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Universität/Hochschule J Die Anzahl der Primzahlenzwillinge ist π (π (x) /2 )
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das entspricht der Hardy-Littlewood-Vermutung. Aus meiner Sicht hat der Beweis keine Schwachstelle, deswegen bitte ich freundlichst um Aufzeigen einer solchen, denn ich kann mir nicht vorstellen, dass noch niemand auf dieselbe Idee gekommen ist. Eine Bestätigung der Korrektheit wäre mir natürlich lieber :-) Beweisidee: Wir benutzen für den Beweis 2 Fakten, die auf dem Dirichletschen Primzahlensatz und auf der Primzahlenfunktion beruhen. Wir betrachten das Sieb des Erastothenes: Die Primzahlen erhält man, in dem man jedes zweite Feld, dritte Feld, jedes fünfte Feld, jedes siebte Feld usw. markiert/löscht. Im Ergebnis bleiben logarithmisch viele Zahlen übrig, die Primzahlen. Wir zeigen, dass für eine beliebige Menge von Zahlen und eine beliebige Anordnung der Primteiler nur logarithmisch viele Zahlen/Felder unmarkiert bleiben Dazu definieren wir das Sieb des Erastothenes als Array1 mit den natürlichen Zahlen 2,3,4…n Desweiteren definieren wir ein Array2 mit beliebigen Zahlen. Wenn für den Array 2 auch jedes 2,3,5... Feld markiert/gelöscht wird und hat man natürlich logarithmisch viele Felder unmarkiert. Wir können auch den Startpunkt der Markierungen durch die Primteiler beliebig vertauschen. ZB. kann die Markierung im Array2 durch die Zahl 7 nicht beim Index 7 beginnen lassen, sondern auch beim Index 1,2,3,4,5 oder 6, also zB. lösche/markiere die Felder 2 + 7*i statt 7*i. Im Ergebnis bleiben immer logarithmisch viele Felder unmarkiert/ungelöscht. Da ist klar, da jeder Primteiler p die Zahlen 2 bis n genau n/p mal teilen kann. Dass es gilt, habe ich über eine Bijektion der Teiler zwischen dem Array 1 und Array 2 nachgewiesen (hier nicht angegeben, da etwas aufwändiger). Damit gilt: wird in einem Array jedes 2,3,5.. Feld markiert (unabhängig vom Startpunkt der Primteiler), so bleiben logarithmisch viele Felder unmarkiert (π (n)). Beispiel 1 Sieb des Erastothenes mit Zahlen der Form mod 10 = 1: Wenn man die Arrayfelder des Arrays 2 zB. mit Zahlen z der Form z mod 10 = 1 füllt (Index = Zahl des Feldes), also A(11) = 11, A(21) = 21, A(31) = 31, … und dann jedes 2,3,5,7,11, … Feld markiert/löscht erhält man wieder eine logarithmische Anzahl von nichtleeren Feldern. Da das Array aber mit nur mit n / 10 Zahlen der Form z mod 10 = 1 gefüllt ist, können dort auch nur Primzahlen mit der Endziffer 1 stehen, d.h. die Anzahl ist π (n) / 4 (nach Dirichletschem Primzahlensatz) Beispiel 2: Sieb des Erastothenes mit Zahlen der Form 6n+1 Wenn man die Arrayfelder zB. mit Zahlen der Form 6n + 1 füllt (Index = Zahl), also 7,13,19, … und dann jedes 2,3,5,7,11, … Feld markiert/löscht erhält man wieder eine logarithmische Anzahl von nichtleeren Feldern. Da das Array aber mit nur mit Zahlen der Form 6n + 1 gefüllt ist, können dort auch nur Primzahlen der Form 6n + 1 stehen, d.h. die Anzahl ist π (n) / 2 (nach Dirichletschem Primzahlensatz). Fazit des Primzahlensatzes: Wird eine Menge von Zahlen indiziert/nummeriert und werden von dieser Menge jedes 2,3,5,7…-te Feld entfernt/markiert, so bleiben logarithmisch viele Zahlen übrig (π (n)). Den Rest des Beweises habe ich als Bild hineingeladen, der er sonst schwer lesbar ist. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/44137_restb.jpg


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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-21

Du zeigst, dass es in beiden Zeilen unendlich viele Primzahlen gibt. (das ist nichts Neues) Zu beweisen wäre, dass es zwangläufig Überschneidungen gibt, obwohl die beiden Zeilen für hinreichend große $n$ beliebig dünn besetzt sind. Das ist bei anderen verwandten Problemen (bspw. dem Großen Satz von Fermat) nämlich nicht der Fall!


