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Universität/Hochschule J 24 ist Teiler von p^2-1
DerJoker
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Dabei seit: 05.11.2011
Mitteilungen: 165
  Themenstart: 2013-12-26

Guten Abend, ich hab mich an der folgenden Aufgabe versucht: Ermittle alle Primzahlen p mit der Eigenschaft, dass p^2-1 durch 24 teilbar ist. Meine Behauptung ist nun das diese Eigenschaft für jede Primzahl echt größer als 3 erfüllt ist. Sei p eine Primzahl echt größer als 3. Dann gilt: p = 1,2 (mod 3). Fall 1: p = 1 (mod 3) => (p+1)*(p-1) = 0 (mod 3). Fall 2: p = 2 (mod 3) => (p+1)*(p-1) = 0 (mod 3). Die Teilbarkeit durch 3 ist also schon mal erfüllt. Nun kann nur p = 1,3,5,7 (mod 8) gelten. In den anderen Fällen wäre p durch 2 teilbar. Fall 1: Sei p = 2 (mod 3) => p = 3*k-1 für ein k\el\ \IN. Dann gilt: (p+1)*(p-1) = 3*k*(3*k-2) = 9*k^2-6k = (k+1)^2 -1 (mod 8). Betrachte nun folgende Fälle: p = 1 (mod 8) <=> 3k-1 = 1 (mod 8) => k = 6 (mod 8) p = 3 (mod 8) <=> 3k-1 = 3 (mod 8) => k = 4 (mod 8) p = 5 (mod 8) <=> 3k-1 = 5 (mod 8) => k = 2 (mod 8) p = 7 (mod 8) <=> 3k-1 = 7 (mod 8) => k = 0 (mod 8) Für alle diese Fälle folgt: (p+1)(p-1) = (k+1)^2-1 = 0 (mod 8) Also ist die Teilbarkeit durch 8 für diesen Fall erfüllt. Der zweite Fall funktioniert analog. Habe ich das so richtig gemacht? Mir kommt das so unelegant und unschön vor. Schönen Gruß, DerJoker


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KidinK
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  Beitrag No.1, eingetragen 2013-12-26

Hallo Joker, Ich habe mir das nicht im Detail angesehen. Deine Behauptung ist jedenfalls richtig. Einfacher siehst du es ein, wenn du $ p^2-1 $ einmal in Faktoren zerlegst (3. Binomische Formel). Auf die beiden Faktoren kannst du die 24 dann leicht verteilen. Man sieht dann auch, dass es genügt, anzunehmen, dass p teilerfremd zu 2 und 3 ist, prim muss es gar nicht sein. Dass dies alle Primzahlen > sind, ist ja klar. Liebe Grüße, KidinK


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DerJoker
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-26

Hallo KidinK, p^2-1 = (p+1)*(p-1) und nun? Ich sehe nicht wirklich wie sich nun die 24 leicht auf diese Faktoren verteilen lässt. :-? Schönen Gruß, DerJoker


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Gockel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2013-12-26

Hi. Du brauchst, dass 3*8 das Produkt teilt. Weil 3 prim ist, ist das äquivalent dazu, dass 3 einen der Faktoren teilt. Das hast du ganz zu Beginn gezeigt. Es bleibt also die Teilbarkeit durch 8 zu prüfen. Mit "Verteilen" ist jetzt gemeint, dass du zeigen sollst, dass stets ein Faktor durch 2 und der andere durch 4 teilbar ist. mfg Gockel.


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fru
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  Beitrag No.4, eingetragen 2013-12-26

Hallo Joker! \ Zeige, daß jede Primzahl, die größer als 3 ist, die Form 6k+-1 mit einer ganzen Zahl k hat. Der Rest ist dann einfach: p^2-1=(6k+-1)^2-1=24*(k^2+k(k+-1)/2) und k(k+-1)/2 ist ganz__, weil k(k+-1) als Produkt zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen gerade__ ist. Liebe Grüße, Franz [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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DerJoker
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-27

Hallo, das jede Primzahl größer als 3 modulo 6 gleich +-1 ist war mir gar nicht bekannt. Cooler Beweis fru. Über das "Verteilen" denke ich morgen noch mal nach. Bin jetzt zu müde dafür. Vielen Dank schon mal für eure Hilfe :). Schönen Gruß, DerJoker


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fru
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  Beitrag No.6, eingetragen 2013-12-27

\quoteon(2013-12-27 00:10 - DerJoker in Beitrag No. 5) [...] das jede Primzahl größer als 3 modulo 6 gleich +-1 ist war mir gar nicht bekannt. \quoteoff Das gilt sogar für jede ungerade Zahl, die nicht durch 3 teilbar ist (wie Du Dir sicherlich leicht selbst klar machen kannst), also etwa auch für nicht prime Zahlen wie 1, 25, 35, 49 usw.


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DerJoker
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-27

Guten Morgen, also zunächst zur Verteilung. Das p+1,p-1 durch 2 teilbar sind ist klar. Da p eine Primzahl echt größer 2 ist und damit ungerade. Ist nun p-1 = 2*k und k gerade so ist p-1 durch 4 teilbar. Ist k ungerade so ist p+1 = 2*(k+1) durch 4 teilbar, da k+1 gerade. Weshalb zum Teufel sehe ich sowas nicht sofort :-| . Na ja und jede ungerade Zahl welche nicht durch 3 teilbar ist... Kann nicht durch 6 teilbar sein, nicht den Rest +-2 modulo 6 haben (wäre sonst durch 2 teilbar) und nicht den rest +- 3 modulo 6 haben (wäre sonst durch 3 teilbar). Es bleibt also nur +-1 modulo 6 übrig. Vielen Dank für eure Hilfe. :-)


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weird
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  Beitrag No.8, eingetragen 2013-12-27

Es wird dir vermutlich zwar nichts bringen, aber aus der Sicht des Algebraikers geht es hier im Grunde nur darum den Exponenten $\lambda(n)$ für die prime Restklassengruppe mod n im Spezialfall n=24 zu berechnen. Und ja, für die Berechnung von $\lambda(n)$ gibt es eine induktive Formel (siehe hier) und gemäß dieser ergibt sich eben $\lambda(24)=2$.


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DerJoker
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-27

Hallo weird, das ist ja interessant. Es ist jede Primzahl p > 3 Teilerfremd zu 24. Es wird also p^\lambda(24) = 1 (mod 24) hier gesucht. Wie cool! Danke. Ich finde das richtig toll das hier so viel "Zusatzinformation" von euch geliefert wird. :-) Schönen Gruß, DerJoker


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