@Nuramon: Schöner Fund (und nette Idee; die Färbungen, die ich probiert hatte, führten nie zum Ziel; insbesondere nicht die gewöhnliche Schachbrettfärbung, weil es dann Lagemöglichkeiten gibt, sodass ein solches L-Tetromino genau zwei schwarze und zwei weiße Felder abdeckt). Schreibst du den Spaß auf, sodass Steffen die Lösung in seine PDF übernehmen kann?
Dann wären die beiden offenen Kombinatorik-Aufgaben erledigt und es verbleiben noch die drei Geometrie-Aufgaben aus dem Wende-Jahr...
Zur 290924:
In dieser Aufgabe ist in erster Linie eine Zeichnung gefordert; durch die Angaben der Projektion auf die -Ebene und des Höhenmaßstabs (aka der -Koordinate) sind ja die Koordinaten der Punkte eindeutig bestimmt. Wählt man eine Längeneinheit als 3 cm, so ergeben sich die folgenden Koordinaten:
, , , (in Steffens PDF ist in der Zeichnung ein Tippfehler: In der Projektion sollte laut Manuelas Originalscan der Punkt oben links anstatt derzeit heißen), und .
In Teilaufgabe a) soll der Würfel, zu dem , , und gehören (also der mit Kantenlänge 2, der achsenparallel im ersten Oktanden liegt und den Koordinatenursprung als einen Eckpunkt besitzt), in Schrägprojektion (Kavaliersperspektive) gezeichnet werden (ergänzt um die Punkte . und ). Bei obiger Reihenfolge der Koordinaten ist dabei die -Achse schräg nach "hinten" zu zeichnen.
In Teilaufgabe b) sind in die Zeichnung die Kanten der Dreiecke und sowie deren Schnittstrecke einzutragen.
Ich interpretiere den Aufgabentext so, dass man -- bezüglich der Sichtbarkeit -- nur auf die beiden gerade angegebenen Dreiecke schauen soll, ob sie ggf. irgendwelche Streckenteile verdecken (und diese dann getrichelt zeichnen), während die Würfelflächen ignoriert werden.
Und in c) soll man beschreiben, wie man die Punkte und in der Zeichnung konstruiert hat. (Naiv würde ich sagen: Koordinaten ausrechnen und gemäß der Vorgaben eintragen. Es geht aber bestimmt auch schöner.)
Zur 290933: Entweder verstehe ich die Aufgabe falsch, oder sie ist widersprüchlich: Gegeben ist die Projektion eines aus 5 Punkten bestehenden Körpers auf die -Ebene (die Bildebene, oder was nach (3) äquivalent ist, die Ebene , in der drei der Punkte liegen), also deren je ersten zwei Koordinaten und zusätzlich noch deren Höhen über dieser Ebene, also deren dritten Koordinaten. M.E. ergeben sich so aus (2)-(5) für die Punkte folgende Koordinaten:
, , , und .
Der aus den 5 Punkten gebildete Körper lässt sich m.E. zerlegen in die beiden Tetraeder und , welche die Seitenfläche , aber keine inneren Punkte gemeinsam haben. Dadurch wäre der Körper schon eindeutig bestimmt.
Jetzt ist aber das Volumen des Tetraeders gleich (Grundfläche ist gleichschenklig rechtwinklig mit Kathetenlänge , als Spitze hat Höhe über der Grundfläche) sowie das Volumen des Tetraeders gleich (in der Grundfläche ist die Grundseite gleich lang und die Höhe des dritten Eckpunkts beträgt , während die Spitze des Tetraeders eine Höhe von über der Ebene , die durch beschrieben wird, hat), also das Volumen des Gesamtkörpers gleich ist, was Bedingung (6) widerspricht.
Wäre genau einer der vier Punkte , , , nicht mit verbunden, so würde ein Viertel des Volumens wegfallen, und man käme auf den Wert , der in Bedingung (6) angegeben ist. Jedoch ist die Skizze in Steffens PDF genauso wie in Manuelas Original-Scan, sodass ich keine Ahnung habe, ob ich hier nur völlig falsch liege, oder ob da ein Fehler in der damaligen Aufgabenstellung vorliegt.
(Jedenfalls soll man dann den entsprechenden Körper wieder nur in Kavaliersperspektive darstellen.)
Und abschließend zur 290936: Hier geht es um drei Kreise, die sich paarweise von außen berühren und eine der beiden gemeinsamen äußeren Tangenten der ersten zwei Kreise parallel zu einer der beiden gemeinsamen äußeren Tangenten des ersten und dritten Kreises ist. Dann soll man aus den Radien der ersten beiden Kreise den des dritten ermitteln.
Hier fällt mir nicht viel ein. Es gilt, dass die Mittelpunkte der drei Kreise ein Dreieck bilden, wobei die Berührpunkte von je zwei der drei Kreise genau die Berührpunkte des Inkreises von mit seinen Seiten sind. Insbesondere schneiden sich also die Tangenten an die drei Kreise durch die jeweiligen Berührpunkte (d.h. die gemeinsame innere Tangente an und , die gemeinsame innere Tangente an und sowie die gmeinsame innere Tangente an und ) in einem Punkt. Ob das irgendwas bringt? Keine Ahnung...
zu 290924: Hier habe ich eine Lösung in Arbeit. Im wesentlichen kann man die Projektionen der Seiten von $M_1M_2M_3$ auf die Tangente mittels Pythagoras ausrechnen um dann eine Gleichung in $r_,r_2,r_3$ zu bekommen. Hier fehlt mir vor allem eine vernünftige Zeichung.
Aufgabe 230932
In der Abbildung ist ein Körper K skizziert. Er besteht aus drei Würfeln der Kantenlänge 1 cm, die in der angegebenen Anordnung fest zusammengefügt sind. Aus genügend vielen Körpern dieser Gestalt K soll ein (vollständig ausgefüllter) Würfel W (Kantenlängen Zentimeter) zusammengesetzt werden. Ermitteln Sie alle diejenigen natürlichen Zahlen n>0, für die das möglich ist!
Da das Volumen von K 3 ist, folgt direkt, dass nur für $n=3k$ ein Würfel der Kantenlänge $n$ gefüllt werden kann. Ein Würfel der Kantnenlänge $3k$ zerfällt in $k^3$ Würfel der Kantenlänge 3. Daher reicht es für $n=3$ eine Lösung anzugeben. Eine Möglichkeit ist
Aufgabe 290936
Es seien k1 und k2 zwei Kreise, die einander von außen berühren. Für ihre Radien r1 bzw. r2 gelte r1 > r2. Eine Gerade, die k1 und k2 in zwei voneinander verschiedenen Punkten berührt, sei t. Die von t verschiedene und zu t parallele Tangente an k1 sei u. Ermitteln Sie in Abhängigkeit von r1 und r2 den Radius r3 desjenigen u berührenden Kreises k3, der k1 und k2 von außen berührt!