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philippw
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  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-21

Hi Informatik-Rentner, um konkret zu werden, einen Knackpunkt sehe ich hier: "Desweiteren definieren wir ein Array2 mit beliebigen Zahlen. Wenn für den Array 2 auch jedes 2,3,5... Feld markiert/gelöscht wird " Willst du wirklich (A) jedes 2,3,5... Feld löschen, oder (B) alle durch 2,3,5... teilbaren Zahlen im Array2? Wenn du "beliebige Zahlen" im Array stehen hast, sind das zwei verschiedene Dinge. So wie du es mit (A) formulierst, sind die Zahlen im Array2 völlig irrelevant für das Sieb. Array2 ist am Ende von deinem Beweis das "Rest-Sieb mit den Primzahlen", übertragen von der 6n-1 auf die 6n+1 Zeile, richtig? Das "Rest-Sieb" ist ja diese Liste: 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, ... Soll heißen, der Anfang von Array 2 sieht so aus: 7, 13, 19, 25, 31, 43, 49, 55, 61, 73, 85, ... Wenn man jetzt jede 5. Zahl streicht, sind das nicht die durch 5 teilbaren Zahlen. 25 und 55 haben Abstand 4, 55 und 85 sogar nur Abstand 3. Also mit Interpretation (A) von oben weißt du nicht, ob die übrigen logarithmisch viele Zahlen überhaupt Primzahlen sind. Mit Interpretation (B) hingegen weiß man nicht, ob tatsächlich logarithmisch viele Zahlen übrigbleiben, denn z.B. die durch 5 teilbaren Zahlen können näher liegen als jede 5. Zahl. Gruß, Philipp [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-21

@derEinf.: was du meinst, ist das Ergebnis von Schritt 1; ich zeige in Schritt 2, dass es genau π (π (x) / 2) Überschneidung = Zwillinge gibt. @philippw: Der Punkt "Desweiteren definieren wir ein Array2 mit beliebigen Zahlen. Wenn für den Array 2 auch jedes 2,3,5... Feld markiert/gelöscht wird ". Das gilt nur um zu zeigen, dass logarithmisch viele Felder unmarkiert bleiben egal wie ich die Primteiler anordne und starten lasse. Das ist Teil 1 des Beweises. Im konkreten Beweis ist das Array1 wie angegeben nur mit den 6n-1 Zahlen gefüllt. Deshalb entfallen auch die Teiler 2 und 3. In diesem Fall benötige ich kein Array 2. Ich markiere im Array 1 jedes 5,7,11...Feld: - Primteiler 5 teilt jedes 5te Feld ab Index 6+i*5 - Primteiler 7 teilt jedes 7te Feld ab Index 13+i*13 usw. und deshalb bleiben nach Schritt 1 nur noch die π(x)/2 Primzahlen der Form 6n-1 dort stehen. Nun beginnt Schritt 2 auf dem Array 1 um die Überschneidungen zu zeigen: Ich verwende dazu die Primteiler aus der zweite Reihe, also der 6n+1 Zahlen. Auch dort markiere ich im Array 1 jedes 5,7,11...Feld allerdings mit den Startwerten der Primteiler aus der zweiten Reihe: - Primteiler 5 teilt jedes 5te Feld ab Index 4+i*5 - Primteiler 7 teilt jedes 7te Feld ab Index 8+i*13 usw. Es gilt aber nach Dirichlet, dass durch den Primteiler 5 π (x) / 4 Primzahlen (mehr Primzahlen kann der Primteiler 5 nicht treffen), Primteiler 7 π (x) / 6 Primzahlen (mehr Primzahlen kann der Primteiler 7 nicht treffen), Primteiler 11 π (x) / 10 Primzahlen … usw. markiert/getroffen werden. Es bleiben gemäß Primzahlensatz logarithmisch viele der Zahlen (hier der 6n-1 Primzahlen) unmarkiert, also π (π (x) / 2) Primzahlen Ist das verständlicher auusgedrückt?


