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Lineare Algebra » Vektorräume » Unterräume und Vektorraum
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Universität/Hochschule J Unterräume und Vektorraum
nitram999
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  Themenstart: 2022-05-01

Hallo, ich habe eine Frage zu einer Aufgabe: Sei V ein K-Vektorraum und v, w Elemente von V. z,a,b sind drei 1-dim. Unterräume von V und es gilt z=vK und a=wK. Außerdem liegen z,a,b in einem 2-dim. Unterraum von V. In der Aufgabe wird nun gesagt, das somit folgt, dass b=(v+w)K ist. Warum ist das so? Und warum muss nicht b=(w-v)K gelten? LG nitram999


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-01

Ja, das stimmt so allgemein nicht. Eine Sammlung von Gegenbeispielen bekommt man mit $w=-v$. Was ist der vollständige Kontext hier? Ist das wirklich der Inhalt der Aufgabe? Prüfe bitte, ob du etwas ausgelassen hast.


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nitram999
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-01

Der Kontext liegt in der projektiven Geometrie, beim Betrachten des Raums PG(V,K) mit einem Körper K und dem K-Vektorraum V. Die Punkte des Raums sind 1-dim. Unterräume von V und die Geraden sind 2-dim. Unterräume von V. Nun liegen nach Voraussetzung die Punkte z,a,b auf einer Gerade also sind kollinear. Übersetzt heißt das ja, dass z,a,b im selben 2-dim. Unterraum von V liegen. Man kann schreiben z=vK und a=wK. mit v,w Vektoren von V. In der Aufgabe steht nun, dass aufgrund der Kollinearität von a,b,z folgt, dass man b=(v+w)K schreiben kann. Die Aufgabe zur Vollständigkeit: zeige: Für jeden Körper K und jeden K-Vektorraum V ist der proj. Raum PG(V,K) desarguessch. Man will also zeigen, dass 2 zentrale (z ist das Zentrum) Dreiecke (a1,a2,a3) und (b1,b2,b3) auch axial sind. Die Definition von zentral liefert, dass z, ai, bi für i=1,2,3 kollinear sind. Dann folgt die Stelle mit obiger Unklarheit. LG nitram999


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