Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Unterschied Konvergenz im p-ten Mittel zu punktweiser Konvergenz fast überall
Autor
Universität/Hochschule J Unterschied Konvergenz im p-ten Mittel zu punktweiser Konvergenz fast überall
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Themenstart: 2021-01-15

Hallo, ich frage mich was denn der genaue Unterschied zwischen Konvergenz im p-ten Mittel zu punktweiser Konvergenz fast überall ist? Was ich weiß: Konvergenz im p-ten Mittel ist eben Konvergenz bzgl der p-(pseudo/semi) Norm. Daher ist zB auch der Grenzwert nicht eindeutig bestimmt. Und natürich müssen alle Glieder der Funktionenfolge und die Grenzwerte in ${\cal L}^p$ liegen. Jetzt frage ich mich, wie das bei punktweiser Konvergenz fast überall aussieht? Ist da der Grenzwert ebenfalls nur bis auf eine Nullmenge bestimmt, also nicht eindeutig? Und bezüglich welcher Norm muss die punkteweise Konvergenz denn gelten? Ist Konvergenz im p-ten Mittel nur ein Spezialfall der punktweisen Konvergenz fast überall für Funktionen in ${\cal L}^p$ Räumen?


   Profil
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 700
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-15

Hallo Gast123, \quoteon(2021-01-15 17:19 - Gast123 im Themenstart) Jetzt frage ich mich, wie das bei punktweiser Konvergenz fast überall aussieht? Ist da der Grenzwert ebenfalls nur bis auf eine Nullmenge bestimmt, also nicht eindeutig? \quoteoff Ja, der Grenzwert ist nur f.ü. eindeutig bestimmt. \quoteon(2021-01-15 17:19 - Gast123 im Themenstart) Und bezüglich welcher Norm muss die punkteweise Konvergenz denn gelten? \quoteoff Die punktweise Konvergenz (f.ü.) \(f_n\to f\) ist nicht die Konvergenz bezüglich einer Norm. Allerdings gilt für alle \(x\) außerhalb einer Nullmenge \(f_n(x)\to f(x)\) und diese Konvergenz ist jeweils bezüglich des Betrages auf \(\mathbb{R}\) bzw. \(\mathbb{C}\) gemeint, sofern Du reellwertige/komplexwertige Funktionen betrachtest. \quoteon(2021-01-15 17:19 - Gast123 im Themenstart) Ist Konvergenz im p-ten Mittel nur ein Spezialfall der punktweisen Konvergenz fast überall für Funktionen in ${\cal L}^p$ Räumen? \quoteoff Nein, wie die beiden Begriffe zusammenhängen siehst Du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenz_im_p-ten_Mittel#Punktweise_Konvergenz_%CE%BC-fast_%C3%BCberall bzw. https://de.wikipedia.org/wiki/Punktweise_Konvergenz_%CE%BC-fast_%C3%BCberall#Konvergenz_im_p-ten_Mittel


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19

Hallo Sonnenschein96, erst mal danke für deine Antworten. \quoteon Die punktweise Konvergenz (f.ü.) \(f_n\to f\) ist nicht die Konvergenz bezüglich einer Norm. Allerdings gilt für alle \(x\) außerhalb einer Nullmenge \(f_n(x)\to f(x)\) und diese Konvergenz ist jeweils bezüglich des Betrages auf \(\mathbb{R}\) bzw. \(\mathbb{C}\) gemeint, sofern Du reellwertige/komplexwertige Funktionen betrachtest. \quoteoff Eine Konvergenz ist doch immer bzgl einer Norm. Eine Folge von Funktionen kann schließlich bzgl einer Norm konvergieren und bzgl einer anderen nicht. Und der Betrag ist ja letztendlich auch einfach nur eine Norm. Ist also der Unterschied, dass die beiden Konvergenzarten bzgl unterschiedlicher Normen definiert sind?


