrechnung in IR' von Diophant]\(\endgroup\)


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elO
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-29

Vielen Dank für eure schnellen Antworten. Ich habe versucht die Gleichung nach $x$ abzuleiten. Ich bin jetzt auf $y'(x) = \frac{-2x}{2y+cos(y)}$ gekommen. Ich vermute mal, dass die Begründung für das Maximum im Nullpunkt darin liegt, dass diese Ableitung $0$ ist, wenn auch $x$ und $y$ null sind, die zweite Ableitung an der Stelle negativ ist? Dafür müsste man dann ja noch die zweite Ableitung ausrechnen. Oder stimmt das so nicht? Viele Grüße Ole


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zippy
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Mitteilungen: 4179
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-09-29

Anstatt die Ableitung zu betrachten kannst du aus der Gleichung $x^2+y^2+\sin(y)=0$ auch unmittelbar ablesen, dass $y<0$ für $x\ne0$ sein muss. Also ist $y(0)=0$ ein Maximum. --zippy


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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-09-29 21:30 - elO in Beitrag No. 3) Vielen Dank für eure schnellen Antworten. Ich habe versucht die Gleichung nach $x$ abzuleiten. Ich bin jetzt auf $y'(x) = \frac{-2x}{2y+cos(y)}$ gekommen. Ich vermute mal, dass die Begründung für das Maximum im Nullpunkt darin liegt, dass diese Ableitung $0$ ist, wenn auch $x$ und $y$ null sind, die zweite Ableitung an der Stelle negativ ist? Dafür müsste man dann ja noch die zweite Ableitung ausrechnen. Oder stimmt das so nicht? \quoteoff Doch, das passt eigentlich schon. Die zweite Ableitung zu betrachten macht aber hier keinen Sinn. Wenn du dir stattdessen klarmachst, dass man hier den Vorzeichenwechsel der Ableitung an der Stelle \(x=0\) unmittelbar ablesen und begründen kann, dann hast du dein Maximum. Oder du machst es so, wie von zippy vorgeschlagen. Das ist dann die elegante Variante. 🙂 Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Wally
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Mitteilungen: 9611
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-09-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo Ole, hier geht es auch ohne, aber in allgemeinen Situationen kann und muss man natürlich auch die zweite Ableitung berechnen. Wenn du es hier machst und dann für den Nullpunkt \( y=y'=0\) einsetzt, erhältst du \( y''(0)=-2\). Dabei ist es meist einfacher, die Urprungsgleichung zweimal abzuleiten als die nach \( y'\) aufgelöste Form. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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elO
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Wohnort: Deutschland, Hamburg
  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-30

Vielen Dank für all eure Hilfe. Ich denke, ich habe es nun verstanden.


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