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Gewöhnliche DGL » Nichtlineare DGL 2. Ordnung » Richtungsfeld einer Diff.gleichung 2. Ordnung
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Universität/Hochschule J Richtungsfeld einer Diff.gleichung 2. Ordnung
excentrique
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  Themenstart: 2018-03-12

Hallo, ich habe folgende Diff.gleichung: \(y''+ x^2y + 2y = e^y\) und will ein Richtungsfeld dazu konstruieren. Ich setze \(y_1 = y\) und \(y_2 = y_1' = y'\), was zu \(y_2' = y''\) führt. Damit hätte ich den Vektor \(\vec{y'}= \left( \begin{array}{c}y_1'\\y_2'\end{array} \right)\) = \(\left( \begin{array}{c}y'\\e^y-x^2y-2y\end{array} \right)\). Wie mache ich aber weiter? Viele Grüße excentrique


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haerter
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-13

Hallo, da Deine ursprüngliche Differentialgleichung nicht-autonom ist (also explizit auch $x$ enthält), kann man aus der Darstellung $\left(\! \begin{array}{c}y_1'\\y_2'\end{array}\! \right)\) = \(\left( \begin{array}{c}y_2\\e^{y_1}-(x^2 +2)y_1\end{array} \right)$ kein zweidimensionales Richtungsfeld ablesen. Man müsste das System dann entweder durch eine dritte Gleichung $x'=1$ ergänzen und ein dreidimensionales Richtungsfeld betrachten oder das Richtungsfeld für verschiedene, konstante $x$ zeichnen und sich überlegen, wie Lösungen dann durch die Familie von Richtungsfeldern "hindurchlaufen". Ich habe es nicht ausprobiert, aber da $x^2+2$ immer positiv ist, vermute ich, dass die Richtungsfelder für verschiedene feste $x$ nicht sehr unterschiedlich aussehen. Viele Grüße, haerter


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excentrique
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-13

Hallo haerter, danke für Deine hilfreiche Antwort! Viele Grüße excentrique


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