   Profil
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46642
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-19

\quoteon(2021-01-19 15:26 - Gast123 in Beitrag No. 2) Eine Konvergenz ist doch immer bzgl einer Norm. \quoteoff Hi Gast123, nein, die Konvergenz fast überall ist nicht bezüglich einer Norm. Bei der Konvergenz im p-ten Mittel und der Konvergenz fast überall handelt es sich um grundsätzlich verschiedene Konvergenzbegriffe. Gruß Buri


   Profil
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 700
  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-19

\quoteon(2021-01-19 15:26 - Gast123 in Beitrag No. 2) Eine Konvergenz ist doch immer bzgl einer Norm. \quoteoff Nein, das stimmt nicht. Es gibt keine Norm \(\|\cdot\|\), sodass \(f_n\to f\) punktweise genau dann, wenn \(\|f_n-f\|\to0\). Man betrachtet Konvergenz allgemeiner bezüglich Topologien, die nicht unbedingt durch eine Norm induziert seien müssen. Die punktweise Konvergenz lässt sich mittels der Produkttopologie beschreiben, siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_convergence#Topology Die punktweise Konvergenz f.ü. lässt sich aber nicht einmal mehr durch eine Topologie beschreiben, siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_convergence#Almost_everywhere_convergence In diesem Fall legt man einfach fest, was es denn bedeuten soll, dass \(f_n\to f\) punktweise f.ü. gilt. Das geht auch ohne Verwendung irgendeiner Topologie. \quoteon(2021-01-19 15:26 - Gast123 in Beitrag No. 2) Und der Betrag ist ja letztendlich auch einfach nur eine Norm. \quoteoff Ja das stimmt, die Konvergenz \(f_n(x)\to f(x)\) bedeutet \(|f_n(x)-f(x)|\to0\) für jedes \(x\) (bei reell-/komplexwertigen Funktionen). Das heißt aber nur, dass Du für jedes fest gewählte \(x\) die Konvergenz von \((f_n(x))\) gegen \(f(x)\) durch eine Norm beschreiben kannst. Du kannst wie gesagt nicht die punktweise Konvergenz der gesamten Funktionenfolge \((f_n)\) gegen \(f\) durch eine Norm auf einem Funktionenraum beschreiben. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19

Hallo ihr zwei, danke für eure Antworten. Aber punktweise Konvergenz ist doch auch über das Epsilon-Delta Kriterium festgelegt: $\forall x \in D \forall \varepsilon > 0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n \geq N: || f_n(x) - f(x)|| < \varepsilon$. D.h. ich benötige doch immer eine Norm um den Abstand zwischen Grenzwert und der Folge messen zu können, anders kann man Konvergenz doch gar nicht ausdrücken. \quoteon Hi Gast123, nein, die Konvergenz fast überall ist nicht bezüglich einer Norm. Bei der Konvergenz im p-ten Mittel und der Konvergenz fast überall handelt es sich um grundsätzlich verschiedene Konvergenzbegriffe. Gruß Buri \quoteoff Es würde mir sehr helfen, wenn du genau diese grundsätzlichen Unterschiede vielleicht etwas genauer erklären könntest, weil es gerade das ist was ich nicht verstehe.


   Profil
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46642
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-19

\quoteon(2021-01-19 17:00 - Gast123 in Beitrag No. 5) ... wenn du genau diese grundsätzlichen Unterschiede vielleicht etwas genauer erklären könntest, ... \quoteoff Hi Gast123, da gibt es nichts genauer zu erklären. Mit der Feststellung, dass die Begriffe "Konvergenz im p-ten Mittel" und "Konvergenz fast überall" nicht übereinstimmen, ist schon alles gesagt. Ergänzt wird diese Feststellung durch die Bemerkung, dass es zu einer im p-ten Mittel konvergenten Folge eine fast überall konvergente Teilfolge gibt. Gruß Buri


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20

Aber in welcher Hinsicht unterscheiden sie sich denn?


   Profil
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 700
  Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-20

Da musst Du schon etwas genauer sagen, was Du genau wissen willst. Es sind erstmal zwei verschiedene Begriffe. Ich hatte Dir in meinem ersten Beitrag schon einen Link geschickt, wo das eigentlich alles dargestellt wird, inklusive Beispiele: https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenz_im_p-ten_Mittel#Punktweise_Konvergenz_%CE%BC-fast_%C3%BCberall Weder folgt aus der punktweisen Konvergenz f.ü. die Konvergenz im \(p\)-ten Mittel noch umgekehrt. Es gibt aber für eine im \(p\)-ten Mittel konvergente Folge eine f.ü. punktweise konvergente Teilfolge. Außerdem folgt aus der punktweisen Konvergenz f.ü. zusammen mit der Existenz einer Majorante die Konvergenz im \(p\)-ten Mittel.