Seien $M_1,M_2,M_3$ die Mittelpunkte der Kreise und $a,b,c$ die Projektionen der Strecken $M_1M_2,M_1M_3$ und $M_2M_3$ auf die Tangenten. Dann erhalten wir mittels Pythagoras
\[
a^2 + (r_1-r_2)^2 = (r_1+r_2)^2 \\
b^2 + (r_1-r_3)^2 = (r_1+r_3)^2 \\
c^2 + (2r_1 -r_2-r_3)^2 = (r_2+r_3)^2 \\
\]
Aus den ersten beiden Gleichungen erhalten wir $a=2\sqrt{r_1r_2}$ und $b=2\sqrt{r_1r_3}$. Mit $c=|a-b|$ ergibt dann die dritte Gleichung
\[
4(\sqrt{r_1r_2}+\sqrt{r_1r_2})^2 + (2r_1 -r_2-r_3)^2 = (r_2+r_3)^2 \\
\]
Nach Ausmuliplizieren und zusammenfassen der Terme ist dieses äquivalent zu $4r_1^2= 8r_1\sqrt{r_2r_3}$ und somit $r_1^2 = 4r_2r_3\Rightarrow r_3=\frac{r_1^2}{4r_2}$.
* Die Skizze muß ich noch vernünftig beschriften. Es wäre schön, wenn jemand noch die Aufgabe nachrechnet.
stpolster
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Beitrag No.729, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-15
Hallo,
ich habe die Lösung (mit der Änderung von cyrix) übernommen und ein paar kleine Änderungen am Bild durchgeführt.
Gefällt es dir nicht oder fehlt noch etwas, mache ich es wieder rückgängig.
Vor allem habe ich noch ein rechtwinkliges Dreieck eingezeichnet, damit die Gleichungen für a,b,c an der Skizze nachvollziehbar sind. Die kleinen weißen Kreise habe ich dann noch von Dir übernommen.
Aufgabe 290924: Die Abbildung <<in der Aufgabenstellung>> stellt sechs Punkte , , , , , in senkrechter Eintafelprojektion mit zugehörigem Höhenmaßstab dar.
Die Punkte , , und ein vierter, nicht bezeichneter, Punkt sind in dieser Reihenfolge die Eckpunkte eines Quadrates mit Seitenlänge cm.
Die Punkte und sind die Mittelpunkte der in der Abbildung ersichtlichen Quadratseiten. Im Höhenmaßstab haben , von , den Abstand 3 cm, und , von , den Abstand 6 cm.
a) Zeichnen Sie in schräger Parallelprojektion, wobei mit den üblichen Bezeichnungen , sei, eine Darstellung desjenigen Würfels, zu dem die Eckpunkte , , , gehören, und dazu die Punkte und !
b) Zeichnen Sie anschließend die Dreiecksflächen und durch Wiedergabe ihrer Seitenkanten sowie der Schnittstrecke , die diese beiden Dreiecksflächen miteinander gemeinsam haben!
Berücksichtigen Sie in a) und b) die Sichtbarkeitsverhältnisse, indem Streckenteile, die durch eine davorliegende Dreiecksfläche verdeckt sind, gestrichelt wiedergegeben werden!
Eine Verdeckung durch davorliegende Seitenflächen des Würfels soll dagegen nicht berücksichtigt werden (diese Flächen sind als "nicht vorhanden" oder "durchsichtig" zu betrachten).
Verdeutlichen Sie die sichtbaren Teile der Dreiecksflächen durch Schraffur, im Dreieck parallel zu , im Dreieck in dichterer Schraffur zu !
c) Geben Sie für die Schnittstrecke eine Herleitung der -- von Ihnen in b) verwendeten -- Konstruktion der Bildpunkte von und !
Beschreiben Sie diese Konstruktion!
Bemerkung: In dem Satz zur Beschreibung von und fehlen im PDF die Worte "die Mittelpunkte", die bei Manuela im Originalscan stehen.
Lösung:
a), b): Eine Darstellung der beschriebenen Situation (mit Ausnahme der geforderten Schraffuren) findet sich in folgendem Bild, wobei hierfür eine Längeneinheit als 3 cm gewählt wurde:
Dabei ist genau der Teil des Dreiecks nicht sichtbar, welcher durch das Viereck verdeckt wird, wobei der Schnittpunkt in der Schrägbilddarstellung von und ist. Vom Dreieck ist genau jenes Viereck, "der von ausgehende Bereich bis zur Geraden " und "der von ausgehende Bereich bis zur Geraden " sichtbar.
c) Jeder der beiden Endpunkte der Strecke muss auf dem Rand mindestens einer der beiden Dreiecksflächen liegen, findet sich also dort, wo eine Kante einer Fläche die andere durchstößt. Offenbar schneidet die Strecke das Dreieck und die Strecke das Dreieck , während die übrigen Seitenkanten dieser beiden Dreiecke das jeweils andere Dreieck nicht schneiden. Es sind also genau diese beiden Schnittpunkte zu bestimmen.
Jeder Punkt auf der Geraden besitzt für ein bestimmtes die Koordinaten . (Dies erhält man aus der Zweipunktform zur Aufstellung der Gleichung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte.) Weiterhin gilt für jeden Punkt auf der Ebene durch die Punkte , und , dass ist. Für den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene muss also bzw. gelten, sodass die Koordinaten besitzt.
Analog gilt für jeden Punkt auf der Geraden , dass er für ein reelles die Koordinaten besitzt, sowie für jeden Punkt auf der Ebene durch , und , dass gilt. Also muss der Schnittpunkt dieser beiden Objekte die Bedingung bzw. erfüllen, sodass die Koordinaten besitzt.
Kennt man die Koordinaten beider Punkte und , kann man sie leicht in das Schrägbild eintragen. (Streckenlängen von einem Drittel bzw. Vielfache davon kann man mit dem Strahlensatz konstruieren.)
Cyrix
p.s.: Normalerweise bietet Geogebra, mit welchem diese Zeichnung erstellt ist, auch einen TikZ-Export an, den ich aber nicht zum Laufen bekommen habe. Liegt das an der 3D-Graphik?
Aufgabe 290933: Von einem ebenflächig begrenzten Körper werden die folgenden Bedingungen gefordert:
(1) Der Körper hat genau füf Eckpunkte , , , , .
(2) Bei senkrechter Parallelprojektion auf eine Bildebene sind die Bildpunkte , , , , die Eckpunkte bzw. der Mittelpunkt eines Quadrats mit gegebener Seitenlänge .
Blickt man in Projektionsrichtung auf die Bildebene (diese Blickrichtung sei als Richtung von "oben" nach "unten" bezeichnet), so sind die Eckpunkte und Kanten in gleicher Weise unverdeckt sichtbar, wie in der Abbildung <<in der Aufgabenstellung>> sichtbar.
(3) Die durch , , gehende Ebene ist parallel zu der in (2) genannten Bildebene.
(4) Der Punkt liegt "oberhalb" der Ebene im Abstand von ihr.
(5) Der Punkt liegt "oberhalb" der EBene im Abstand von ihr.
(6) Der Körper hat das Volumen .
Zeigen Sie, dass der Körper durch diese Bedingungen eindeutig bestimmt ist, und zeichnen Sie diesen Köroer in schräger Parallelprojektion!
"Lösung":
Da laut Bedingung (3) die Ebene parallel zur Bildebene ist und sonst in den weiteren Bedingungen nur von die Rede ist, können wir o.B.d.A. die Bildebene mit -- und diese mit der -Ebene -- identifizieren. Legen wir dort noch in den Koordinatenursprung sowie und geeignet, dass sie die weiteren Eckpunkte des Quadrats darstellen, erhalten wir also aus den Bedingungen (2) bis (5) die Koordinaten aller fünf Punkte bis , die im Folgenden angegeben werden:
, , , , .
