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Schulmathematik » Analytische Geometrie » Woher kommen die Zahlen für die Formel?
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Schule J Woher kommen die Zahlen für die Formel?
Chinqi
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https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54313_Unbenannt.PNG https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54313_4.PNG Bei dem V_Pyramide = 1/3 * 6m * 2m * 4m = 16 Die 6m kommen ja von dem Betrag des Vektors AB Aber woher kommen die 2m? Und bei dem V_Prisma woher kommt die Formel? Ich dachte die Formel für das Volumen sei: a²/4 * h * √3


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haribo
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-12-06

2: x ausdehnung der pyramide also die x werte von A;C;E;F geschickt hintereinander +10-9+1-0=2 prisma ist eine querschnitt (yz) mal länge (x) berechnung, der querschnitt ist ein dreieck... [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Chinqi
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-06

Sorry, ich habs noch nicht ganz verstanden. Könntest du das bitte näher erläutern


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schieber_fieber
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-06

Weißt du denn überhaupt um welche Pyramide es geht? Stell dir vor du zerschneidest das Walmdach an Punkt E und F mit einem geraden Schnitt nach unten (also parallel zur y-z-Ebene). Dann erhälst du 3 Teilstücke. Das mittlere ist dann das Prisma. Wenn du die beiden äußeren zusammen packst erhälst du die Pyramide. Diese hat dann eine Grundfläche von 6m (AB) und 2m. Mach dir das am besten graphisch klar, dann sollte es keine Probleme geben.


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werner
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-12-06

oft hilft ein Bilderl mehr als viele Worte, diese Pyramide gibt es auf beiden Seiten, daher 2 x 1 = 2 🙂 https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/6049_wo_ist_die_Pyramide.JPG


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Chinqi
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Genau, die Grundfläche ist 6m (AB) und wie kommt man auf die 2m?


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Chinqi
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Und die Höhe ist ja bei der Pyramide 4m. Kommt man darauf durch den Satz des Pytagoras? Also (5,10m)² = h² + (6m/2)²?


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schieber_fieber
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-07

Die Höhe 4 kannst du direkt aus den Koordinaten von E bzw. F ablesen.


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-12-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo Chinqi, das wurde so gemacht: in Gedanken hat man durch die Punkte E und F (also Anfangs- und Endpunkt des Dachfirsts) jeweils einen senkrechten Schnitt gelegt. Dabei entsteht in der Mitte das Prisma und an beiden Enden jeweils eine vierseitige (aber nicht senkrechte) Pyramide. Die Grundflächen dieser abgeschnittenen Pyramiden betragen jeweils \(A=6\cdot 1=6\on{FE}\). Diese beiden Pyramiden kann man aber wegen der senkrechten Seitenflächen zu einer neuen vierseitigen Pyramide "verkleben", die dann eben die Grundfläche \(A_P=6\cdot 2=12\on{FE}\) hat. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.] [Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Analytische Geometrie' von Diophant]\(\endgroup\)


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Chinqi
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Und wie könnte ich das rechnerisch ermitteln?


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Diophant
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-12-07

\quoteon(2021-12-07 16:07 - Chinqi in Beitrag No. 9) Und wie könnte ich das rechnerisch ermitteln? \quoteoff 1+1=2 Gruß, Diophant


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Chinqi
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Ich meine bei dem V_Pyramide = 1/3 * 6m *2m * 4m Wie komme ich hier auf die 4m?


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Diophant
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-12-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Die Höhe des Dachfirstes ist 4m (die Punkte E und F haben jeweils die \(x_3\)-Koordinate 4), die der Grundfläche 0m. 4-0=4. Dir ist die Geometrie dieses Dachs offensichtlich noch nicht klar. Es wäre sinnvoller, wenn du versuchst, da zu einem Verständnis zu kommen: dann erübrigen sich diese ganzen Fragen hier (weil du dann sofort selbst darauf kommst). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Chinqi
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Ach so, weil E die z-Wert (4 hat) und A z.B. 0 4 - 0 = 4=?


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Diophant
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  Beitrag No.14, eingetragen 2021-12-07

\quoteon(2021-12-07 16:19 - Chinqi in Beitrag No. 13) Ach so, weil E die z-Wert (4 hat) und A z.B. 0 4 - 0 = 4=? \quoteoff Genau. 👍 Gruß, Diophant


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Chinqi
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54313_2_4.PNG Dann bezüglich der Aufgabe die auch zu der Walmdach Aufgabe gehört. Warum ist da jetzt die Höhe bei dem Dreieck 4,123m und nicht 4m? Und warum ist die Höhe bei dem Trapez 5m?


