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Universität/Hochschule Eindeutigkeit einer Lösung von Dirichletproblem
mathsmaths
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  Themenstart: 2022-03-14

Abend die Herrschaften, ich bin gerade am Herumüberlegen und -Probieren: Zu zeigen ist die Existenz einer Lösung $u\in C^2(-1,1)\cap C([-1,1])$ vom Dirichletproblem: $-a*u''(x) + u'(x)^2 = 1$ mit $u(-1)=u(1) = 0$, wobei $a>0$ konstant. Ich hatte es mit Beweis durch Widerspruch versucht. Also angenommen es existieren 2 verschiedene Lösungen $u_1\neq u_2$ zu obigem Dirichletproblem. Durch Gleichsetzen der Gleichungen möchte ich darauf hinaus, dass $u_1-u_2$ konstant sein muss, denn dann folgt aufgrund der Randbedingung, dass $u_1=u_2$ auf $[-1,1]$. Leider scheitere ich aber daran. Ich hatte auch an den Satz von Rolle gedacht, der mir jeweils Nullstellen $x_1, x_2$ von $u_1', u_2'$ liefert. Jedoch führt auch das nicht zum Ziel bisher. Hat jemand einen Tipp für mich? Danke vorab und Grüße


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-14

Hallo, mathsmaths, könntest du deine Frage so formulieren, dass klar wird, was du voraussetzt, und klar wird, was die Behauptung ist? Viele Grüße Wally


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mathsmaths
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-15

Hi Wally, Sry - das entscheidende Wort hat ja gefehlt - es geht um die Eindeutigkeit. Ich habe den Ursprungspost bearbeitet, sodass es jetzt klar formuliert sein sollte. Gegeben: Obiges Dirichletproblem mit Konstante $a>0$. Zu Zeigen: Die Eindeutigkeit einer $C^2(-1,1)\cap C[-1,1]-$Lösung! Wie gesagt hatte ich bereits einiges an Umformen und Herumspielen probiert, leider aber hat bisher nichts zum Ziel geführt. Auch eine Nacht darüber Schlafen war leider vergebens! 🙂 Danke schonmal, Ciao


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-17

Hallo mathsmaths, die Gleichung ist eine Differentialgleichung erster Ordnung für die Funktion $v=u'$. Die Eindeutigkeit der Anfangswertaufgaben $v(-1)=b$ und $u(-1)=0$ kannst Du mit Picard-Lindelöf zeigen. Ich hoffe, das bringt Dich auf Ideen, Roland


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mathsmaths
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-18

Hi Roland, Danke für deine Antwort. An Picard-Lindelöf hatte ich ehrlich gesagt gar nicht gedacht. Vielleicht schreibe ich mal etwas mehr Information rein. In den Unterlagen wird zunächst mal gesagt, dass es offensichtlich ist, dass das von mir angegebene Randwertproblem eine eindeutige Lösung hat (Hier stecke ich eben noch). Dann folgt aus Symmetriegründen, dass wenn $x\mapsto u(x)$ die Lösung ist, diese mit $x\mapsto u(-x)$ (bzw. $u(1-x)$) übereinstimmen muss - daher ist u gerade und wir können ohne Einschränkung $u'(0)=0$ annehmen. Dann folgt die von dir angegebene Transformation $v=u'$ und wir erhalten das Problem: Finde v zu $-c* v^(x) + v^2(x) = 1$ in $(-1,1)$ mit $v(0)=0$. (2) Das wird eine Lösung angegeben, die wird dann aufgrund der Transformation integriert und wir erhalten als Lösung vom Ursprungsproblem: $u(x) = -c \log\left( \frac{e^{\frac{x}{c}} + e^{-\frac{x}{c}}}{e^{\frac{1}{c}} + e^{-\frac{1}{c}}} \right)$. Können wir eventuell auch irgendwie anders argumentieren, dadurch, dass wir bereits eine Lösung u gefunden haben? Soweit ich das mit Picard-Lindelöf (auf den ersten Blick zumindest) gesehen habe, ergibt sich dadurch wirklich sofort die Eindeutigkeit der Lösung v zur gewöhnlichen Differentialgleichung (2). Dann sollte doch eigentlich auch direkt aufgrund der Randwertforderungen die Eindeutigkeit von u folgen, oder nicht? Jedoch wirkt das wie ein Zirkelschluss...wir sagen zunächst, dass die Eindeutigkeit offensichtlich sei womit wir die Einschränkung $v(0)=0$ machen können und zeigen aber anschließend erst die Eindeutigkeit. Meiner Meinung nach würde es andersrum mehr Sinn machen, also dass wir zunächst Eindeutigkeit annehmen und damit die Einschränkung machen können. Dann bekommen wir mit Picard-Lindelöf eine eindeutige Lösung v und damit durch die Transformation und mit den Randwerten eine (nun tatsächliche) eindeutige Lösung u. Oder habe ich einen Denkfehler drin?


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rlk
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-18

Hallo mathsmaths, ich finde nicht, dass die Eindeutigkeit der Randwertaufgabe offensichtlich ist. Die Symmetrie der Lösung klingt plausibel, muss aber auch begründet werden. Meine Idee war, die Eindeutigkeit der Anfangswertaufgabe für $v$ mit Picard-Lindelöf zu zeigen. Durch Integration erhält man zu jedem Anfangswert $v(-1)$ eine Lösung $u$. Wenn man zeigt, dass nur für einen Anfangswert die zweite Randbedingung $u(1)=0$ erfüllt ist, hat man die Eindeutigkeit der Randwertaufgabe bewiesen. Dass man die Lösung hier auch leicht berechnen kann, ermöglicht einen zweiten Weg. Servus, Roland


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Wally
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-03-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Ich glaube, dass man ohne direkte Berecnung der Lösung wenig Chancen hat, Existenz oder Eindeutigkeit zu zeigen. Picard-Lindelöf bezieht sich aus Anfangswertprobleme, aber hier haben wir an jedem Intervallrand nur ein Datum gegeben. Man vergleiche mal \( u''+u=0\) (die Lösungen sind \( u=c_1\sin (x+c_2)\)). mit \( u(-\pi)=u(\pi)=0\) (unendlich viele Lösungen) oder \( u(-1)=u(1)=0\) (eindeutig lösbar) oder \( u(-\pi)=0, \quad u(\pi)=1\) (unlösbar). Daher ist das Argument, dass man \( u\) als gerade Funktion nehmen kann, etwas schwammig. Möglicherweise lässt sich aber \( u'(0)=0\) retten. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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mathsmaths
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-22

Hi, danke für eure Antworten! Ich habe das Problem vorerst mal auf Eis gelegt. Grüße


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