Aus der Zeichnung ergibt sich, dass alle vier Punkte bis jeweils mit durch eine Kante verbunden sind. Damit lässt sich der aus allen fünf Punkten bestehende Körper auffassen als die Vereinigung der beiden Tetraeder und . Diese beiden Tetraeder besitzen die gemeinsame Fläche , jedoch keine gemeinsamen inneren Punkte, sodass sich das Volumen des Gesamtkörpers aus der Summe der Volumina der beiden Tetraeder berechnet.
Zur Berechnung des Volumens des Tetraeders betrachten wir zuerst desen Grundfläche . Dieses ist gleichschenklig rechtwinklig mit Kathetenlänge , sodass es einen Flächeninhalt von besitzt. Die Spitze dieses Tetraeders hat nach (5) eine Höhe von über der Ebene, in der die Grundfläche liegt, sodass sich für den Tetraeder ein Volumen von ergibt.
Zur Berechnung des Volumens des Tetraeders betrachten wir zuerst dessen Grundfläche . Dieses hat eine Grundseite der Länge und eine Höhe des dritten Punkts auf diese Seite der Länge , also einen Flächeninhalt von . Die Ebene durch die Punkte , und verläuft parallel zur Projektionsrichtung, sodass das Lot von auf diese Ebene parallel zur Bildebene -- und damit der -Ebene -- verläuft, also die gleiche Länge besitzt wie die dazu parallele Strecke , da das Viereck , wobei der Lotfußpunkt von ist, ein Rechteck darstellt. Also besitzt die Spitze des Tetraeders eine Höhe von über der Grundfläche , sodass sich für diesen Tetraeder ein Volumen von ergibt.
Damit hat der Gesamtkörper das Volumen , im Widerspruch zu Bedingung (6). Es gibt also keinen solchen Körper.
Bemerkung: Wäre in den Bedingungen (4) und (5) nicht eine Beschreibung der Lage von und relativ zur Ebene durch , und gegeben, sondern relativ zur Bildebene, so wären die Höhen von und über -- und damit der -Ebene -- noch nicht eindeutig bestimmt. Da die Bildebene "unterhalb" (oder auf) der Ebene liegen muss, damit die Kanten des Dreiecks sichtbar sind und "oberhalb" (oder auf) der Ebene liegen muss, damit die Kanten , und sichtbar sind, gilt dann, dass die Höhe "über" \epsilon besitzt, wobei der Abstand der Ebene zur Bildebene sei. Der Tetraeder hätte dann nur noch das Volumen und der Tetraeder analog das Volumen , sodass sich für den Gesamtkörper ein Volumen von ergäbe, was mit Bedingung (6) auf und damit die eindeutig bestimmten Koordinaten und führt. Eine Darstellung dieses Körpers kann man nun leicht aus den Koordinaten seiner Eckpunkte erhalten.
TODO: Hier bitte noch ein TikZ-Bild durch die genannten Punkte ( bis wie oben und , wie in der Bemerkung) ergänzen. Danke! :)
stpolster
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Beitrag No.735, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-16
Halo Cyrix,
kommt das ungefähr hin?
Damit fehlt nur noch eine Lösung in der Klassenstufe 9. 😄
897 Lösungen sind online. Die Lösung von TomTom314 hatte ich bisher übersehen. Sorry.
Ich habe das Autorenverzeichnis nach Klassenstufen getrennt. Das macht mir die Verwaltung einfacher und ich denke, es ist auch übersichtlicher.
Außerdem ist es Vorarbeit für das "spätere" Trennen des Gesamttextes in drei einzelne für die jeweiligen Klassenstufen.
Sollte es euch nicht gefallen, lege ich das Autorenverzeichnis wieder zusammen.
Für die noch offene Aufgabe 280936 hat ja Nuramon die Lösung in Problem Solving Strategies gefunden. Insofern kann man die sicherlich auch bald ergänzen.
Aufgabe 290933 habe ich versucht etwas zu reparieren. Die Bedingung
(4) Der Punkt liegt "oberhalb" der Ebene im Abstand von ihr.
wird nicht so richtig benötigt, da für alle $z$-Werte zwischen 0 und a dasselbe Volumen herauskommt. Hier kann D auf 0 herunter gezogen werden ohne das Volumen zu ändern. (*)
Wenn wir die Bedingung 4),5) ändern zu
(4) Der Punkt liegt "unterhalb" der Ebene im Abstand von ihr.
(5) Der Punkt liegt "oberhalb" der EBene im Abstand von ihr.
dann ist der Körper etwas interessanter und hat das Volumen $\frac{a^2}{4}$. Für eine Aufgabe in der 3ten Runde wäre der Schwierigkeitsgrad auch angemessener.
* Dazu gibt es auch einen Satz eines Italieners, dessen Name mir nicht mehr einfällt. Zwei Körper sind gleich, wenn diese dieselben Höhen haben und die Schnittflächen auf den verschiedenen Höhen paarweise gleich sind.
Satz des Cavalieri.
2019-06-16 10:57 - TomTom314 in Beitrag No. 737 schreibt:
Aufgabe 290933 habe ich versucht etwas zu reparieren. ...
Das ist schön, aber was soll ich nun in den Text schreiben?
So weit habe ich noch nicht gedacht. Cyrix hat in seiner Bemerkung auch eine Variante angeboten. Wenn die Höhen $a,a/2$ durch $h,h/2$ ersetzt werden, kann $h$ ausgerechnet werden und die Aufgabe ist lösbar. Ob Du nun eine (oder zwei) alternative Aufgabenstellung(en) mit aufnimmst liegt bei Dir. Eine Lösung dazu schreibe ich gerne auf.
stpolster
Senior Dabei seit: 27.03.2014 Mitteilungen: 1190
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Beitrag No.741, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-16
2019-06-16 11:41 - Kuestenkind in Beitrag No. 739 schreibt:
Huhu,
dort scheint auch irgendwie der Wurm drin zu sein... ☹️
Küstenkind
Ich habe in der "alpha" nachgesehen. Da steht
D.h., "meine" Aufgabenstellung ist fehlerhaft. Ich habe wieder bei Manuela Kugel "abgeschrieben".
Ich werde wohl alle Aufgaben mit der "alpha" kontrollieren müssen.
LG Steffen
Nachtrag: Aufgabentext und Aufgaben+Lösungen-Text korrigiert.
StrgAltEntf
Senior Dabei seit: 19.01.2013 Mitteilungen: 6546
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Beitrag No.742, eingetragen 2019-06-16
2019-06-15 18:43 - Nuramon in Beitrag No. 721 schreibt:
Aufgabe 280936 ist das Titelbild von Engel: Problem-Solving Strategies. Dort findet man auch den Teil der Lösung, der noch fehlt:
Eine schöne Lösung! Die "actual construction" finde ich aber noch nicht ganz "easy to see" bzw. nicht ganz leicht aufzuschreiben. Aber vielleicht stelle ich mich auch ungeschickt an.
@cyrix: Wie sieht dein Übergang von 4k nach 4k+4 aus? (Siehe #719.)
Findet ihr eigentlich auch, dass es so aussieht, als ob mein Fehlversuch aus #720 einen fies angrinst? 😁
Dabei sei ein Leerfeld und ein schon ausgefülltes Feld aus der bisherigen Darstellung.
