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Schule Punkt auf einer Geraden bestimmen
fix
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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  Themenstart: 2015-12-29

Hey Leute, ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich probiere erst einmal mein Problem zu schildern, ansonsten falls es auf Unverständnis trifft, werde ich ein paar Fotos hochladen. Es geht darum, einen Punkt einer Gerade g1 zu bestimmen, bei der der Abstand zu einem Punkt am geringsten ist. Ich habe zwei Möglichkeiten gefunden, bei denen ich mir allerdings nicht sicher bin ob dieses vorgehen richtig ist. Variante 1: (P-F)*a=0 a=Richtungsvektor P= Punkt, der nicht auf der Gerade liegt F=Fußpunkt auf der Geraden. Dann das Lambda von F bestimmen über das Skalarprodukt, einsetzen und man hat den Punkt F. Variante 2: sofern eine Distanz gegeben ist, nehmen wir an d=6 Betrag von lambda*a=d und nach Lambda umstellen. Allerdings bin ich glaube ich von der zweiten Variante nicht vollkommen überzeugt, da es vermutlich nur geht, wenn beide Punkte auf der Geraden liegen. Falls ihr das nicht versteht, was ich jetzt geschrieben habe, werde ich Fotos mit den jeweiligen Varianten beifügen. Ich hoffe auf schnelle Hilfe. Ein schönes Rest Jahr alle :)


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umlaufsatz
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-12-29

Hi fix, hmm, Variante 1 ist richtig, Variante zwei verstehe ich (noch) nicht (denn d ist bei dir doch ein Abstand und kein Vektor, wie a es ist?).


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fix
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-29

d ist der Betrag des Abstandsvektor. Soweit die Denke ich habe diese Variante im Papula gefunden, allerdings lagen da die Punkte mit dem Abstand d schon auf der Geraden. Und die Variante 1 ist definitiv richtig ?


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viertel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2015-12-29

Definitiv!


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Ex_Senior
  Beitrag No.4, eingetragen 2015-12-29

Hallo Die erste Methode funktioniert immer. Besser ist es aber, eine Ebene zu bestimmen, auf dem der Punkt P liegt und senkrecht auf g_1 steht. Dann musst du die Ebene und g_1 schneiden. Das geht schneller. Die zweite Variante verstehe ich auch nicht, rechne mal ein Beispiel vor. mfgMrBean [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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fix
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-29

hier so war das gemeint. Habe die Betragsstriche bei d vergessen, bitte als Betrag verstehen. Hättest du ein Beispiel für deine Methode MrBean ?


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.6, eingetragen 2015-12-29

\quoteon(2015-12-29 19:51 - MrBean in Beitrag No. 4) ... Besser ist es aber, eine Ebene zu bestimmen, auf dem der Punkt P liegt und senkrecht auf g_1 steht. Dann musst du die Ebene und g_1 schneiden. Das geht schneller. ... \quoteoff Hallo, MrBean, ich bin da anderer Ansicht. "Variante 1" leistet beides auf einmal, denn die Gleichung der Hilfsebene steht ja im Ansatz bereits da, bzw. die Gerade ist schon in sie eingesetzt. Gruß Perotin


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Ex_Senior
  Beitrag No.7, eingetragen 2015-12-29

Hallo perotin, es stimmt zwar irgendwie was du schreibst, aber mein Weg ist trotzdem einfacher. Hier ein Beispiel: g=(1;2;0)+r*(-1;2;2); P(4;14;3) E: -x+2y+2z=-4+2*14+2*3=30 -(1-r)+2*(2+2r)+2*2r=30 r=3 F=(-2\;8\;6) fertig! Euer Weg ist viel rechenlastiger. Wie lautet die Orginalaufgabe zu der Aufgabe mit dem Bild, um einen Punkt außerhalb scheint es hier nicht zu gehen. mfgMrBean


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.8, eingetragen 2015-12-29

Und die 30 fällt vom Himmel?