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21

Hmm, ja vielleicht würde es mir schon helfen, wenn du die beiden Epsilon Definitionen hinschreiben könntest. Denn ich habe die Epsilon Definition für punktweise Konvergnz fast überall nirgends gefunden. Daher kommt ja auch meine Verwirrung: Ich frage mich, in welcher Norm man das dann hinschreiben würde


   Profil
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 700
  Beitrag No.10, eingetragen 2021-01-21

Also ich habe Dir das eigentlich alles schon beantwortet... Sagen wir mal dass unsere Funktionen von \(\mathbb{R}\) nach \(\mathbb{R}\) abbilden. Dann konvergiert \((f_n)\) im \(p\)-ten Mittel gegen \(f\), falls es für alle \(\varepsilon>0\) ein \(n_0\in\mathbb{N}\) gibt mit \(\|f_n-f\|_p<\varepsilon\) für alle \(n\geq n_0\). Die Punktweise Konvergenz f.ü. lässt sich wie gesagt nicht durch eine Norm beschreiben... Es gibt KEINE Norm \(\|\cdot\|\), sodass \((f_n)\) punktweise f.ü. gegen \(f\) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem \(\varepsilon>0\) ein \(n_0\in\mathbb{N}\) gibt mit \(\|f_n-f\|<\varepsilon\) für alle \(n\geq n_0\). Lediglich für jedes feste \(x\in\mathbb{R}\) können wir in diesem Fall die Konvergenz von \((f_n(x))\) gegen \(f(x)\) durch eine Norm beschreiben, nämlich den Betrag auf \(\mathbb{R}\). \((f_n)\) konvergiert punktweise f.ü. gegen \(f\) falls es eine Nullmenge \(A\subseteq\mathbb{R}\) gibt, sodass es für alle \(x\in \mathbb{R}\setminus A\) und alle \(\varepsilon>0\) ein \(n_0\in\mathbb{N}\) gibt mit \(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\) für alle \(n\geq n_0\). (\(n_0\) hängt hier von \(x\) ab)


   Profil
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 700
  Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-22

Zu folgendem nochmal ein Kommentar: \quoteon(2021-01-19 17:00 - Gast123 in Beitrag No. 5) D.h. ich benötige doch immer eine Norm um den Abstand zwischen Grenzwert und der Folge messen zu können, anders kann man Konvergenz doch gar nicht ausdrücken. \quoteoff Das stimmt nicht, man kann auch viel allgemeinere Formen von Konvergenz betrachten, was ich eigentlich in meinem zweiten Beitrag auch schon geschrieben hatte. Allgemeiner betrachtet man z.B. metrische Räume und noch allgemeiner topologische Räume. https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)#Grenzwert_einer_Folge_von_Elementen_eines_metrischen_Raumes https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)#Grenzwert_einer_Folge_von_Elementen_eines_topologischen_Raumes Die punktweise Konvergenz f.ü. lässt sich aber wie gesagt nicht einmal durch eine Topologie beschreiben. Das ist aber auch nicht weiter schlimm. Was punktweise Konvergenz f.ü. bedeuten soll, kann man ja trotzdem einfach hinschreiben... Wenn Dich solche Fragestellungen interessieren, würde ich Dir raten, Dich einmal näher mit Funktionalanalysis zu beschäftigen.


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22

Hallo, das macht es in der Tat etwas klarer. Man könnte also sagen, dass bei Konvergenz im p-ten Mittel man die Norm global anwedent (anwenden kann) auf die ganzen Funktionen, während man bei punktweiser Konvergenz f.ü. die Norm nur "lokal" anwenden kann, also immer für je ein bestimmtes x. Könnte man das so grob sagen? Und wie wäre es dann mit gleichmäßiger Konvergenz fast überall? Da wendet man die Norm dann ja global auf die ganze Funktion an, also auf alle x oder?