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Diophant
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  Beitrag No.16, eingetragen 2021-12-07

Hallo Chinqi, die Höhe des Dreiecks ergibt sich, indem man sich ein rechtwinkliges Dreieck denkt, bestehend aus: - einem der Punkte E oder F - dem darunter liegenden Fußpunkt in der Grundebene - dem Fußpunt der Dreieckshöhe an der Dachtraufe des Dreiecks (so bezeichnet man die untere Abschlusskante eines Dachs). Da der Punkt E bspw. um 1m zurückversetzt ist im Vergleich zur Traufe, hat das waagerechte Stück dieses Dreiecks die Länge 1m, das senkrechte Stück ist einfach die Dachhöhe, also nach wie vor die 4m. Das ergibt den Pythagoras aus deinem Aufschrieb. Beim Trapez geht es ähnlich: von der Traufe der langen Dachseite bis zur Mittellinie sind es 3m (die Hälfte der Dachbreite), die Dachhöhe sind wieder die 4m. Zeichne es dir selbst auf (in einer Prüfung kannst du auch nicht nachfragen, und dann ist es wichtig, dass man so etwas vorher mal trainiert hat: also selbst weiterzukommen, wenn man etwas nicht gleich versteht). Gruß, Diophant


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Chinqi
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54313_5.PNG Also ich hab jetzt mal was eingezeichnet, damit ich meinen Lösungsansatz besser erklären kann. Also ich zeichne ja vom Punkt E bzw. F eine senrkechte Linie. Dadurch entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Mit 5,10m als Hypothenuse und 3m unten. Jetzt kann ich doch den Satz des Pythagoras anwenden: 5,10² = h² + 3² h = √(5,10² - 3²) h = 4,12 Oder ist das falsch?


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Diophant
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  Beitrag No.18, eingetragen 2021-12-07

Hallo Chinqi, die 3m bringen dir hier nichts. Für einen Pythagoras bräuchtest du hier noch die Länge des Dachgrats* (also der schräg verlaufenden Kante ziwschen benachbarten Dachflächen), denn das wäre die Hypotenuse. Die gesuchte Dreieckshöhe wäre dann die zweite Kathete. Das in der Lösung benutzte Dreieck steht senkrecht auf der Grundfläche, so dass seine Hypotenuse der gesuchten Dreieckshöhe entspricht. Und eine Kathete verläuft auf der Mittellinie der Grundfläche des Dachs. (Ich komme gerade leider nicht dazu, eine Zeichnung anzufertigen) *Woher hast du überhaupt die 5,10m? Gruß, Diophant


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Chinqi
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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

5,10m habe ich aus dem Betrag vom Vektor AE


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Chinqi
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Tut mir leid, ich kann leider immer noch nicht nachvollziehen wie du das mit der Hypothenuse des Dreiecks meinst..


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Diophant
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  Beitrag No.21, eingetragen 2021-12-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2021-12-07 16:58 - Chinqi in Beitrag No. 19) 5,10m habe ich aus dem Betrag vom Vektor AE \quoteoff Damit hättest du aber so rechnen müssen: \[h_S=\sqrt{\left|\overrightarrow{AE}\right|^2-3^2}=\sqrt{26-9}=\sqrt{17}\approx 4.12\] Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]\(\endgroup\)


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Chinqi
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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Hab ich das nicht? Und warum ist das nicht die gesuchte Höhe des Dreiecks?


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Diophant
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  Beitrag No.23, eingetragen 2021-12-07

Hallo, \quoteon(2021-12-07 17:05 - Chinqi in Beitrag No. 22) Hab ich das nicht? Und warum ist das nicht die gesuchte Höhe des Dreiecks? \quoteoff offensichtlich hast du ja mit einer Summe unter der Wurzel gerechnet anstatt mit einer Differenz. Das ist aber falsch, wenn eine Kathete gesucht ist. Hier mal noch ein Bild auf die Schnelle: Was das Dreieck angeht: in der Musterlösung wird mit dem grün gefärbten Dreieck gerechnet. Du hingegen hast es mit dem rot eingefärbten versucht, aber eben falsch. Beim Trapez geht es mit dem blau eingefärbten Dreieck. Gruß, Diophant


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Chinqi
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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Genau, es geht doch aber gerade um die Aufgabe mit dem Flächeninhalt und nicht mit dem Volumen. Muss ich bei dem Flächeninhalt nicht mit dem roten Dreieck rechnen und bei dem Volumen mit dem Grünen? Und das ist mein Lösungsansatz: 5,10² = h² + 3² h = √(5,10² - 3²) h = 4,12 Und du hast doch den gleichen Lösungsweg gewählt für hs und dann auch 4,12m raus oder nicht?