Auf diese Art und Weise kann man aus der Darstellung für ein -Feld mit eine für ein -Feld erhalten, also insbesondere aus einer Darstellung für ein -Feld mit geradem zuerst eine für ein -Feld und daraus dann eine für ein -Feld.
Dieser Schritt funktioniert also nur für , sodass es noch eine explizite Angabe der Lösung für (oder eine Variation des Schritts) benötigt.
2019-06-16 08:05 - stpolster in Beitrag No. 732 schreibt:
Hallo,
ich habe das Bild mit tikz gezeichnet.
Du brauchst nicht 3D-Koordinaten in die 2D-Zeichenebene umrechnen, sondern einfach 3D-Koordinaten verwenden.
Da ist vieles umständlich und verwirrend umgesetzt.
Wenn es ein Würfel sein soll, sind die z-Koordinaten falsch.
(Die Pfeilspitzen im KoSy sind im Übrigen keine schöne Dekoration, sondern weisen in die Richtung, in die positiv gezählt wird.)
Zu 280936: Für n=4k+2 kann das Feld mit 2x4 Rechtecken versetzt gefüllt werden ("Mauer aus Ziegelsteinen") und an den Rändern mit "Haken" gefüllt werden.
Nuramon
Senior Dabei seit: 23.01.2008 Mitteilungen: 2504
Beitrag No.747, eingetragen 2019-06-16
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
LaTeX-Code geborgt von hier. (Im Nachhinein wäre es vermutlich weniger Aufwand gewesen, die Skizzen von Hand mit tikz zu erstellen ...)
Aufgabe 6- 280936
Ermitteln Sie alle diejenigen Zahlen $n \geq 3$, fur die es möglich ist, ein $n\times n$-Brett ohne die vier
Eckfelder (siehe Abbildung) vollständig so in Teile zu zerlegen, dass jedes Teil aus einer der Flächen
(a), (b) durch Verschiebung und Drehung zu erhalten ist!
Hinweis: Es ist auch zugelassen, dass in einer Zerlegung sowohl Teile (a) als auch Teile (b) vorkommen
Da (a) und (b) beide Fläche 4 haben, muss damit so eine Lösung existiert notwendigerweise $n^2-4$ durch 4 teilbar sein, d.h. es muss $n$ gerade sein.
Für gerades $n$ können wir die Zeilen des Brettes abwechselnd mit weiß und grün einfärben (siehe Skizze unten). Diese Färbung hat die Eigenschaft, dass egal wie man die Teile (a) bzw. (b) auf dem Brett positioniert, genau 1 Feld des Teils grün und die anderen 3 weiß (Typ A) bzw. genau 1 Feld weiß und die anderen 3 grün (Typ B) sind.
Da die Anzahl der weißen Felder gleich der Anzahl der grünen Felder ist, folgt, dass in einer zulässigen Zerlegung die Anzahl der Teile vom Typ A gleich der Anzahl der Teile vom Typ B sein muss. Also muss $n^2-4$ sogar durch $8$ teilbar sein, also muss $n$ von der Form $n=4k+2$ mit $k\in \IN$ sein.
Diese Bedingung ist auch hinreichend: Für $n=2$ ist eine Zerlegung offensichtlich möglich (von einem $2\times 2$-Brett wurden alle vier Felder entfernt.).
Außerdem ist klar, dass man $2\times 4$-Rechtecke in genau zwei Teile zerlegen kann.
Hat man eine Zerlegung eines Brettes der Größe $n=4k+2$ gefunden, dann kann man diese zu einer Zerlegung eines Brettes der Größe $4k+6$ erweitern, indem man wie in der Skizze vier Teile in den Ecken des bereits zerlegten Brettes positioniert und die beiden horizontalen Seiten dann noch mit $k$ $2\times 4$-Rechtecken auffüllt und die beiden vertikalen Seiten mit $k+1$ $2\times 4$-Rechtecken ergänzt:
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.730 begonnen.]\(\endgroup\)
Es wäre m.E. am Schönsten, wenn man beide Zerlegungen, sowohl die von Nuramon als auch die von TomTom314 in die PDF aufnehmen könnte, denn sie zeigen unterschiedliche Ideen.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
@Nuramon: Mit Deiner Vorlage habe ich mein Muster auch aufgemalt und als Vorschlag Dein Muster in eine Zeichnung zusammengelegt (zwei Varianten bei der Farbe).
2019-06-16 15:19 - Nuramon in Beitrag No. 750 schreibt:
@TomTom314: Schön.
(Hast du das von Hand eingetippt? Ich hatte mir ein Pythonprogramm geschrieben.)
Das erklärt die nicht vorhandenen Zeilenumbrüche. Halbechte Handarbeit mit copy&paste aus Deinen Beitrag. Das Umfärben waren 3 replace-all.
StrgAltEntf
Senior Dabei seit: 19.01.2013 Mitteilungen: 6546
Herkunft: Milchstraße
Beitrag No.753, eingetragen 2019-06-16
Wenn man Nuramons Muster jeweils um 90° dreht, erhält man sogar immer ein achsensymmetrisches Muster, das in zwei gleiche Teile zerfällt. (Das aber nur nebennei 😄 )
stpolster
Senior Dabei seit: 27.03.2014 Mitteilungen: 1190
Herkunft: Chemnitz
Beitrag No.754, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-16
Wir haben einen ersten Höhepunkt zu feiern.
Alle Aufgaben der Klassenstufe 9 haben eine Lösung. 😄
Dies ist ein sensationelles Ergebnis.
Vielen Dank an alle.
Ihr werdet mir zustimmen, dass ich cyrix besonders danken möchte. Er hat mit Abstand die größte Anzahl von Lösungen geliefert.
Ich bin tief beeindruckt und gestehe, dass ich viele Lösungen vielleicht noch verstehe, aber nie gefunden hätte.
Ich bin jetzt so unverschämt, dass ich hoffe, dass ihr auch weiterhin die eine oder andere Aufgabe löst.
Ich würde mich sehr freuen.
Liebe Grüße und Danke
Steffen
PS: 904 Lösungen online.
PS2: Die letzten grafischen Darstellungen sind mir ein Rätsel. Was ist denn das? Habe ich noch nie gesehen.
Natürlich wird diese sich evtl. auch noch verändern. Aber es ist ein schönes Ergebnis.
Ich habe auch die LaTex-Dateien (Klasse 9) zum Download bereitgestellt. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich den Link hier öffentlich(!) machen sollte. Ich habe keine Ahnung, ob dies vernünftig und evtl. datenschutzrechtlich korrekt wäre.
Wer den Link möchte, schreibe mir eine PN.
Allerdings muss ich "warnen".
Meine Latex und insbesondere tikz-Fähigkeiten sind amateurhaft. D.h., der Text wird dem einen oder anderen mehr als Kopfschmerzen bereiten.
StrgAltEntf
Senior Dabei seit: 19.01.2013 Mitteilungen: 6546
Herkunft: Milchstraße
Beitrag No.756, eingetragen 2019-06-16
2019-06-16 15:50 - stpolster in Beitrag No. 754 schreibt:
PS2: Die letzten grafischen Darstellungen sind mir ein Rätsel. Was ist denn das? Habe ich noch nie gesehen.
Vielleicht irritieren dich die Rechtecke? Du musst dir ein Rechteck immer als zwei L's denken.