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9609
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.13, eingetragen 2021-01-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) \quoteon(2021-01-22 07:55 - Gast123 in Beitrag No. 12) während man bei punktweiser Konvergenz f.ü. die Norm nur "lokal" anwenden kann, also immer für je ein bestimmtes x. Könnte man das so grob sagen? \quoteoff Das kann man nicht so sagen. Die Norm ist hier eine Abbildung von einem Funktionenraum in die reellen Zahlen. Bei einem bestimmten \( x\) ist die Norm von \( f(x) \) einfach der Betrag, also ein Abbildung von \( \IC\) nach \( \IR\). \quoteon(2021-01-22 07:55 - Gast123 in Beitrag No. 12)Und wie wäre es dann mit gleichmäßiger Konvergenz fast überall? Da wendet man die Norm dann ja global auf die ganze Funktion an, also auf alle x oder? \quoteoff Der Begriff "gleichmäßige Konvergenz fast überall" ist nicht besonders sinnvoll. Überlege dir das selbst, wenn du eine auf \( [0,1]\cup \{2\}\) definierte Funktionenfolge betrachtest. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22

Hi Wally, danke für die Antwort \quoteon Das kann man nicht so sagen. Die Norm ist hier eine Abbildung von einem Funktionenraum in die reellen Zahlen. Bei einem bestimmten \( x\) ist die Norm von \( f(x) \) einfach der Betrag, also ein Abbildung von \( \IC\) nach \( \IR\). \quoteoff Heisst das also, dass der Unterschied zwischen punktweiser Konvergenz f.ü. und Konvergenz im p-ten Mittel der ist, dass die Normen, die man verwenden auf unterschiedlichen Räumen definiert sind?


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9609
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.15, eingetragen 2021-01-22

sonnenschein96 hat es echt oft genug geschrieben. Du solltest dir jedesmal, wenn du das Wort "Norm" im Zusammenhang mit punktweiser Konvergenz verwendest, den Mund mit Seife auswaschen. Viele Grüße Wally


   Profil
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46642
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.16, eingetragen 2021-01-22

\quoteon(2021-01-22 10:11 - Gast123 in Beitrag No. 14) Heisst das also, dass der Unterschied zwischen punktweiser Konvergenz f.ü. und Konvergenz im p-ten Mittel der ist, ... \quoteoff Hi Gast123, nein, das heißt es nicht. Gruß Buri


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22

Alles klar, vielen Dank für die Antworten, auch wenn ich jetzt nicht klüger bin als zuvor und immer noch nicht weiß was denn jetzt der Unterschied ist.


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9609
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.18, eingetragen 2021-01-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Bei der Konvergenz im \( p\)-ten Mittel hat man eine Norm, bei punktweiser nicht. (Auch wenn du noch so sehr darauf bestehst, das da irgendwo eine Norm sein muss.) Was ist daran noch unklar? Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22

Hallo, ich meine das wirklich nicht provokant, sondern möchte es nur verstehen: In der punktweisen Konvergenz hat man doch auch den Betrag drin im Epsilon Kriterium, was ja eine Norm ist. Und auch in metrischen Räumen benötigt man dann eben eine Metrik. Aber man muss ja immer ein Funktion haben, die den Abstand zwischen zwei Punkten misst, sprich eine Norm oder Metrik. Daher benötigt man ja auch für punktweise Konvergenz immer eine Norm oder Metrik um das zu beschreiben.


   Profil
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 700
  Beitrag No.20, eingetragen 2021-01-24

