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Lineare Algebra » Vektorräume » V=Summe von UVR aber keine direkte Summe
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Universität/Hochschule J V=Summe von UVR aber keine direkte Summe
Sekorita
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  Themenstart: 2022-04-26

Hallo, ich habe folgendes Problem: für einen Vektorraum V gilt: V = U1\oplus\ U2\oplus\ U3 , wenn U1\cut\ U2= 0 und U1\cut\ U3 =0 und U2\cut\ U3=0 , also dass alle Untervektorräume nur den Nullvektor als gemeinsames Element haben. Ist das richtig und wenn ja wie soll die Aufgabe dann funktionieren, denn genau das ist doch gegeben mit U_i \cut\ U_j = 0 für i!=j


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-04-26

Hallo Sekorita, wie lautet die Aufgabe genau? Beachte: Falls U1, U2, U3 der Nullraum sind, dann ist auch der Schnitt von zwei der Ui der Nullraum. Aber V ist i. A. nicht die direkte Summe aus U1, U2 und U3. EDIT: Ok, jetzt habe ich auch die Überschrift gelesen.


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Nuramon
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-04-26

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, versuche ein Gegenbeispiel zu finden, in dem $U_1,U_2,U_3$ jeweils eindimensional sind.\(\endgroup\)


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Sekorita
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-26

Hier ist erstmal die Aufgabe https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_Frage5.1.JPG


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Sekorita
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-26

Ist folgendes Beispiel legitim: (1;0;0;0) = U1 (0;1;0;0) = U2 (0;0;1;0) = U3 und V= { (1;0;0;0), (0;1;0;0), (0;0;0;1)


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Nuramon
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-04-26

Überprüfe doch mal, ob das Beispiel alle verlangten Eigenschaften erfüllt.


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Sekorita
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-26

Ok ich merke selbst, dass das nicht klappt, da die 3 Vektoren ja zusammen kein Erzeugenden System von V sind... Da muss ich wohl noch etwas rumprobieren


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Sekorita
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-26

Ich probiere die ganze Zeit Zahlenbeispiele durch, aber finde keine Lösung... Habt ihr vielleicht einen Tipp der mich in die richtige Richtung bringt.... ich versuche es die ganze Zeit für V=R^3


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ligning
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-04-26

Versuchs mal mit $\IR^2$. Da kommst du wenigstens nicht in Versuchung, dir zielgerichtet immer wieder Beispiele zu suchen, die doch eine direkte Summe sind.


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Sekorita
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-26

(1;0):= U_1 (3;2):= U_2 (0;1):= U_3 dann müsste wenn ich keinen Denkfehler habe, der jeweilige Schnitt zwischen den UVR = 0 sein und U1+U2+U3 = V=\IR^2, denn (U1,U3) ist bereits Basis von \IR^2, (weil U_2 = 3*U_1 +2*U_3 also sind ist (3;2) lin. abhängig und somit nur 2 Basisvektoren) Aber keine direkte Summe, da dim (U_1+U_2+U_3) = 3 != 2 = dim(\IR^2) Ich hoffe es ist verständlich wie ich argumentieren wollte und es ist was Richtiges dabei


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Greyfox
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-04-26

Grundsätzlich hast Du ein passendes Beispiel gefunden. Gratuliere. Versuch Dich jetzt nochmal sprachlich / schriftlich aufzuräumen. Die Notation (1;0) := U_1 macht z.B. aus zwei Gründen keinen Sinn. 1. Den ":" schreibt man auf die Seite, auf der man was definieren will. Der Vektor (1;0) ist aber klar definiert. Du willst den Raum U_1 definieren. Also (1;0) =: U_1 oder besser U_1:= (1;0). Aber 2. U_1 soll ja ein UnterRAUM sein und nicht nur ein einzelner Vektor. Du meinst vermutlich den von (1;0) erzeugten Raum. U_1 := <(1;0)> = {\lambda * (1;0)| \lambda\in\IR} Wenn Du z.B. schreibst, dass (U_1,U_3) eine Basis sei. Dann meinst Du hier eigentlich das Paar aus den beiden Vektoren ((1;0), (0;1)). Denn als RAUM ist ja z.B. U_1 schon nicht linear unabhängig. Glaub mir, Du wirst langfristig viel gewinnen, wenn Du Dir angewöhnst, Deine Worte auf die Goldwaage zu legen und die Dinge akribisch aufzuschreiben. Ich habe einige Fragen hier dann doch nicht gepostet, weil mir beim Formulieren die Antwort vor die Füße gepurzelt ist.


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Sekorita
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-26

Super :) vielen Dank für den Hinweis. Da gebe ich Dir natürlich vollkommen Recht. Ich werde versuchen mich sprachlich exakter und genauer auszudrücken, dann fällt mir das Lösen mancher Aufgaben bestimmt leichter. Danke an Alle für die Hilfe und einen schönen Abend noch :) Gruß Sekorita


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