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 Anzahl der Komplemente im endlichen Vektorraum |
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Mineblocky
Neu 
Dabei seit: 16.04.2022
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2022-04-16
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Hallo zusammen,
Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n, wobei \(\lvert K \rvert = q\).
Sei U ein K-UVR von V mit der Dimension m. Wie viele Komplemente gibt es von U zu V? (Ich darf ohne Beweis annehmen, dass \(\lvert V \rvert = q^n\) hat)
Mein Ansatz war folgender:
Es existieren \(q^n-1\) Möglichkeiten, den ersten Basisvektor zu wählen, \(q^n-q\) Möglichkeiten, den zweiten auszuwählen, \(q^n-q^2\) den dritten auszuwählen usw. d.h. es existieren insgesamt \(\prod\limits_{i=1}^{n-1} q^n-q^i\) Möglichkeiten Basen auszuwählen
Wenn ich o.B.d.A annehmen, dass die ersten m Basisvektoren, durch U festgelegt sind, dann existieren nur noch n-m Vektoren zwischen denen man sich entscheiden muss, also mindenstens \(\prod\limits_{i=m}^{n-1} q^n-q^i\) Möglichkeiten mein Komplement von U zu wählen
Das Problem ist das mindestens, Ich weiß nämlich dass es weniger Möglichkeiten aufgrund von Vertauschung der Basisvektoren geben muss, aber ich weiß nicht wie viele es tatsächlich sind
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| Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3578
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-04-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
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\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Hallo,
es gibt genau $\prod\limits_{i=m}^{n-1} q^n-q^i$ Möglichkeiten eine (geordnete) Basis für ein Komplement von $U$ zu wählen.
Sei $C$ die Menge der Komplemente von $U$ in $V$. Sei $G\subseteq \GL(V)$ die Untergruppe der Automorphismen $f$ von $V$ mit $f\mid_U=\id_U$.
Dann operiert $G$ auf $C$ mittels $f.W:= f(W)$, wobei $f\in G$ und $W\in C$.
Diese Operation ist transitiv (warum?).
Sei $W\in C$ beliebig. Nach Bahnformel gilt dann $|C| = \frac {|G|}{|G_W|}$, wobei $G_W:=\{f\in G\mid f.W=W\}$ der Stabilisator von $W$ ist.
Mit Deiner Überlegung aus dem Themenstart kannst Du $|G|$ berechnen. Auf ähnliche Weise lässt sich auch $|G_W|$ berechnen.
\(\endgroup\)
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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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 |  Beitrag No.2, eingetragen 2022-04-16
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Alternativ kann man das folgende Lemma beweisen und dann benutzen (was für Vektorräume über beliebigen Körpern gilt):
Sei $U \subseteq V$ ein Unterraum. Dann gibt es eine Bijektion
$\{\text{Komplemente von } U \text{ in } V\} \cong \mathrm{Hom}(V/U,U).$
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3578
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-04-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
\quoteon(2022-04-16 14:31 - Triceratops in Beitrag No. 2)
Sei $U \subseteq V$ ein Unterraum. Dann gibt es eine Bijektion
$\{\text{Komplemente von } U \text{ in } V\} \cong \mathrm{Hom}(V/U,U).$
\quoteoff
Ich habe das Gefühl, dass ich mich ungeschickt anstelle:
Sei $W_0\subseteq V$ ein fest gewählter Komplementärraum von $U$. Dann ist $V/U\cong W_0$.
Für einen Komplementärraum $W\subseteq V$ von $U$ sei $u_{W}:V=U\oplus W\to U$ die zugehörige Projektion auf $U$.
Dann definiert die Abbildungsvorschrift $W\mapsto u_W\mid_{W_0}$ eine Bijektion zwischen der Menge der Komplementärräume von $U$ in $V$ und $\Hom(W_0,U) \cong \Hom(V/U,U)$.
Kann man auch eine Bijektion hinschreiben ohne ein $W_0$ wählen zu müssen? Irgendeine Wahl wird man wohl treffen müssen, da es keinen ausgezeichneten Komplementärraum von $U$ gibt. Aber die einzige Eigenschaft des Quotientenraums $V/U$, die in meiner Konstruktion benutzt wurde, ist, dass $V/U$ und $W_0$ isomorph sind, und das kommt mir irgendwie unbefriedigend vor.\(\endgroup\)
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Triceratops
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-04-16
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Das ist schon richtig. Man muss ein Komplement wählen. Es gibt ja eine ausgezeichnete lineare Abbildung $V/U \to U$, nämlich die Nullabbildung, aber kein ausgezeichnetes Komplement von $U$. Bei der von dir genannten Konstruktion entspricht die Nullabbildung gerade $W_0$. Ich hätte also vielleicht sagen wollen, dass die von mir genannte Bijektion nicht natürlich ist.
Natürlich hingegen ist folgende Bijektion: Ist $W_0$ ein Komplement von $U$ in $V$, so gibt es eine natürliche Bijektion $\{\text{Komplemente von } U \text{ in } V\} \cong \mathrm{Hom}(W_0,U)$. Natürlichkeit ist hier entweder informal oder im Sinne der Kategorientheorie zu verstehen: Ist $f : V \to V'$ ein Isomorphismus, $f(U)=U'$, $f(W_0)=W'_0$, so kommutiert das Diagramm
$\begin{tikzcd}
\{\text{Komplemente von } U \text{ in } V\} \ar{r}{\cong} \ar{d}[swap]{f} & \mathrm{Hom}(W_0,U) \ar{d}{c_f} \\
\{\text{Komplemente von } U' \text{ in } V'\} \ar{r}[swap]{\cong} & \mathrm{Hom}(W'_0,U'),
\end{tikzcd}$
wobei $c_f(g) := f g f^{-1}$.
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