Das innere grüne ist die Lösung für n = 6. Das innere grüne und gelbe ist die Lösung für n = 10. U. s. w. für n = 14, 18
stpolster
Senior Dabei seit: 27.03.2014 Mitteilungen: 1190
Herkunft: Chemnitz
Beitrag No.757, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-16
2019-06-16 16:22 - StrgAltEntf in Beitrag No. 756 schreibt:
Vielleicht irritieren dich die Rechtecke? Du musst dir ein Rechteck immer als zwei L's denken.
Danke, aber das habe ich nicht gemeint und mich blöd ausgedrückt.
Es geht mir um dieses Befehle
Nuramon
Senior Dabei seit: 23.01.2008 Mitteilungen: 2504
Beitrag No.758, eingetragen 2019-06-16
2019-06-16 16:33 - stpolster in Beitrag No. 757 schreibt:
Was ist das? Tikz ist es nicht.
Das hatte ich von hier übernommen.
Zu 100% verstehe ich den Code nicht, aber ich versuche mal zu erklären, was ich mir zur Funktionsweise zusammengereimt habe. LaTeX-Kundige mögen mich gegebenenfalls bitte verbessern.
LaTeX
%Hier werden drei Längeneinheiten definiert:% \omsq ist die Seitenlänge der einzelnen Quadrate, % \omrule gibt an, wie dick Kanten gezeichnet werden und% \omint soll die Seitenlänge der inneren Quadrate (also ohne den Rand angeben).\newdimen\omsq\omsq=10pt
\newdimen\omrule\omrule=1pt
\newdimen\omint% Hier werden zwei booleans definiert:% \ifvth gibt an, ob wir momentan einen Teil einer vertikalen Kante zeichnen %(ich vermute vth steht für "vertical thin") und% \ifhth steht analog für horizontale Kanten.\newif\ifvth\newif\ifhth% Hier wird das Makro \OMINO definiert.% Wir beginnen an einer Ecke und setzen deshalb vth und hth zu Beginn auf true. % Es wird eine \vbox erzeugt, in die wir anschließend zeichnen. % Die eigentliche Magie steckt im Befehl \OM.\def\OMINO#1{%\vthtrue\hthtrue\vbox{\offinterlineskip\parindent=0pt \OM#1\relax\vskip1pt}}\def\OM#1{%% Diese Zeile setzt den Wert von \omint auf (\omsq -\omrule)\omint=\omsq\advance\omint-\omrule% Prüfe, ob das Argument #1 mit einem Leerzeichen oder ähnlichem beginnt\ifx\relax#1%% falls nicht, prüfe ob das erste Zeichen ein Zeilenumbruch (also \\) ist.% wenn ja, dann setzen wir hth wieder auf wahr und kehren den Wert von vth um.% Die Position, an der wir gerade zeichnen wird auf die richtige Stelle in der nächsten Zeile des Bildes gesetzt. \else\ifx\\#1 \newline\null\hthtrue\ifvth\vthfalse\else\vskip-\omrule\vthtrue\fi% wenn gerade keine Zeile umgebrochen werden soll ...\else%% ... prüfen wir ob das aktuelle Zeichen ein Punkt ist.% Wenn ja, dann interpretieren wir diesen als Leerraum % und zeichnen einen weißen Balken der richtigen Größe\ifx .#1\hskip\ifhth\omrule\else\omint\fi% falls irgendein anderes Zeichen vorliegt, wählen wir die entsprechende Farbe ...% (+, - und | interpretieren wir als schwarz, damit wir das Argument von \Omino in ASCII-Art angeben können)\else%\ifx +#1\def\colour{black}\fi%\ifx -#1\def\colour{black}\fi%\ifx |#1\def\colour{black}\fi%\ifx @#1\def\colour{black}\fi%\ifx r#1\def\colour{red}\fi%\ifx g#1\def\colour{green}\fi%\ifx b#1\def\colour{blue}\fi%\ifx y#1\def\colour{yellow}\fi%\ifx m#1\def\colour{magenta}\fi%\ifx c#1\def\colour{cyan}\fi%% ... und zeichnen dann einen Balken der richtigen Größe in dieser Farbe\textcolor{\colour}{\rule{\ifhth\omrule\else\omsq\fi}{\ifvth\omrule\else\omsq\fi}}%% gehe zur richtigen Stelle für den nächsten Schritt\ifhth\else\hskip -\omrule\fi%\fi%% negiere den aktuellen Wert von hth \ifhth\hthfalse\else\hthtrue\fi%\fi%% ich vermute hier wird \OM rekursiv aufgerufen\expandafter\OM%\fi}
Home / Seite ohne Frame
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Beitrag No.720, eingetragen 2019-06-15
.
Notiz
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-Ebene und des Höhenmaßstabs (aka der 
-Koordinate) sind ja die Koordinaten der Punkte eindeutig bestimmt. Wählt man eine Längeneinheit als 3 cm, so ergeben sich die folgenden Koordinaten:
, 
, 
, 
(in Steffens PDF ist in der Zeichnung ein Tippfehler: In der Projektion sollte laut Manuelas Originalscan der Punkt oben links 
anstatt derzeit 
heißen), 
und 
.
, 
, 
und 
gehören (also der mit Kantenlänge 2, der achsenparallel im ersten Oktanden liegt und den Koordinatenursprung als einen Eckpunkt besitzt), in Schrägprojektion (Kavaliersperspektive) gezeichnet werden (ergänzt um die Punkte .
und 
). Bei obiger Reihenfolge der Koordinaten ist dabei die 
und 
sowie deren Schnittstrecke 
einzutragen.
und 
in der Zeichnung konstruiert hat. (Naiv würde ich sagen: Koordinaten ausrechnen und gemäß der Vorgaben eintragen. Es geht aber bestimmt auch schöner.)
, in der drei der Punkte liegen), also deren je ersten zwei Koordinaten und zusätzlich noch deren Höhen über dieser Ebene, also deren dritten Koordinaten. M.E. ergeben sich so aus (2)-(5) für die Punkte folgende Koordinaten:
, 
, 
, 
und 
.
und 
, welche die Seitenfläche 
, aber keine inneren Punkte gemeinsam haben. Dadurch wäre der Körper schon eindeutig bestimmt.
(Grundfläche 
, 
über der Grundfläche) sowie das Volumen des Tetraeders 
(in der Grundfläche 
ist die Grundseite 
gleich 
lang und die Höhe des dritten Eckpunkts 
über der Ebene 
, die durch 
beschrieben wird, hat), also das Volumen des Gesamtkörpers gleich 
ist, was Bedingung (6) widerspricht.