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-22

Als Ergänzung: Um transparenter darzustellen, dass nicht alle 6n-1-Primzahlen getroffen werden, der folgende Beweis durch Widerspruch: Annahme: es werden alle Primzahlen der Form 6n-1 durch die Primteiler aus der Zeile mit den 6n+1-Zahlen getroffen Wir definieren ein neues spezielles Sieb des Era. mit den folgenden 6n-1 Zahlen: Wir schreiben in das Sieb an die Stelle/Index 4 +5*i die Zahl 23 +5*i*6 Wir schreiben in das Sieb an die Stelle/Index 8 +7*i die Zahl 47 +7*i*6 usw. Das sind per Definition genau die 6n-1-Zahlen, die die Primteiler (der 6n+1-Zeile) im Array 1 der 6n-1-Zahlen markieren (siehe oben). In diesen Zahlen enthalten sein müssen aber gleichzeitig auch alle 6n-1-Primzahlen ab der Zahl x (> letztem Primzahlenzwilling) sein, da sie markiert werden müssen, da es ansonsten Primzahlenzwillinge ab x gibt (kein Teiler steht unter einer 6n-1-Primzahl). Dann muss dieses Sieb also alle 6n-1-Primzahlen ab einem gewissen x enthalten. Es kann und darf also keine 6n-1-Primzahlen außerhalb dieser Zahlen geben (ist sonst P-Zwilling). Das bedeutet aber, dass wir in einem normalen Sieb des E. mit allen 6n-1-Zahlen mit den Primteilern 5,7,11.. bei Anordnung der Primteiler wie oben definiert alle 6n-1-Primzahlen markieren können und dann hätte dieses Sieb keine logarithmische Anzahl von Primzahlen mehr im Widerspruch zum Beweis vom Satz oben: Es spielt keine Rolle wie die Primteiler angeordnet werden (die Vielfachen der Primteiler müssen natürlich im rechnerisch richtigen Abstand folgen), es sind stets logarithmisch viele Felder unmarkiert. qed


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DerEinfaeltige
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-22

Stehen in deinen Arrays jetzt Primzahlen oder allgemeine natürliche Zahlen der Form $6n\pm1$? Sätze wie "Fülle eine Sieb mit den 6n-1 Primzahlen" oder "Markiere gemäß den Startwerten der Primteiler" sind schlichtweg nicht zu verstehen. Du solltest auch bedenken, dass Dirichlets Primzahlsatz für arithmetische Progressionen gilt, nicht für beliebige (und insbesondere beliebig dünn besetzte wie die enthaltenen Primzahlen) Teilmengen arithmetischer Progressionen.


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philippw
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  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-22

\quoteon(2020-07-22 00:27 - Informatik-Rentner in Beitrag No. 4) ... und dann hätte dieses Sieb keine logarithmische Anzahl von Primzahlen mehr im Widerspruch zum Beweis vom Satz oben. \quoteoff Kannst du einmal deinen "Satz (S)" möglichst formal (d.h. allgemeingültig, nicht über Beispiele), kurz und vollständig formulieren? Einfach nur Voraussetzung und Behauptung, ohne Beweis. Insbesondere die genauen Voraussetzungen sind mir nicht klar. Je nachdem, was du eigentlich meinst, habe ich andere Kritikpunkte :-) Das kann in etwa so aussehen: "Gegeben ist ein Array der Länge n. An Stelle i enthält das Array (die Zahl 6*i-1 / die i-te Primzahl der Form 6k-1 / ??? ). Gegeben sei außerdem eine Primzahl p größer als 3. Wenn man aus dem Array (jede p-te Zahl, beginnend an einer beliebigen Stelle zwischen 0 und p-1 / jede durch p teilbare Zahl / jede Zahl, die +2 durch p teilbar ist / ???) auswählt, hat man maximal π(n)/(p-1) Zahlen ausgewählt."


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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-22

Danke für deinen Hinweis. Die vielen unterschiedlichen Beispiel verwirren wahrscheinlich. "Sätze wie "Fülle eine Sieb mit den 6n-1 Primzahlen" oder "Markiere gemäß den Startwerten der Primteiler" sind schlichtweg nicht zu verstehen. "Fülle eine Sieb mit den 6n-1 Primzahlen" bedeutet, dass im Array 1 nur die 6n-1 Zahlen stehen, wie in der Grafik abgebildet, also bei A(1) die erste 6n-1 Zahl steht (=5), in A(2) die zweite(=11) usw. "Markiere gemäß den Startwerten der Primteiler": im Array Feld 6 (siehe Bild) steht die Zahl 35 und das ist die kleinste Zahl mit den Primteilern 5 und 7, also ist der Index 6 der Startwert für die Primteiler 5 und 7 und in allen Vielfachen von Arrayindex(6+ i*5) stehen Primteiler von 5 bzw. bei Arrayindex(6+i*7) stehen PT von 7. Die Formulierung im Beweis "Fülle eine Sieb mit den 6n-1 Primzahlen" ist unsauber formuliert, es muss dort heißen "fülle das Sieb mit 6n-1 Zahlen", weil danach beschrieben ist, wie durch die Primteiler die Nicht-Primzahlen markiert werden. Wenn nur die Primzahlen ins Sieb gestellt werden, hat man sich diesen Schritt gespart. Ich habe die Formulierung korrigiert. Danke für den Hinweis. Ist das jetzt verständlich? "Du solltest auch bedenken, dass Dirichlets Primzahlsatz für arithmetische Progressionen gilt.." Ja, habe ich bedacht und deshalb die abgeleitete benötigte Schlussfolgerung bewiesen: "Der Primteiler p kann maximal π (n) / (p-1) Primzahlen treffen/ markieren" [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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  Beitrag No.8, eingetragen 2020-07-22