\quoteon(2021-01-22 12:09 - Gast123 in Beitrag No. 19) Daher benötigt man ja auch für punktweise Konvergenz immer eine Norm oder Metrik um das zu beschreiben. \quoteoff Nein auch das nicht. Hat man Abbildungen \(f_n,f\colon \Omega\to X\) mit einem Maßraum \((\Omega,\mathcal{A},\mu)\), so bedeutet \(f_n\to f\) punkweise f.ü., dass es ein \(A\in\mathcal{A}\) mit \(\mu(A)=0\) gibt, sodass \(f_n(x)\to f(x)\) für alle \(x\in \Omega\setminus A\). Dafür benötigst Du nur einen Konvergenzbegriff auf \(X\), damit die Aussage \(f_n(x)\to f(x)\) einen Sinn ergibt. Dieser kann z.B. die Konvergenz bzgl. einer Topologie \(\mathcal{T}\) auf \(X\) sein. In diesem Fall bedeutet \(f_n\to f\) punktweise f.ü., dass es ein \(A\in\mathcal{A}\) mit \(\mu(A)=0\) gibt, sodass es zu jedem \(x\in\Omega\setminus A\) und jedem \(O\in\mathcal{T}\) mit \(f(x)\in O\) ein \(n_0\in\mathbb{N}\) gibt, sodass \(f_n(x)\in O\) für alle \(n\geq n_0\). Hier betrachten wir natürlich keine \(L^p\)-Räume mehr. Ist \(X\) ein topologischer Raum, welcher nicht Hausdorffsch ist, so ist übrigens der Grenzwert im Allgemeinen auch nicht einmal mehr f.ü. eindeutig bestimmt. Im Extremfall der indiskreten Topologie auf \(X\) gilt \(f_n\to f\) punktweise für alle Funktionen \(f_n,f\).


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25

Okay vielen Dank nochmal für die Geduld und die Erklärungen!


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-11

\quoteon(2021-01-19 16:08 - sonnenschein96 in Beitrag No. 4) \quoteon(2021-01-19 15:26 - Gast123 in Beitrag No. 2) Eine Konvergenz ist doch immer bzgl einer Norm. \quoteoff Nein, das stimmt nicht. Es gibt keine Norm \(\|\cdot\|\), sodass \(f_n\to f\) punktweise genau dann, wenn \(\|f_n-f\|\to0\). \quoteoff Sorry, dass ich dieses Thema nochmal ausgrabe, aber ich bin gerade nochmal durch meine alten Vorlesungnotizen gegangen und wieder auf dieses Thema und diese Frage gestossen. Also ich wurde ja jetzt überzeugt, dass punktweise konvergenz fast überall nicht bzgl einer Norm beschrieben werden kann. Aber die ganz normale punkteweise konvergenz kann doch bzgl einer Norm beschrieben werden, nämlich bzgl dem Betrag oder? Von Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Punktweise_Konvergenz Formal konvergiert $f_n$ also genau dann punktweise gegen $f$, wenn :$\forall x \in D \ \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \N \ \forall n \ge N\colon \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon$ Oder ist das für dich nicht die Definition dafür, dass es eine Konvergenz bzgl einer Norm ist?


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4179
  Beitrag No.23, eingetragen 2021-12-11

\quoteon(2021-12-11 11:51 - Gast123 in Beitrag No. 22) Aber die ganz normale punkteweise konvergenz kann doch bzgl einer Norm beschrieben werden, nämlich bzgl dem Betrag oder? \quoteoff Nein: Ein Konvergenzbergiff wird durch eine Norm $\|\cdot\|$ definiert, wenn$$ x_n\to x\quad\iff\quad \|x_n-x\|\to0 \;. $$Daneben gibt es auch die Konvergenz bezüglich einer Familie $\mathcal P$ von Halbnormen:$$ x_n\to x\quad\iff\quad \forall p\in\mathcal P:p(x_n-x)\to0 \;. $$Die punktweise Konvergenz entspricht der Konvergenz bezüglich der Familie von Halbnormen$$ \mathcal P =\{p_x:x\in D\}\;,\quad p_x(f)=|f(x)| \;. $$--zippy


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9609
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.24, eingetragen 2021-12-11

Vielleicht verwechselst du dies: Bei punktweiser Konvergenz braucht man eine Norm (oder eine Metrik) auf dem Bildraum der Funktionen. Es gibt aber i.allg. keine Norm auf dem Funktionenraum. Viele Grüße Wally


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-13

Hallo, danke euch zwei! @ Walli, vielen Dank für diese Klärung! Ich glaube das hat mich auch in der vorigen Diskussion immer verwirrt! Wenn ich dann noch den Bogen spannen darf zu Konvergenz punktweise fast überall: Ist es da auch so, dass es keine Norm auf dem Funktionenraum gibt, aber eine Norm auf dem Bildraum der Funktionen? Denn dort verwendet man glaube ich auch den Betrag. @ zippy: Ist denn der Betrag nur eine Halbnorm? Ich dachte er erfüllt alle Normeigenschaften.


