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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Konvergenz von Funktionenreihen
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Universität/Hochschule Konvergenz von Funktionenreihen
vallahkriese
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Mitteilungen: 4
  Themenstart: 2022-03-28

Hallo! Ich komme bei der Klausurvorbereitung an einer Stelle nicht weiter :/ Ich habe folgendes Problem: Für $x\in \mathbb{R}$ betrachten wir die Reihe $\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{sin(nx)}{n^2}$. Zeigen Sie, dass diese für alle $x\in \mathbb{R}$ kovergiert und dass die Grenzfunktion stetig ist. Meine erste Intention wäre es jetzt gewesen einen Konvergenzradius zu bestimmen, der dann die gesamten rellen Zahlen beinhaltet. Da Die Funktion jedoch keine Potenzreihe ist bin ich ein wenig aufgeschmissen. Wegen dem Satz: "Zeigen sie das diese für alle $x\in \mathbb{R}$ konvergiert" , kam mir die Idee auf, das wie eine Funktionenfolge zu betrachten und die Grenzfunktion zu bestimmen wie bei der punktweisen Konvergenz, jedoch verwirrt mich die Reihe dort. Mir wäre sehr geholfen, wenn mir jemand das vorgehen bei so einem Problem zeigen könnte. Danke schonmal im Voraus und viele Grüße Phil:)


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-28

Hallo und willkommen hier im Forum! Denke einmal in Richtung Majorantenkriterium. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Konvergenz' von Diophant]


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nzimme10
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-03-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo :) Nur als Zusatz zu Diophants Antwort: Nur weil in der Reihe nun eine weitere Variable oder ähnliches vorkommt, funktioniert nicht alles anders. Für festes $x\in \mathbb R$ hast du es mit einer ganz "normalen" Reihe zu tun und kannst die bekannten Resultate verwenden. LG Nico\(\endgroup\)


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vallahkriese
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-28

Also so in der Art? $\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{sin(nx)}{n^2} \le \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ Da das Maximum von $sin(nx)$ ja 1 ist und $\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ konvergiert, konvergeirt $\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{sin(nx)}{n^2}$ auch. Und wäre dann die Grenzfunktion $f(x)=0$? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-03-28

Hallo, ja, so in der Art. Ich denke aber, dass hier gar nicht angedacht ist, die Grenzfunktion hinzuschreiben. Wenn du dein Reihenglied noch in Betragsklammern packst, dann hast du mit der gleichen Majorante gleichmäßige Konvergenz. Und daraus folgt dann für die Grenzfunktion, ...? Gruß, Diophant


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-03-28 12:16 - vallahkriese in Beitrag No. 3) Und wäre dann die Grenzfunktion $f(x)=0$? \quoteoff Nein. LG Nico\(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-03-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) @Nico: \quoteon(2022-03-28 12:29 - nzimme10 in Beitrag No. 5) \quoteon(2022-03-28 12:16 - vallahkriese in Beitrag No. 3) Und wäre dann die Grenzfunktion $f(x)=0$? \quoteoff Nein. \quoteoff Wieso eigentlich nicht? Oder ist mit Grenzfunktion hier der Reihenwert gemeint? Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-03-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Mit Grenzfunktion wir dann sicherlich die Funktion $f\colon \mathbb R\to \mathbb R, \ x\mapsto \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ gemeint sein. Das wäre dann ja gerade die Grenzfunktion der Funktionenfolge $\left(x\mapsto\sum_{n=1}^k \frac{\sin(nx)}{n^2}\right)_{k\in \mathbb N}$ LG Nico\(\endgroup\)


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vallahkriese
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-28

Danke Schonmal für die Hilfe! Kann ich Stetigkeit der Krenzfunktion nicht einfach aus der Stetigkeit vom Sinus ableiten? LG Phil


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-03-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-03-28 14:31 - vallahkriese in Beitrag No. 8) Danke Schonmal für die Hilfe! Kann ich Stetigkeit der Krenzfunktion nicht einfach aus der Stetigkeit vom Sinus ableiten? \quoteoff Nein. Dazu solltest du in deinen Unterlagen Gegenbeispiele finden. Außerdem geht es hier - wie nzimme10 schon geschrieben hat - nicht um die Grenzfunktion der Funktionenfolge \(f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n^2}\), sondern um den (noch von x abhängigen!) Wert der (unendlichen) Funktionenreihe. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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