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Ex_Senior
  Beitrag No.9, eingetragen 2015-12-29

Hallo Die entsteht dadurch, dass der Punkt P eingesetzt wird: -4+2*14+2*3=30 Ich ergänze das oben. mfgMrBean


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viertel
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  Beitrag No.10, eingetragen 2015-12-30

Noch ein etwas exotischer Weg ;-) Der Fußpunkt F ist ja der Punkt auf g mit dem kürzesten Abstand zu P. Der Abstand d eines beliebigen Punktes von g zu P ist (die Betragsstriche stehen hier für die Länge eines Vektors) d(P)=abs(P - (1 - r;2r + 2;2r))=3*sqrt(r^2-6r+18) d(P) soll minimal werden, also erste Ableitung: d(P)/dr=3*(r-3)/sqrt(r^2-6*r+18)=0 r=3 $ wie in Beitrag \#7


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.11, eingetragen 2015-12-30

\quoteon(2015-12-29 22:46 - MrBean in Beitrag No. 9) Hallo Die entsteht dadurch, dass der Punkt P eingesetzt wird: -4+2*14+2*3=30 Ich ergänze das oben. mfgMrBean \quoteoff \ Schon klar; aber damit ist der Rechenaufwand der gleiche, weil es definitiv der gleiche Ansatz ist: x^>: Ortsvektoren der Gerade n^>: Richtung der Gerade bzw. Normalenvektor der Hilfsebene (x^>-p^>) \* n^> =0 <=> x^> \* n^> = p^> \* n^> Darauf wollte ich nur hinweisen. Der obere Ansatz hat dann noch den leichten Vorteil, daß der Vektor (x^>-p^>) schon dasteht, dessen Betrag man ja in beiden Fällen noch berechnen muß. Der untere bringt weniger Schreibaufwand, weil man sich schenken kann, alles zunächst mit Vektoren aufzuschreiben. Der Rechenaufwand ist aber m.E. vollkommen gleich. Gruß Perotin


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fix
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-30

wo kommt diese Zeile her MrBean ? "-(1-r)+2*(2+2r)+2*2r=30" habe zwar einen Gedanken bin mir aber nicht 100%ig sicher. Ansich sind es zwei verschiedene Aufgaben, dachte mir aber das es eventuell das "gleiche" vorgehen sein könnte. Habe gerade das Buch leider nicht zur Hand und müsste dieses erst wieder besorgen um den genauen Wortlaut der Aufgabe herauszufinden.


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  Beitrag No.13, eingetragen 2015-12-30

\quoteon(2015-12-30 13:24 - fix in Beitrag No. 12) wo kommt diese Zeile her MrBean ? "-(1-r)+2*(2+2r)+2*2r=30" habe zwar einen Gedanken bin mir aber nicht 100%ig sicher. Ansich sind es zwei verschiedene Aufgaben, dachte mir aber das es eventuell das "gleiche" vorgehen sein könnte. Habe gerade das Buch leider nicht zur Hand und müsste dieses erst wieder besorgen um den genauen Wortlaut der Aufgabe herauszufinden. \quoteoff Hi, fix, bin zwar nicht MrBean, antworte Dir aber trotzdem mal. -(1-r)+2*(2+2r)+2*2r=30 ist die Gerade des Beispiels aus #7 in die Ebenengleichung -x+2y+2z=30 eingesetzt. Diese Ebene (Hilfsebene) geht durch den gegebenen Punkt und hat als Normalenvektor (=Koeffizienten vor x, y und z) den Richtungsvektor der Geraden. Die 30 erhält man, indem man in -x+2y+2zdie Punktkoordinaten einsetzt. Gruß Perotin


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-30

ah okay jetzt habe ich es. Und das ist dann also der Punkt q auf der Geraden, bei der der Abstand von Punkt P zur Geraden der geringste ist, ja ? Also der Fußpunkt so zusagen?! Danke für eure Hilfe, endlich mal ein Beitrag bei denen wirklich geholfen wurde und keine dummen Sprüche geäußert wurden. Wünsche euch einen guten Rutsch ins neue Jahr :)


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.15, eingetragen 2015-12-30

Was meinst Du mit Punkt q? Falls damit der Punkt gemeint ist, den man durch Einsetzen des durch die diversen Ansätze gefundenen Parameterwertes in die Geradengleichung erhält, dann ist das tatsächlich der Fußpunkt F (ich würde eher Lotpunkt von P auf g sagen), und der Abstand von F zu P ist der gesuchte Abstand P-g. P.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Ex_Senior
  Beitrag No.16, eingetragen 2015-12-30

Sollte es nur um den Abstand gehen, geht es noch einfacher: Hallo g=(1;2;0)+r*(-1;2;2)=u+r*v; P(4;14;3) Der zum Stützvektor u gerhörige Punkt U liegt auf g, der Lotfußpunkt F febenfalls. Der Flächeninhalt des Dreicks UFP lässt sich mit 1/2*abs(r*v\cross\ (OP-u))=1/2*d*abs(r*v) berechnen. Stellt man nach d um, so erhält man d=abs(v\cross\ (OP-u) )/abs(v) mfgMrbean


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