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Diophant
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  Beitrag No.25, eingetragen 2021-12-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2021-12-07 17:21 - Chinqi in Beitrag No. 24) Genau, es geht doch aber gerade um die Aufgabe mit dem Flächeninhalt und nicht mit dem Volumen. \quoteoff Es geht schlicht und ergreifend um die Dreieckshöhe \(h_S\). Für was man die gerade benötigt, interessiert hier nicht. \quoteon(2021-12-07 17:21 - Chinqi in Beitrag No. 24) Muss ich bei dem Flächeninhalt nicht mit dem roten Dreieck rechnen und bei dem Volumen mit dem Grünen? \quoteoff Man muss nicht. Man kann. Beide Wege sind möglich und beide führen richtig gerechnet ja zum gleichen Resultat. \quoteon(2021-12-07 17:21 - Chinqi in Beitrag No. 24) Und das ist mein Lösungsansatz: 5,10² = h² + 3² h = √(5,10² - 3²) h = 4,12 \quoteoff Jetzt stimmt es ja auch, in deinem Aufschrieb hattest du es einfach falsch. (In der Mathematik geht es nicht nur um das richtige Ergebnis, sondern vor allem um den richtigen und richtig notierten Lösungsweg.) \quoteon(2021-12-07 17:21 - Chinqi in Beitrag No. 24) Und du hast doch den gleichen Lösungsweg gewählt für hs und dann auch 4,12m raus oder nicht? \quoteoff Ich für mich würde sicherlich nicht mit dem roten Dreieck rechnen, weil mir das zu umständlich wäre. Also ich für mich habe mit dem grünen Dreieck gerechnet. In Beitrag #21 wollte ich dir nur demonstrieren, wie dein Ansatz korekt aussehen muss. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Chinqi
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  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Alle klar, danke. Könntest du mir noch erklären warum beim Volumen des Prismas die Werte = (6m * 4m) / 2 * 8m verwendet werden. Also die 6m und 4m sind ja a und c. Aber wieso genau jetzt 6m und 4m? Der Körper wird ja in zwei 3 Flächen geteilt. Dabei hat das Prisma doch a = 8m und c = 6m oder nicht?


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Chinqi
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  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

\quoteon(2021-12-07 17:55 - Chinqi in Beitrag No. 26) Alle klar, danke. Könntest du mir noch erklären warum beim Volumen des Prismas die Werte = (6m * 4m) / 2 * 8m verwendet werden. Also die 6m und 4m sind ja a und c. Aber wieso genau jetzt 6m und 4m? Der Körper wird ja in zwei 3 Flächen geteilt. Dabei hat das Prisma doch a = 8m und c = 6m oder nicht? Und wo kommen die 8m als Höhe her? Beträgt die Höhe nicht 5m?


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Diophant
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  Beitrag No.28, eingetragen 2021-12-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-12-07 17:55 - Chinqi in Beitrag No. 26) Könntest du mir noch erklären warum beim Volumen des Prismas die Werte = (6m * 4m) / 2 * 8m verwendet werden. Also die 6m und 4m sind ja a und c. \quoteoff Namen sind Schall und Rauch. Variablennamen ebenso. Benenne diese Größen einmal sinnvoll geometrisch, dann würde es dir vermutlich sofort klar. \quoteon(2021-12-07 17:55 - Chinqi in Beitrag No. 26) Aber wieso genau jetzt 6m und 4m? Der Körper wird ja in zwei 3 Flächen geteilt. Dabei hat das Prisma doch a = 8m und c = 6m oder nicht? \quoteoff Das ist ein (liegendes) dreiseitiges Prisma. Seine Grundfläche ist somit ein Dreieck mit der Fläche \[A=\frac{1}{2}\cdot 6\on{m}\cdot 4\on{m}=12\on{m^2}\] Die Höhe des Prismas ist die Länge des Dachfirsts, also die 8m. Ich sage es gerne nochmal anders: es ist keine Schande, wenn man in der Schule (oder auch später) Probleme mit der räumlichen Vorstellung hat. Das kann man jedoch lernen. Nur eher nicht durch nebulöses und stereotypes Nachfragen, sondern durch: Zeichnen, Zeichnen, Zeichnen... Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]\(\endgroup\)


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Chinqi
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  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54313_7_Unbenannt.PNG, So hab ich das jetzt gedacht: das a (unten) 8m und c (oben) 6 cm sind.