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9609
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.26, eingetragen 2021-12-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, bei deiner Frage an zippy bist du nochmal in die selbe Falle gestolpert: der Betrag ist eine Norm auf \( \IR\), aber \( p_x(f)=|f(x)|\) ist eine Halbnorm auf dem Funktionenraum. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-11

Hallo, nochmal eine kurze Frage als Nachtrag: Ist der Grenzwert bei punkteweiser Konvergenz fast überall denn eindeutig bestimmt? (Bei Konvergenz im p-ten Mittel ist das ja zB nicht der Fall)


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4179
  Beitrag No.28, eingetragen 2022-02-11

\quoteon(2022-02-11 16:45 - Gast123 in Beitrag No. 27) Ist der Grenzwert bei punkteweiser Konvergenz fast überall denn eindeutig bestimmt? \quoteoff In einem Maßraum, in dem es nicht-leere Nullmengen gibt, kann der Grenzwert nicht eindeutig sein.


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-11

Okay, also nehmen wir mal an dass $N$ eine Nullmenge von $\mu$ ist und $f_n$ gegen $f$ punktweise fast ueberall konvergiert. Dann bedeutet das ja, dass $f_n$ auf $X\setminus N$ punktweise gegen $f$ konvergiert. Und das muesste doch bedeuten, dass zumidnest auf $X \setminus N$ der Grenzwert $f$ eindeutig bestimmt sein muesste oder? Oder koennte es sein, dass wenn es eine andere Nullmenge $M \subseteq X\setminus N$ gibt, dann ja $f_n$ gegen $f$ auch punktweise konvergiert auf $N \cup M$. Und dann koennte $f$ auf $M$ doch wieder beliebig aussehen, was ein wiederspruch dazu waere, dass $f$ eindeutig bestimmt ist auf $X\subset N$?


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4179
  Beitrag No.30, eingetragen 2022-02-11

Betrachte als Beispiel das Intervall $[0,1]$ mit dem Lebesgue-Maß. Für jede Nullmenge $N$ konvergiert die Folge $f_n$ mit $f_n(x)=0$ fast sicher gegen die Indikatorfunktion $1_N$.


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-12

Okay aber das heißt für jede fest gewählte Nullmenge $N$ ist dann der Grenzwert $f$ eindeutig bestimmt auf $X\setminus N$?


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-01

Also zusätzlich zu meiner letzten Fragen, direkt über diesem Beitrag, habe ich auch noch eine weitere Frage: Also was mich verwirrt ist, dass es ja auch unterschiedliche Nullmengen gibt (z.B. bei $X=[0,1]$ gibt es unendlich viele), die Teilmenge einer bestimmten betrachteten Menge $X$ sein können. Das heißt dann aber, dass die Grenzfunktion abhängig von der gewählten Nullmenge ist oder? In deinem Bsp kann ja $f_n(x)=0$ gegen die Indikatorfunktion $\chi_N$ konvergieren fast überall, aber auch gegen eine andere Indikatorfunktion über einer anderen Nullmenge $M$, $\chi_M$, oder? Und das zeigt dann dass die Grenzfunktion abhängig ist von der gewählten Nullmenge und damit nicht eindeutig, oder? Und wenn man einmal eine Nullmenge festgelegt hat und dann die Konvergenz (überall nicht fast überall) außerhalb dieser Nullmenge betrachtet, dann ist die Grenzfunktion dort eindeutig bestimmt oder?


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4179
  Beitrag No.33, eingetragen 2022-03-01

Du sprichst von der "gewählten" oder "festgelegten" Nullmenge. Die punktweise Konvergenz außerhalb einer festen Nullmenge ist aber etwas anderes als die punktweise Konvergenz fast überall. In dem Beispiel in Beitrag Nr. 30 konvergiert für jede Nullmenge $N$ die Folge $(f_n)$ fast überall gegen $1_N$. Wenn wir die Konvergenz außerhalb einer festen Nullmenge $M$ betrachten, konvergiert $f_n\to1_N$ genau für $M\supseteq N$.


   Profil
Gast123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
  Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-02

Hallo, alles klar, vielen Dank fuer die Antworten!


   Profil
Gast123 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]