, der in Bedingung (6) angegeben ist. Jedoch ist die Skizze in Steffens PDF genauso wie in Manuelas Original-Scan, sodass ich keine Ahnung habe, ob ich hier nur völlig falsch liege, oder ob da ein Fehler in der damaligen Aufgabenstellung vorliegt.
bilden, wobei die Berührpunkte von je zwei der drei Kreise genau die Berührpunkte des Inkreises von 
und 
, die gemeinsame innere Tangente an 
sowie die gmeinsame innere Tangente an 
heißen.![<math>
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw (-1,0) -- (3,0);
\draw (0,1) circle (1);
\draw (1.154,0.333) circle (0.333);
\draw (1.732,1.25) circle (0.75);
\draw (-1,2) -- (3,2);
\draw
(0,1)--(1.154,0.333)--(1.732,1.25)--(0,1)
(0,0)--(0,2)
(1.154,0)--(1.154,0.333)
(1.732,1.25)--(1.732,2);
\draw[fill=white] (0,1) circle (0.04);
\draw[fill=white] (1.154,0.333) circle (0.04);
\draw[fill=white] (1.732,1.25) circle (0.04);
\node[left] at (0,1) {\small $M_1$};
\node[right] at (1.154,0.333) {\small $M_3$};
\node[right] at (1.732,1.25) {\small $M_2$};
\end{tikzpicture}
</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/be94abc5d28c863684521e8a683f294e.png "\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw (-1,0) -- (3,0);
\draw (0,1) circle (1);
\draw (1.154,0.333) circle (0.333);
\draw (1.732,1.25) circle (0.75);
\draw (-1,2) -- (3,2);
\draw
(0,1)--(1.154,0.333)--(1.732,1.25)--(0,1)
(0,0)--(0,2)
(1.154,0)--(1.154,0.333)
(1.732,1.25)--(1.732,2);
\draw[fill=white] (0,1) circle (0.04);
\draw[fill=white] (1.154,0.333) circle (0.04);
\draw[fill=white] (1.732,1.25) circle (0.04);
\node[left] at (0,1) {\small $M_1$};
\node[right] at (1.154,0.333) {\small $M_3$};
\node[right] at (1.732,1.25) {\small $M_2$};
\end{tikzpicture}")
![<math> \begin{tikzpicture}
\draw (-2,0) -- (5,0);
\draw (0,2) circle (2);
\draw (2.308,3.333) circle (0.667);
\draw (3.464,1.5) circle (1.5);
\draw (-2,4) -- (5,4);
\draw (0,2)--(2.308,3.333)--(3.464,1.5)--(0,2)
(0,0)--(0,4)
(3.464,0)--(3.464,4)
(3.464,3.333)--(2.308,3.333)--(2.308,4)
node[left] at (0,2){$M_1$}
node[right] at (3.464,1.5){$M_2$}
node[left] at (2.308,3.5){$M_3$}
node[below] at (1.7,0){$a$}
node[above] at (1.1,4){$b$}
node[above] at (2.9,4){$c$};
\draw[fill=white] (0,2) circle (0.04);
\draw[fill=white] (3.464,1.5) circle (0.04);
\draw[fill=white] (2.308,3.333) circle (0.04);
\draw[fill=white] (0,0) circle (0.04);
\draw[fill=white] (3.464,0) circle (0.04);
\draw[fill=white] (0,4) circle (0.04);
\draw[fill=white] (2.308,4) circle (0.04);
\draw[fill=white] (3.464,4) circle (0.04);
\end{tikzpicture}
</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/2aa606e4b6354b8df620269ec956f758.png "\begin{tikzpicture}
\draw (-2,0) -- (5,0);
\draw (0,2) circle (2);
\draw (2.308,3.333) circle (0.667);
\draw (3.464,1.5) circle (1.5);
\draw (-2,4) -- (5,4);
\draw (0,2)--(2.308,3.333)--(3.464,1.5)--(0,2)
(0,0)--(0,4)
(3.464,0)--(3.464,4)
(3.464,3.333)--(2.308,3.333)--(2.308,4)
node[left] at (0,2){$M_1$}
node[right] at (3.464,1.5){$M_2$}
node[left] at (2.308,3.5){$M_3$}
node[below] at (1.7,0){$a$}
node[above] at (1.1,4){$b$}
node[above] at (2.9,4){$c$};
\draw[fill=white] (0,2) circle (0.04);
\draw[fill=white] (3.464,1.5) circle (0.04);
\draw[fill=white] (2.308,3.333) circle (0.04);
\draw[fill=white] (0,0) circle (0.04);
\draw[fill=white] (3.464,0) circle (0.04);
\draw[fill=white] (0,4) circle (0.04);
\draw[fill=white] (2.308,4) circle (0.04);
\draw[fill=white] (3.464,4) circle (0.04);
\end{tikzpicture}")
, 
cm.
und 
sind die Mittelpunkte der in der Abbildung ersichtlichen Quadratseiten. Im Höhenmaßstab haben 
, 
sei, eine Darstellung desjenigen Würfels, zu dem die Eckpunkte 
und 
durch Wiedergabe ihrer Seitenkanten sowie der Schnittstrecke 
, im Dreieck 
!
verdeckt wird, wobei 
der Schnittpunkt in der Schrägbilddarstellung von 
und 
ist. Vom Dreieck 
" und "der von 
" sichtbar.
das Dreieck 
die Koordinaten 
. (Dies erhält man aus der Zweipunktform zur Aufstellung der Gleichung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte.) Weiterhin gilt für jeden Punkt 
auf der Ebene durch die Punkte 
ist. Für den Schnittpunkt 
bzw. 
gelten, sodass 
besitzt.
, dass er für ein reelles 
die Koordinaten 
besitzt, sowie für jeden Punkt 
gilt. Also muss der Schnittpunkt 
bzw. 
besitzt.![<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.5]
\draw[->] (-0.5,0) -- (3,0);
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,3);
\draw[->] (1,1) -- (-0.5,-0.5);
\draw[fill=white] (0,0) circle (0.04);
\node[above left] at (0,0) {\small 0};
\coordinate(o) at (0,0);
\coordinate(c) at (2,0);
\coordinate(e) at (2+0.7071,0.7071);
\coordinate(h) at (0.7071,0.7071);
\coordinate(o1) at (0,0+2);
\coordinate(c1) at (2,0+2);
\coordinate(b) at (2+0.7071,0.7071+2);
\coordinate(d) at (0.7071,0.7071+2);
\coordinate(a) at ($(o)!0.5!(d)$);
\coordinate(f) at ($(o)!0.5!(c1)$);
\coordinate(x) at ($(a)!0.3!(b)$);
\coordinate(y) at ($(f)!0.3!(e)$);
\draw[blue!20, fill=blue!20] (d) -- (f) -- (e) -- cycle;
\draw[blue!20, fill=blue!20] (a) -- (b) -- (c) -- cycle;
\coordinate (y1) at (intersection of y--e and b--c);
\coordinate (e1) at (intersection of h--e and b--c);
\coordinate (e2) at (intersection of h--e and a--c);
\coordinate (e3) at (intersection of d--e and b--c);
\coordinate (e4) at (intersection of d--e and b--a);
\coordinate (a1) at (intersection of d--f and b--a);
\coordinate (h1) at (intersection of d--h and c--a);
\coordinate (h2) at (intersection of d--h and b--a);
\draw[gray] (h) -- (o) -- (c) -- (e);
\draw[gray] (o1) -- (c1) -- (b) -- (d) -- cycle;
\draw[gray] (c) -- (c1);
\draw[gray] (o) -- (o1);
\draw[gray] (e) -- (b);
\draw[thick, red] (d) -- (f) -- (y);
\draw[thick, dashed, red] (y) -- (y1);
\draw[thick, red] (y1) -- (e) -- (e3);
\draw[thick, dashed, red] (e3) -- (e4);
\draw[thick, dashed, red] (x) -- (a1);
\draw[thick, red] (e4) -- (d);
\draw[thick, red] (a1) -- (a) -- (c) -- (b) -- (x);
\draw[thick] (x) -- (y);
\draw[gray] (h) -- (h1);
\draw[gray] (d) -- (h2);
\draw[dashed, gray] (h1) -- (h2);
\draw[gray] (e) -- (e1);
\draw[dashed, gray] (e1) -- (e2);
\draw[gray] (e2) -- (h) -- (o);
\draw[fill=white] (c) circle (0.04);
\draw[fill=white] (e) circle (0.04);
\draw[fill=white] (d) circle (0.04);
\draw[fill=white] (b) circle (0.04);