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Diophant
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  Beitrag No.30, eingetragen 2021-12-07

Hallo Chinqi, nein: wie gesagt. Du hast eine völlig falsche Vorstellung von dem ganzen Körper. Was bei dir 8m lang ist, das sind wirklich 8m. Deine 6m sind in Wirklichkeit ebenfalls 8m lang und die Höhe, das wurde jetzt schon ich weiß nicht wie oft besprochen (du selbst hast sie vorhin ausgerechnet...): diese Höhe ist nicht 5m, sondern 4m. Wenn du nochmal in die Zeichnung aus Beitrag #23 schauen magst: das blau eingefärbte Dreieck ist im Prinzip die Hälfte der Grundfläche des Prismas. Du musst dieses Dreieck nur noch an der Höhe auf die andere Seite spiegeln, dann hast du die ganze Grundfläche. Gruß, Diophant


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Chinqi
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  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Stimmen die Werte jetzt: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54313_8_Unbenannt.PNG


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Diophant
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  Beitrag No.32, eingetragen 2021-12-07

\quoteon(2021-12-07 18:30 - Chinqi in Beitrag No. 31) Stimmen die Werte jetzt: \quoteoff Nein. Die hier relevanten Werte stimmen (Breite des Dachs von 6m, Länge des Dachfirsts von 8m). Die 4,12m haben hier aber nichts zu suchen. Zum einen benötigt man die Höhe des Trapezes nicht für das Volumen, zum andern hast du auch diese Höhe schon richtig berechnet: sie beträgt exakt 5m. Gruß, Diophant


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Chinqi
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  Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Alles klar, danke. Bei folgender Aufgabe, die auch zum Waldach gehört. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54313_1_1.PNG https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54313_7.PNG Also wie die Geradengleichung zustande kommt weiß ich, aber warum jetzt xy-Ebene? Und woher weiß man, dass wenn der Schattenpunkt (9,25/5,25/0) ist auf dem Dach liegt?


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Diophant
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  Beitrag No.34, eingetragen 2021-12-07

Hallo Chinqi, du musst deine Fragen schon in einer nachvollziehbaren Art und Weise präsentieren. Da oben steht nicht die komplette Aufgabenstellung, also kann man wieder einmal die Kristallkugel bemühen... Die Gleichung der Dachebene stimmt. Die Frage, um wie viel der Mast aus dem Dach herausragt, hast du nicht zu Ende gerechnet. Der Punkt Q stimmt ebenfalls. Fehlt wie gesagt noch der Abstand von Q bis zum oberen Ende des Mastes. \quoteon(2021-12-07 18:42 - Chinqi in Beitrag No. 33) Also wie die Geradengleichung zustande kommt weiß ich, aber warum jetzt xy-Ebene? \quoteoff Die Idee ist die folgende: man rechnet aus, wo der Sonnenstrahl durch die Mastspitze in der xy-Ebene auftrifft. \quoteon(2021-12-07 18:42 - Chinqi in Beitrag No. 33) Und woher weiß man, dass wenn der Schattenpunkt (9,25/5,25/0) ist auf dem Dach liegt? \quoteoff Der von dir angegebene "Schattenpunkt" liegt nicht auf der Dachfläche, sondern wie gesagt in der xy-Ebene. Das ist eben der Punkt, in dem der Sonnenstrahl auf diese Ebene treffen würde, wenn da kein Dach wäre. Da dieser Punkt aber innerhalb der Dachgrundfläche (also innerhalb des Rechtecks aus den Punkten A bis D) liegt, muss der Sonnenstrahl ja vorher die Dachfläche treffen. Wenn der Punkt, wo das geschieht, auch noch berechnet werden soll, dann musst du jetzt noch den Schnittpunkt des Sonnenstrahls (deine Gerade s) mit der Dachflächen-Ebene (Ebene BCFE) ausrechnen. Gruß, Diophant


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Chinqi
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  Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Hallo, aber warum muss man denn die xy-Ebene: z=0 benutzen und nicht z.B. die xz-Ebene: y = 0?


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Caban
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
  Beitrag No.36, eingetragen 2021-12-07

Hallo Der Erdboden liegt aber bei z=0 und nicht bei y=0. Gruß Caban


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Chinqi
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  Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Alles klar, danke


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