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Universität/Hochschule J Systemanalyse eines Signalflussgraphen
Sinnfrei
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Systemanalyse.png 1. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion $H(z)$ des Systems in Abhängigkeit von $a$ 2. Bestimmen Sie die Differenzengleichung des Systems. 3. Realisieren Sie das System mit minimaler Speicherzahl. 4. Bestimmen sie alle Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion. 5. Zeichnen Sie das PN-Diagramm. 6. Bestimmen Sie den Konvergenzbereich sowie den Konvergenzradius. 7. Für welchen größtmöglichen Wertebereich von $a \in \mathbb{R}$ ist das System stabil? 8. Berechnen Sie für $a=1$ den Betragsfrequenzgang des Systems an den Stellen $\Omega = 0, \pi/2, \pi, 3/2\pi, 2\pi$ und skizzieren Sie den Betragsfrequenzgang. Berücksichtigen Sie die richtige und komplette Achsenbeschriftung. 9. Bestimmen und skizzieren Sie die Impulsantwort des Systems. Hinweis: Es gilt für die z-Transformation des Einheitssprungs: $Z\{\varepsilon[n]\} = \frac{1}{1 - z^{-1}}$ Ferner gilt der Dämpfungssatz mit $Z\{a^{-n} x[n]\} = X(az)$ Idee: Ich würde in einem Fall für z.B. $X(z)$ den direkt Weg zu $Y(z)$ gehen wollen und würde dann auf: $\frac{3}{2}aX(z)z^{-2}$ kommen. Das wäre ja der waagerechte Pfad. Wenn ich dann an der Stelle vor dem zweiten Verzögerungsglied, von $X(z)$ aus, nach unten gehe, komme ich auf: $\frac{1}{2}aX(z)z^{-3}$ anschließend würde ich den ganzen unteren Kreis entlang gehen: $-\frac{3}{2}aX(z)z^{-4}$ Und für den oberen, der mit dem Ausgang zurück gekoppelten Pfad, würde ich erhalten: $\frac{3}{2}aY(z)z^{-2}$ Dann hätte ich da stehen: $$Y(z) = \frac{3}{2}aX(z)z^{-2} + \frac{1}{2}aX(z)z^{-3} + \frac{-3}{2}aX(z)z^{-4} + \frac{3}{2}aY(z)z^{-2}$$ Nach weiterer Vereinfachung komme ich auf: $$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\frac{3}{2}az^{-2} + \frac{1}{2}az^{-3} - \frac{3}{2}az^{-4}}{1 - \frac{3}{2}az^{-2}} \cdot \frac{a^{-1}z^{4}}{a^{-1}z^{4}}$$ $$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\frac{3}{2}z^{2} + \frac{1}{2}z - \frac{3}{2}}{a^{-1} - \frac{3}{2}z^{2}} = \frac{(z - 0.84)(z + 1.18)}{a^{-1} - \frac{3}{2}z^2}$$ Ist das soweit richtig?


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-08

Hallo Sinnfrei, welche Methode versuchst Du hier zu verwenden, vielleicht die Pfadregel von Mason? Den direkten Pfad von $X$ nach $Y$ mit der Pfadverstärkung $\frac{3a}{2}z^{-2}$ kann ich bestätigen, aber bei den anderen verstehe ich nicht, was Du rechnest und wie Du in einem System mit 3 Verzögerungselementen Terme wie $z^{-4}$ erhältst. Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-09

Ich hatte mich bei der inneren Rückkopplung vertan. Ich nahm an, dass man von links auch nach unten und wieder zurück nach oben bei $x(z)$ und dann nach rechts Richtung $y(z)$ entlang gehen könnte aber die innere Rückkopplung hatte mich irritiert, sodass ich an der Stelle, nicht mit $y(z)$ gerechnet habe, sondern mit $x(z)$. Also von ganz links kommend und dann nach dem $a$ runter und dann wieder zurück zum Anfang usw.. Ich habe da jetzt folgendes stehen: $$y(z) = \frac{3}{2}ay(z)z^{-3} + \frac{3}{2}ax(z)z^{-2} - \frac{3}{2}ay(z)z^{-3} + \frac{3}{4}ay(z)z^{-2}$$ Und dann komme ich da auf: $$H(z) = \frac{\frac{3}{2}az^{-2}}{1 - \frac{3}{4}az^{-2}} = \frac{3a}{2} \cdot \frac{z^{-2}}{1 - \frac{3}{4}az^{-2}}$$ Zu 2) u. 3) $$y[n] - \frac{3}{4}ay[n - 2] = \frac{3}{2}ax[n - 2]$$ https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Aufg_3.png