Nein, das ist nicht verständlich. Spiele es doch mal Schritt für Schritt bspw. für x=1000 durch. (oder poste ein Codebeispiel) Mit Formulierungen wie "Fülle ein Sieb" und "Treffen sich zwei Primzahlen" kann man bestimmt tolle Witze kreieren, aber keine Beweise führen. Die Idee, die ich vermute: Wir erstellen die Liste der 6n-1 Primzahlen und ihrer (potentiell primen) 6n+1 Zwillinge. [(5,7),(11,13),(17,19),(23,25),(29,31),(41,43),(47,49),...] Zu zeigen wäre jetzt, dass die Primzahldichte unter den Zwillingen ([7,31,19,25,31,43,49,...]) der Primzahldichte natürlicher Zahlen vergleichbarer Größe entspricht. Dirichlet ist hier nicht hilfreich, da die Zwillinge der Primzahlen keine arithmetische Progression, sondern nur eine beliebig kleine Teilmenge davon darstellen, und die Pi(x)/2 Primzahlen der Form 6n+1 problemlos in die Menge der "Nichtzwillinge" ([37,67,79,97,121,127,145,...]) passen.


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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-22

Ich verfolge nicht den Dichteansatz, da mühen sich andere Personen mit einigem Erfolg dran ab. Dirichlet wird genutzt, weil er gezeigt hat, dass es in jeder der primen Restklassen modulo p in einem gewissen Sinne gleich viele Primzahlen gibt. Ich habe es jetzt am Beispiel erläutert. Vgl. dazu den Text ab dem Wort Formal: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/44137_sieberkl1.jpg desweiteren die Ergebnisse der Programmierung der Zahlen bis 10 Billiarden. Die Zahlen passen mit der größten je gemessenen Anzahl von Zwillingen überein, dass Verfahren muss also richtig sein: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/44137_sieberkl2.jpg


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philippw
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  Beitrag No.10, eingetragen 2020-07-22

Hi Informatik-Rentner, kannst du noch auf meinen Beitrag #6 antworten? Wahrscheinlich hast du ihn übersehen, weil wir gleichzeitig geschrieben haben.


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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-23

Sorry philippw, habe ich tatsächlich übersehen. Du meinst den Satz "Der Primteiler p kann maximal π (n) / (p-1) Primzahlen treffen/markieren" Voraussetzungen: Gegeben sei ein Array mit den folgenden 6n-1-Zahlen: an der Stelle i enthält das Array die Zahl 6*i-1. Der Arrayindex läuft von 1-n. Gegeben sei außerdem eine Primzahl p größer als 3 (und < Wurzel(6n)). Wenn man aus dem Array jede p-te Zahl markiert/löscht, also beginnend an einer beliebigen Stelle j zwischen 1 und p jedes (j +p*i)-te Feld (i=1..n) des Arrays markiert/löscht, dann werden maximal π(6*n-1)/(p-1) Primzahlen markiert. Danke für den konstruktiven Vorschlag.


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zippy
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  Beitrag No.12, eingetragen 2020-07-23

\quoteon(2020-07-23 14:43 - Informatik-Rentner in Beitrag No. 11) Gegeben sei ein Array mit den folgenden 6n-1-Zahlen: an der Stelle i enthält das Array die Zahl 6*i-1. Der Arrayindex läuft von 1-n. \quoteoff Wenn der Arrayindex von $1$ bis $n$ läuft, dann enthält das Array auch nur $n$ Zahlen und nicht $6n-1$. Die größte Zahl in diesem Array ist allerdings $6n-1$. Möglicherweise missverstehe ich dich aber auch und du meinst mit "Gegeben sei ein Array mit den folgenden 6n-1-Zahlen" tatsächlich etwas anderes als "Gegeben sei ein Array mit den folgenden 6n-1 Zahlen".