\draw[fill=white] (a) circle (0.05);
\draw[fill=white] (f) circle (0.05);
\draw[fill=white] (x) circle (0.05);
\draw[fill=white] (y) circle (0.05);
\node[below] at (c) {\small $C$};
\node[right] at (e) {\small $E$};
\node[above] at (d) {\small $D$};
\node[above] at (b) {\small $B$};
\node[below] at (f) {\small $F$};
\node[above] at (a) {\small $A$};
\node[right] at (x) {\small $X$};
\node[right] at (y) {\small $Y$};
\foreach \x in {0.5,1,1.5,2.5}
{
\draw[fill=white] (\x,0) circle (0.03);
\node[below] at (\x,0) {\small \x};
}
\foreach \x in {0.5,1,1.5,2,2.5}
{
\draw[fill=white] (0,\x) circle (0.03);
\node[left] at (0,\x) {\small \x};
}
\foreach \x in {0.5,1}
{
\draw[fill=white] (0.7071*\x,0.7071*\x) circle (0.03);
\node[below] at (0.7071*\x,0.7071*\x) {\small \x};
}
\end{tikzpicture}
</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/81d4bbc4ac4f4dc46975f76e76028d50.png "\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.5]
\draw[->] (-0.5,0) -- (3,0);
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,3);
\draw[->] (1,1) -- (-0.5,-0.5);
\draw[fill=white] (0,0) circle (0.04);
\node[above left] at (0,0) {\small 0};
\coordinate(o) at (0,0);
\coordinate(c) at (2,0);
\coordinate(e) at (2+0.7071,0.7071);
\coordinate(h) at (0.7071,0.7071);
\coordinate(o1) at (0,0+2);
\coordinate(c1) at (2,0+2);
\coordinate(b) at (2+0.7071,0.7071+2);
\coordinate(d) at (0.7071,0.7071+2);
\coordinate(a) at ($(o)!0.5!(d)$);
\coordinate(f) at ($(o)!0.5!(c1)$);
\coordinate(x) at ($(a)!0.3!(b)$);
\coordinate(y) at ($(f)!0.3!(e)$);
\draw[blue!20, fill=blue!20] (d) -- (f) -- (e) -- cycle;
\draw[blue!20, fill=blue!20] (a) -- (b) -- (c) -- cycle;
\coordinate (y1) at (intersection of y--e and b--c);
\coordinate (e1) at (intersection of h--e and b--c);
\coordinate (e2) at (intersection of h--e and a--c);
\coordinate (e3) at (intersection of d--e and b--c);
\coordinate (e4) at (intersection of d--e and b--a);
\coordinate (a1) at (intersection of d--f and b--a);
\coordinate (h1) at (intersection of d--h and c--a);
\coordinate (h2) at (intersection of d--h and b--a);
\draw[gray] (h) -- (o) -- (c) -- (e);
\draw[gray] (o1) -- (c1) -- (b) -- (d) -- cycle;
\draw[gray] (c) -- (c1);
\draw[gray] (o) -- (o1);
\draw[gray] (e) -- (b);
\draw[thick, red] (d) -- (f) -- (y);
\draw[thick, dashed, red] (y) -- (y1);
\draw[thick, red] (y1) -- (e) -- (e3);
\draw[thick, dashed, red] (e3) -- (e4);
\draw[thick, dashed, red] (x) -- (a1);
\draw[thick, red] (e4) -- (d);
\draw[thick, red] (a1) -- (a) -- (c) -- (b) -- (x);
\draw[thick] (x) -- (y);
\draw[gray] (h) -- (h1);
\draw[gray] (d) -- (h2);
\draw[dashed, gray] (h1) -- (h2);
\draw[gray] (e) -- (e1);
\draw[dashed, gray] (e1) -- (e2);
\draw[gray] (e2) -- (h) -- (o);
\draw[fill=white] (c) circle (0.04);
\draw[fill=white] (e) circle (0.04);
\draw[fill=white] (d) circle (0.04);
\draw[fill=white] (b) circle (0.04);
\draw[fill=white] (a) circle (0.05);
\draw[fill=white] (f) circle (0.05);
\draw[fill=white] (x) circle (0.05);
\draw[fill=white] (y) circle (0.05);
\node[below] at (c) {\small $C$};
\node[right] at (e) {\small $E$};
\node[above] at (d) {\small $D$};
\node[above] at (b) {\small $B$};
\node[below] at (f) {\small $F$};
\node[above] at (a) {\small $A$};
\node[right] at (x) {\small $X$};
\node[right] at (y) {\small $Y$};
\foreach \x in {0.5,1,1.5,2.5}
{
\draw[fill=white] (\x,0) circle (0.03);
\node[below] at (\x,0) {\small \x};
}
\foreach \x in {0.5,1,1.5,2,2.5}
{
\draw[fill=white] (0,\x) circle (0.03);
\node[left] at (0,\x) {\small \x};
}
\foreach \x in {0.5,1}
{
\draw[fill=white] (0.7071*\x,0.7071*\x) circle (0.03);
\node[below] at (0.7071*\x,0.7071*\x) {\small \x};
}
\end{tikzpicture}")
die Eckpunkte bzw. der Mittelpunkt eines Quadrats mit gegebener Seitenlänge 
von ihr.
.
, 
.
. Diese beiden Tetraeder besitzen die gemeinsame Fläche 
, jedoch keine gemeinsamen inneren Punkte, sodass sich das Volumen des Gesamtkörpers aus der Summe der Volumina der beiden Tetraeder berechnet.
besitzt. Die Spitze 
ergibt.
und eine Höhe des dritten Punkts 
. Die Ebene durch die Punkte 
, da das Viereck 
, wobei 
der Lotfußpunkt von 
über der Grundfläche 
ergibt.
das Volumen 
, im Widerspruch zu Bedingung (6). Es gibt also keinen solchen Körper.
, 
und 
sichtbar sind, gilt dann, dass 
der Abstand der Ebene 
und der Tetraeder 
, sodass sich für den Gesamtkörper ein Volumen von 
ergäbe, was mit Bedingung (6) auf 
und damit die eindeutig bestimmten Koordinaten 
und 
führt. Eine Darstellung dieses Körpers kann man nun leicht aus den Koordinaten seiner Eckpunkte erhalten.![<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.2]
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(b) at (2,0);
\coordinate(c) at (2+0.7071,0.7071);
\coordinate(d) at (0.7071,0.70701+0.5);
\coordinate(e) at (1+0.7071/2,0.7071/2+3/4*2);
\draw (d) -- (a) -- (b) -- (c);
\draw[dashed] (c) -- (d);
\draw (a) -- (e) -- (b);
\draw (c) -- (e) -- (d);
\draw[dashed] (a) -- (c);
\draw[fill=white] (a) circle (0.05);
\draw[fill=white] (b) circle (0.05);
\draw[fill=white] (c) circle (0.05);
\draw[fill=white] (d) circle (0.05);
\draw[fill=white] (e) circle (0.05);
\node[left] at (a) {\small $A$};
\node[right] at (b) {\small $B$};
\node[right] at (c) {\small $C$};
\node[left] at (d) {\small $D$};
\node[left] at (e) {\small $E$};
\end{tikzpicture}
</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/8993d3a619b379752601444ad88710a4.png "\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.2]
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(b) at (2,0);
\coordinate(c) at (2+0.7071,0.7071);
\coordinate(d) at (0.7071,0.70701+0.5);
\coordinate(e) at (1+0.7071/2,0.7071/2+3/4*2);
\draw (d) -- (a) -- (b) -- (c);
\draw[dashed] (c) -- (d);
\draw (a) -- (e) -- (b);
\draw (c) -- (e) -- (d);
\draw[dashed] (a) -- (c);
\draw[fill=white] (a) circle (0.05);
\draw[fill=white] (b) circle (0.05);
\draw[fill=white] (c) circle (0.05);
\draw[fill=white] (d) circle (0.05);
\draw[fill=white] (e) circle (0.05);
\node[left] at (a) {\small $A$};
\node[right] at (b) {\small $B$};
\node[right] at (c) {\small $C$};
\node[left] at (d) {\small $D$};
\node[left] at (e) {\small $E$};
\end{tikzpicture}")
ein Leerfeld und 
ein schon ausgefülltes Feld aus der bisherigen Darstellung.