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-16

Hallo Sinnfrei, ich erhalte ein anderes Ergebnis: \[ H(z) = \frac{3}{2}\frac{a z^{-2}}{1 - \frac{a}{2}z^{-1}} \] Beachte, dass die beiden rechts gezeichneten Verzögerungselemente das gleiche Eingangssignal haben und daher ihre Ausgänge (außer zu Beginn) den gleichen Wert haben. Die beiden äußeren Rückkopplungen haben die Verstärkungen $1$ und $-2\cdot 0.5$ und heben einander auf. Servus, Roland


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-16

Wäre es dann so korrekt? $$y(z) = \frac{3}{2} y'(z)z^{-1} \quad (1)$$ $$y'(z) = ((y'(z) \cdot z^{-1} + x(z) - y'(z) \cdot z^{-1}) \cdot z^{-1} + \frac{1}{2} \cdot y'(z) \cdot z^{-1})a \quad (2)$$ Die beiden inneren $y'(z)\cdot z^{-1}$ werden voneinander abgezogen, sodass sie nicht weiter auftauchen und dann würde ich für $y'(z)$ bekommen: $$y'(z) = a\cdot x(z) \cdot z^{-1} + \frac{a}{2} \cdot y'(z) \cdot z^{-1}$$ Das ganze dann nach $y'(z)$ umgeformt ergibt dann: $$y'(z) = \frac{a \cdot x(z) \cdot z^{-1}}{1 - \frac{a}{2} \cdot z^{-1}}$$ Das dann in $(1)$ eingesetzt ergibt dann: $$y(z) = \frac{3}{2} \cdot \frac{a \cdot x(z) \cdot z^{-2}}{1 - \frac{a}{2} \cdot z^{-1}}$$ und für die z-Übertragungsfunktion $H(z)$ erhalte ich dann: $$H(z) = \frac{3a}{2} \frac{z^{-2}}{1 - \frac{a}{2}z^{-1}}$$ Frage: Muss dan den Zwischenweg über einer "Hilfsvariablen", wie mit $y'(z)$ gehen und wie sähe der Schritt ohne diese Hilfsvariable aus? Zur Differenzengleichung würde ich dann erhalten: $$y(n) - \frac{a}{2}z^{-1} = \frac{3a}{2}\cdot x(z)z^{-2}$$ Und damit würde der neue Signalflussgraph, mit minimaler Speicheranzahl, wie folgt aussehen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Signalflussgraph_new1.png


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rlk
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-02-17

Hallo Sinnfrei, die Übertragungsfunktion ist richtig, aber die Differenzengleichung stimmt nicht. Dort sollten ja Differenzen zwischen den Abtastwerten der Ein- und Ausgangssignale zu verschiedenen Zeitindizes vorkommen, aber kein $z$. Es empfiehlt sich, einheitliche Schreibweisen zu verwenden, um zwischen den zeitdiskreten Ein- und Ausgangssignale und deren z-Transformierten zu unterscheiden. Mir gefällt die Konvention, die ich in dem Buch Signal Analysis von Athanasios Papoulis, aber auch anderswo gesehen habe: die zeitdiskreten Signale, also Folgen von Abtastwerten werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet, die Zeitindizes werden in eckige Klammern geschrieben. Die z-Transformierten werden mit den entsprechenden Großbuchstaben bezeichnet, die Abhängigkeit von der kontinuierlichen Variable $z$ wird durch ein in runden Klammern eingeschlossenes $z$ beschrieben. Die Übertragungsfunktion würde man dann \[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{3a}{2} \frac{z^{-2}}{1 - \frac{a}{2}z^{-1}} \] schreiben, die Differenzengleichung \[ y[n] - \frac{a}{2} y[n-1] = \frac{3a}{2} x[n-2] \] Ich sehe keinen einfachen Weg, die Übertragungsfunktion ohne die Einführung der Hilfsvariablen $y'$ (die ich z.B. $U$ genannt hätte, um zu betonen, dass es eine z-Transformierte ist) zu bestimmen. Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-17

Stimmt, da war ich wohl ein wenig zu schnell. Kannst du mir noch verraten, ab wann man die Verwendung einer Hilfsvariablen in Betracht zieht? Da habe ich irgendwie Probleme und im Oppenheim bin ich da auch nicht ganz schlau geworden.