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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-23

@zippy: wenn du den Text oben liest, siehst du in der Grafik, das im Array nur Zahlen vom Typ 6n-1 stehen, wie du auch richtig am Bindestrich erkannt hast


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philippw
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  Beitrag No.14, eingetragen 2020-07-24

\quoteon Voraussetzungen: Gegeben sei ein Array mit den folgenden 6n-1-Zahlen: an der Stelle i enthält das Array die Zahl 6*i-1. Der Arrayindex läuft von 1-n. Gegeben sei außerdem eine Primzahl p größer als 3 (und < Wurzel(6n)). Wenn man aus dem Array jede p-te Zahl markiert/löscht, also beginnend an einer beliebigen Stelle j zwischen 1 und p jedes (j +p*i)-te Feld (i=1..n) des Arrays markiert/löscht, dann werden maximal π(6*n-1)/(p-1) Primzahlen markiert. \quoteoff Ok, fast einverstanden. Ein paar kleine Anmerkungen, die allerdings nicht für meine eigentliche Kritik an deinem Beweis wichtig sind: Der Satz stimmt nur im Grenzwert, also für hinreichend großes n, denn der Dirichletscher Primzahlsatz macht nur eine Aussage für n gegen unendlich. Und an Stelle von π(6*n-1) sollte wahrscheinlich "Die Anzahl der Primzahlen im Array" stehen, denn π(6*n-1) zählt auch alle Primzahlen der Form 6*i+1 mit, die ja nicht vorkommen. Jetzt, wo wir das geklärt haben: Dieser Satz kann auf das Filtern in der oberen Zeile angewendet werden. Was hat das jetzt damit zu tun, dass "logarithmisch viele" Zahlen übrigbleiben? Ich sehe den Zusammenhang nicht. Allein aus dem Satz erhält man, dass maximal π(x)* (1/4 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + ...) Zahlen markiert werden. Der Wert in der rechten Klammer ist aber unbeschränkt. (Satz von Euler) Du schreibst in deinem Beweis immer "gemäß Primzahlsatz", aber was hat das mit diesem Satz zu tun? Wofür brauchst du den Satz (S)? (Das bezieht sich jetzt erstmal nur auf das Filtern der oberen Zeile, ich will nicht zu viel gleichzeitig diskutieren. Das Ergebnis stimmt hier noch, nur dein Beweis des Ergebnisses ist mir nicht klar.)


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  Beitrag No.15, eingetragen 2020-07-27

Hallo Philippe, Bin mit meinen Enkeln in den Urlaub gefahren, mein PW funktioniert dort nicht,WLAN AUCH NICHT und ich habe auch kaum Zeit. Aber vielen Dank für deine Unterstützung. Zu deinen Anmerkungen: - "an Stelle von π(6*n-1) sollte wahrscheinlich "Die Anzahl der Primzahlen im Array" stehen, denn π(6*n-1) zählt auch alle Primzahlen der Form 6*i+1 mit, die ja nicht vorkommen." Ja, ich habe unter Zeitdruck schlampig gearbeitet. Die Anzahl der Primzahlen im Array sind gemeint. - "Der Satz stimmt nur im Grenzwert, also für hinreichend großes n, denn der Dirichletscher Primzahlsatz macht nur eine Aussage für n gegen unendlich" Ja, ich habe auch gelesen, dass spezielle Haeufungen von Primzahlen Gegenstand von Untersuchungen sind. Allerdings kannst du bestimmt kein n angeben, wo dieser Satz nicht gilt oder? Zumindest wenn man π(n)/p-1 + O(n) schreiben würde oder? - "dass maximal π(x)* (1/4 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + ...) Zahlen markiert werden. Der Wert in der rechten Klammer ist aber unbeschränkt. (Satz von Euler)" Unbeschränkt ja, aber - - Euler hat gesagt "Die Summe der reziproken Reihe der Primzahlen ....ist unendlich groß, dennoch unendlich mal kleiner als die Summe der harmonischen Reihe.... Und die Summe jener ist quasi der Logarithmus dieser Summe.“ Sorry, mit dem Handy bekomme ich die Schreibweise nicht hin, aber der Satz steht in Wikipedia bei Euler De Grenzwert dieser Zahlen x gegen unendlich Summe 1/p (p


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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-19

Ich habe das Thema inzwischen formalisieren können. Man findet es unter https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=259966&start=0#p1888338


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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-30

Ich schließe das Thema vorerst


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