-Feld mit 
eine für ein 
-Feld erhalten, also insbesondere aus einer Darstellung für ein 
-Feld mit geradem 
zuerst eine für ein 
-Feld und daraus dann eine für ein 
-Feld.
(oder eine Variation des Schritts) benötigt.![<math>\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{main,foreground}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5,
z ={(0,0,-cos(45))}, % z ={(0,0,-1)},
>=latex,
font=\footnotesize,
]
% Wrfel
\coordinate[] (P) at (0,0,0);
\coordinate[] (Q) at (2,0,0);
\coordinate[] (R) at (2,0,2);
\coordinate[] (S) at (0,0,2);
\coordinate[] (P-s) at (0,2,0);
\coordinate[] (Q-s) at (2,2,0);
\coordinate[] (R-s) at (2,2,2);
\coordinate[] (S-s) at (0,2,2);
% Figuren
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\coordinate[label=$A$] (A) at ($(P)!0.5!(S-s)$);
\coordinate[label=$B$] (B) at (R-s);
\coordinate[label=below:$C$] (C) at (Q);
\coordinate[label=$D$] (D) at (S-s);
\coordinate[label=right:$E$] (E) at (R);
\coordinate[label=below:$F$] (F) at ($(P)!0.5!(Q-s)$);
\end{pgfonlayer}
\draw[red, fill=blue!20, name path=ABC] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\fill[fill=blue!20, name path=DEF] (D) -- (E) -- (F) -- cycle;
\path[name intersections={of=ABC and DEF, name=schnitt}];
\coordinate[label=K] (K) at (schnitt-1);
\coordinate[label=L] (L) at (schnitt-2);
\coordinate[label=M] (M) at (schnitt-3);
\coordinate[label=N] (N) at (schnitt-4);
\draw[red] (D) -- (F) -- (E);
\draw[red] (D) -- (K);
\draw[red] (E) -- (M);
\draw[red, densely dashed] (K) -- (M);
% Wrfel zeichnen
\draw[gray] (P) -- (Q) -- (R) -- (S) --cycle;
\draw[gray] (P-s) -- (Q-s) -- (R-s) -- (S-s) --cycle;
\foreach \Punkt in {P,Q,R,S} \draw[gray] (\Punkt) -- (\Punkt-s);
% KoSy
\draw[->] (-0.5,0,0) -- (3,0,0) node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-0.5,0) -- (0,3,0) node[above]{$y$};
\draw[->] (0,0,-1) -- (0,0,3) node[pos=1.05]{$z$};
\foreach \x in {0.5,1,...,2.5} {
\draw[fill=white] (\x,0) circle (0.03);
\if\x2 \else \node[below] at (\x,0) {$\x$}; \fi }% Wert auslassen
\foreach \y in {0.5,1,...,2,2.5}{
\draw[fill=white] (0,\y) circle (0.03);
\node[left] at (0,\y) {$\y$}; }
\foreach \z in {0.5,1,...,2,2.5}{
\draw[fill=white] (0,0,\z) circle (0.03);
\node[right] at (0,0,\z) {$\z$}; }
%% Punkte
\foreach \P in {A,B,C,E,F,D,K,L,M,N}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1pt);
\end{tikzpicture}
</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/825368dd90854b050e65ca3a0476178d.png "\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{main,foreground}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5,
z ={(0,0,-cos(45))}, % z ={(0,0,-1)},
>=latex,
font=\footnotesize,
]
% Wrfel
\coordinate[] (P) at (0,0,0);
\coordinate[] (Q) at (2,0,0);
\coordinate[] (R) at (2,0,2);
\coordinate[] (S) at (0,0,2);
\coordinate[] (P-s) at (0,2,0);
\coordinate[] (Q-s) at (2,2,0);
\coordinate[] (R-s) at (2,2,2);
\coordinate[] (S-s) at (0,2,2);
% Figuren
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\coordinate[label=$A$] (A) at ($(P)!0.5!(S-s)$);
\coordinate[label=$B$] (B) at (R-s);
\coordinate[label=below:$C$] (C) at (Q);
\coordinate[label=$D$] (D) at (S-s);
\coordinate[label=right:$E$] (E) at (R);
\coordinate[label=below:$F$] (F) at ($(P)!0.5!(Q-s)$);
\end{pgfonlayer}
\draw[red, fill=blue!20, name path=ABC] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\fill[fill=blue!20, name path=DEF] (D) -- (E) -- (F) -- cycle;
\path[name intersections={of=ABC and DEF, name=schnitt}];
\coordinate[label=K] (K) at (schnitt-1);
\coordinate[label=L] (L) at (schnitt-2);
\coordinate[label=M] (M) at (schnitt-3);
\coordinate[label=N] (N) at (schnitt-4);
\draw[red] (D) -- (F) -- (E);
\draw[red] (D) -- (K);
\draw[red] (E) -- (M);
\draw[red, densely dashed] (K) -- (M);
% Wrfel zeichnen
\draw[gray] (P) -- (Q) -- (R) -- (S) --cycle;
\draw[gray] (P-s) -- (Q-s) -- (R-s) -- (S-s) --cycle;
\foreach \Punkt in {P,Q,R,S} \draw[gray] (\Punkt) -- (\Punkt-s);
% KoSy
\draw[->] (-0.5,0,0) -- (3,0,0) node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-0.5,0) -- (0,3,0) node[above]{$y$};
\draw[->] (0,0,-1) -- (0,0,3) node[pos=1.05]{$z$};
\foreach \x in {0.5,1,...,2.5} {
\draw[fill=white] (\x,0) circle (0.03);
\if\x2 \else \node[below] at (\x,0) {$\x$}; \fi }% Wert auslassen
\foreach \y in {0.5,1,...,2,2.5}{
\draw[fill=white] (0,\y) circle (0.03);
\node[left] at (0,\y) {$\y$}; }
\foreach \z in {0.5,1,...,2,2.5}{
\draw[fill=white] (0,0,\z) circle (0.03);
\node[right] at (0,0,\z) {$\z$}; }
%% Punkte
\foreach \P in {A,B,C,E,F,D,K,L,M,N}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1pt);
\end{tikzpicture}")
Beitrag No.754, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-16