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rlk
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-02-20

Hallo Sinnfrei, es ist nie falsch, Hilfsvariablen zu verwenden, aber es kann zu mehr Rechenaufwand führen, wenn Du "zu viele" einführst. Die Variable $v_2 = z^{-1} v_1$, die Du in https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257576 eingeführt hast, liegt nahe an der Grenze, weil Du gleich $z^{-1} v_1$ verwenden könntest. Ich hoffe, das hilft Dir, Roland


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-16

\quoteon(2022-02-20 18:42 - rlk in Beitrag No. 7) Hallo Sinnfrei, es ist nie falsch, Hilfsvariablen zu verwenden, aber es kann zu mehr Rechenaufwand führen, wenn Du "zu viele" einführst. Die Variable $v_2 = z^{-1} v_1$, die Du in https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257576 eingeführt hast, liegt nahe an der Grenze, weil Du gleich $z^{-1} v_1$ verwenden könntest. \quoteoff Was meinst du damit, wie man $z^{-1}v_1$ verwenden kann. Ich habe mal eine Beispielrechnung mit einem Bild erstellt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-16_030817.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-16_031230.png Irgendwie passt die Rechnung aber nicht zum Ergebnis, deswegen habe ich da noch eine zweite Hilfsvariable genommen, weil ich da anscheinend Fehler mache.


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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-16

Hier kommen noch die restlichen Teilaufgaben. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-16_060035.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-16_060250.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-16_061422.png Beim Betragsgang in Aufgabe 8, sowie bei der Impulsantwortfunktion in Aufgabe 9 bin ich mir beim zeichnen unsicher gewesen. Bei Aufgabe 8 steht ja geschrieben, für welche Werte man den Betragsfrequenzgang berechnen soll und danach habe ich mich bei der Skizze orientiert. Bei Aufgabe 9 weiss man ja nur, dass dieser aus den Aufgaben davor einmal $1$ und einmal aus den Reellen Zahlen ist.


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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-07-16

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-07-16 03:25 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-02-20 18:42 - rlk in Beitrag No. 7) Hallo Sinnfrei, es ist nie falsch, Hilfsvariablen zu verwenden, aber es kann zu mehr Rechenaufwand führen, wenn Du "zu viele" einführst. Die Variable $v_2 = z^{-1} v_1$, die Du in https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257576 eingeführt hast, liegt nahe an der Grenze, weil Du gleich $z^{-1} v_1$ verwenden könntest. \quoteoff Was meinst du damit, wie man $z^{-1}v_1$ verwenden kann. Ich habe mal eine Beispielrechnung mit einem Bild erstellt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-16_030817.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-16_031230.png \quoteoff Die zweite Gleichung ist falsch: wenn am Eingang des Verzögerungselements das Signal $v_1$ mit der z-Transformierten $V_1$ anliegt, dann ist am Ausgang $z^{-1} V_1$, die Gleichung muss daher \[ V_1 = V + \frac{1}{2} z^{-1} V_1 \qquad(10.1)\] lauten. \quoteon Irgendwie passt die Rechnung aber nicht zum Ergebnis, deswegen habe ich da noch eine zweite Hilfsvariable genommen, weil ich da anscheinend Fehler mache. \quoteoff Wenn Du $(10.1)$ nach $V_1$ umstellst und in Deine richtige dritte Gleichung \[ Y = (2 + 3 z^{-1}) V_1 \] einsetzt, erhältst Du die Übertragungsfunktion \[ H_2(z) = \frac{Y}{V_1} = \frac{2 + 3 z^{-1}}{1 - \frac{1}{2} z^{-1}} \] Welche zweite Hilfsvariable hast Du verwendet? Die Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion $H(z)$ aus Beitrag No. 4 hast Du richtig bestimmt, aber der Kreis mit dem Radius $a$ im Diagramm ist nicht hilfreich. Für die Stabilität des Systems ist ja die Lage der Polstellen im Bezug auf den Einheitskreis entscheidend, daher zeichnet man diesen in das Pol-Nullstellen-Diagramm ein. Konvergenzbereich und -radius hast Du richtig bestimmt. Den Betrag $|H(e^{j\Omega})|$ hast Du richtig berechnet, aber due Beschriftung der Frequenzachse stimmt nicht: entweder trägst Du $\Omega$ auf, dann würden die Werte $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ passen oder Du verwendest $\frac{\Omega}{\pi}$, dann muss dort $0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2$ stehen. Bei der Impulsantwort hast Du $a>2$ angenommen, was nach der Stabilitätsanalyse eine ungünstige Wahl ist. Die Werte nehmen exponentiell zu (für $a>2$) oder ab (für $a<2$) und nicht linear, wie das Deine Skizze suggeriert. Servus, Roland


