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Analysis » Maßtheorie » Nullmenge durch abgeschlossene Quader definieren
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Universität/Hochschule J Nullmenge durch abgeschlossene Quader definieren
DerVerwirrtIst
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  Themenstart: 2022-04-27

Guten Abend, ich soll beweisen, dass sich Nullmengen auch mithilfe abgeschlossener Quader, statt (wie anscheinend geläufig) offener Quader definieren lassen. Also: Eine Menge N \subset\ \IR^n ist eine Nullmenge g.d.w. \forall\ \epsilon > 0 eine Folge ((Q_l))_l abgeschlossener Quader im \IR^n existiert, mit N \subset\ union(Q_l,l=1,\inf) und sum(vol(Q_l),l=1,\inf) < \epsilon Wenn Folge existiert => N Nullmenge konnte ich beweisen. In der anderen Richtung habe ich Schwierigkeiten. Die Idee ist, die offenen Quader durch ein beliebig kleines x>0 zu "ergänzen", s.d. eine Folge aus Quadern (Q_i)' entsteht, sodass (Q_i)' = [a_i_1 -x, b_i_1 +x] x ... x [a_i_n -x, b_i_n +x] ist, wobei dass jeweils zugehörige offene Q_i = ((a_i_1), b_i_1) x ... x ((a_i_n), b_i_n) ist. Mit den i im Index möchte ich nur anzeigen, dass diese Intervalle zum i-ten Quader gehören. Hier ist jetzt die erste Frage: reicht eine einzige reelle Zahl x oder sollte x auch i-abhängig sein? N müsste dann in der Vereinigung der abgeschlossenen Quader sein, denn diese enthalten die ursprünglichen offenen Quader und diese enthalten wiederum N per Definition. Bleibt noch das Volumen: vol((Q_i)') = produkt((b_i_k+x - (a_i_k-x)),k=1,n). Im Optimalfall könnte ich das so umformen, dass sich vol((Q_i)') = produkt((b_i_k-a_i_k),k=1,n) (< \epsilon per Def.) + R ergibt, wobei R der überschüssige Rest (abhängig von x) ist, der sich ergibt, wenn man dieses x an den Enden jedes Intervalls ergänzt. Das müsste dann ebenfalls <\epsilon sein (s.d. alles insgesamt < 2\epsilon), ließe sich also umstellen s.d. ein Ausdruck ensteht, der angibt, wie klein x gewählt werden muss. Leider ist hier mein Hauptproblem, denn ich sehe im Moment nicht, wie sich dieses Produkt umstellen, kürzen oder sonst bearbeiten ließe. Könnte mir jemand auf den nächsten Schritt helfen? Vielen Dank!


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Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-04-27

Hi DerVerwirrtIst, noch einfacher ist es, x=0 zu setzen, das heißt, die den offenen Quadern entsprechenden abgeschlossenen Quader zu verwenden, sie haben das gleiche Volumen. Gruß Buri


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DerVerwirrtIst
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-27

Hi, danke Buri, du hast recht. Ich habe die Richtungen durcheinander gebracht. In dieser Richtung kann ich einfach den Rand der Qi hinzunehmen. N ist dann nach wie vor Teil der Überdeckung und wie du sagst, ändert sich nichts am Volumen. In die andere Richtung (ich starte also mit einer Folge geschlossener Quader) zieht das Volumen-Argument auch, nur bin ich mir nicht sicher, wie ich das mit der Überdeckung argumentieren kann. Nehme ich den geschlossenen Quadern ihren Rand weg, sind sie zwar offen, allerdings ist dann N nicht mehr zwangsläufig in der Überdeckung der offenen Quader enthalten. Hat da jemand eine Idee?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-04-27

Vergrößere einfach alle Seiten um einem Faktor $1+\alpha$ mit $\alpha>0$, d.h. ersetze die Seite $(a,b)$ durch$$ \left(\frac{a+b}2-(1+\alpha)\,\frac{b-a}2, \frac{a+b}2+(1+\alpha)\,\frac{b-a}2\right) = \left(a-\alpha\,\frac{b-a}2,b+\alpha\,\frac{b-a}2\right) \;. $$Dann vergrößert sich die Summe der Quadervolumina um einen Faktor $(1+\alpha)^n$, aber das kannst du durch die Wahl eines kleineren $\varepsilon$ ausgleichen. --zippy


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DerVerwirrtIst
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-29

Hallo :) danke für den Tipp zippy! Ein Kollege von mir hat sich noch eine weitere Methode überlegt. Man könnte argumentieren, dass die Vereinigung der geschlossenen Quader, die eine Überdeckung der Menge N darstellt, selbst geschlossen ist, und daher einen Rand besitzt. Dieser ist per Definition jedoch selbst eine Nullmenge, d.h. es existiert eine Überdeckung dieses Randes aus offenen Quadern, welche in der Summe Volumen < Epsilon besitzen. Die können dann mit den geschlossenen Quadern der Überdeckung der Menge N vereinigt werden. Dann liegt N immer noch darin, und das Volumen ist <2*Epsilon. Ich hoffe das ergibt Sinn, sonst kann das gerne noch jemand kommentieren. Ansonsten danke für eure Hilfe! Schönen Abend!


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-04-29

\quoteon(2022-04-29 21:50 - DerVerwirrtIst in Beitrag No. 4) Man könnte argumentieren, dass die Vereinigung der geschlossenen Quader, die eine Überdeckung der Menge N darstellt, selbst geschlossen ist \quoteoff Was meinst du mit "geschlossen"? Abgeschlossen jedenfalls muss eine nicht endliche Vereinigung abgeschlossener Quader nicht sein. \quoteon(2022-04-29 21:50 - DerVerwirrtIst in Beitrag No. 4) und daher einen Rand besitzt. \quoteoff Was meinst du mir "daher"? Jede Menge besitzt einen Rand. Oder willst du damit sagen, dass der Rand Teil der Menge ist? Das wäre (siehe oben) falsch. \quoteon(2022-04-29 21:50 - DerVerwirrtIst in Beitrag No. 4) Dieser ist per Definition jedoch selbst eine Nullmenge \quoteoff Wieso "per Definition"? In welcher Definition einer Nullmenge ist von Rändern die Rede? Außerdem fehlt ein Argument, warum der hier betrachtete Rand eine Nullmenge ist.


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