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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-16

\quoteon(2022-07-16 11:58 - rlk in Beitrag No. 10) Die zweite Gleichung ist falsch: wenn am Eingang des Verzögerungselements das Signal $v_1$ mit der z-Transformierten $V_1$ anliegt, dann ist am Ausgang $z^{-1} V_1$, die Gleichung muss daher \[ V_1 = V + \frac{1}{2} z^{-1} V_1 \qquad(10.1)\] lauten. \quoteoff Stimmt, daran habe ich irgendwie gar nicht gedacht. Nach unten ist es ja $v_1$ und weil zwei Signale addiert, ja nicht mehr $v$ ergeben kann. \quoteon Irgendwie passt die Rechnung aber nicht zum Ergebnis, deswegen habe ich da noch eine zweite Hilfsvariable genommen, weil ich da anscheinend Fehler mache. \quoteoff \quoteon(2022-07-16 11:58 - rlk in Beitrag No. 10) Wenn Du $(10.1)$ nach $V_1$ umstellst und in Deine richtige dritte Gleichung \[ Y = (2 + 3 z^{-1}) V_1 \] einsetzt, erhältst Du die Übertragungsfunktion \[ H_2(z) = \frac{Y}{V_1} = \frac{2 + 3 z^{-1}}{1 - \frac{1}{2} z^{-1}} \] Welche zweite Hilfsvariable hast Du verwendet? \quoteoff $v_2?$ \quoteon(2022-07-16 11:58 - rlk in Beitrag No. 10) Die Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion $H(z)$ aus Beitrag No. 4 hast Du richtig bestimmt, aber der Kreis mit dem Radius $a$ im Diagramm ist nicht hilfreich. Für die Stabilität des Systems ist ja die Lage der Polstellen im Bezug auf den Einheitskreis entscheidend, daher zeichnet man diesen in das Pol-Nullstellen-Diagramm ein. \quoteoff Da sich aufgrund der Stabilität, a im Bereich $[0,2)$ bewegt, kann man ja nicht genau sagen, wo dann die Polstelle im Einheitskreis zu platzieren ist. In der Aufgabe wird $a$ noch nicht gleich $1$ gesetzt \quoteon(2022-07-16 11:58 - rlk in Beitrag No. 10) Den Betrag $|H(e^{j\Omega})|$ hast Du richtig berechnet, aber due Beschriftung der Frequenzachse stimmt nicht: entweder trägst Du $\Omega$ auf, dann würden die Werte $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ passen oder Du verwendest $\frac{\Omega}{\pi}$, dann muss dort $0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2$ stehen. \quoteoff Stimmt, ich habe daran gedacht, das in $\pi$ zu beschriften aber den Fehler gemacht das $\pi$ mitzunehmen. \quoteon(2022-07-16 11:58 - rlk in Beitrag No. 10) Bei der Impulsantwort hast Du $a>2$ angenommen, was nach der Stabilitätsanalyse eine ungünstige Wahl ist. Die Werte nehmen exponentiell zu (für $a>2$) oder ab (für $a<2$) und nicht linear, wie das Deine Skizze suggeriert. \quoteoff In der Aufgabe 7 hatte ich ja die Stabilität bestimmt, demnach müsste der Betrag von a kleiner 2 sein. Bei der Impulsantwort wusste ich nicht, dass das in Bezug zur Stabilität zu zeichnen ist oder habe nicht daran gedacht aber macht Sinn, wäre a vom Betrag her nicht kleiner sondern größer als 2, wäre das System nicht stabil und würde irgendwann zusammenbrechen. Dann komme ich auf folgende Skizze https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-16_143800.png


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