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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Gleichmäßige Konvergenz per Arzelà-Ascoli
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Universität/Hochschule J Gleichmäßige Konvergenz per Arzelà-Ascoli
mathematikerlein
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  Themenstart: 2022-05-04

Morgen zusammen! Ich möchte zeigen, dass die Familie $u_\epsilon(x) = -\epsilon \log\left(\frac{ e^{\frac{x}{\epsilon}} + e^{-\frac{x}{\epsilon}}}{e^{\frac{1}{\epsilon}} + e^{-\frac{1}{\epsilon}}} \right)$ gleichmäßig gegen $u(x) = 1-|x|$ auf $[-1,1]$ bei $\epsilon \downarrow 0$ konvergiert. Ich weiß, dass man das "relativ" schnell sieht, indem man $1-|x|$ geeignet darstellt mittels Exponential- und Logarithmus-Funktion. Ich würde es aber gerne anders zeigen. Ich habe bisher die punktweise Konvergenz von $u_\epsilon(x)$ gegen $u(x)$ für alle $x\in[-1,1]$ gezeigt. Nun würde ich gerne mit bekannten Sätzen die gleichmäßige Konvergenz bekommen. Man sieht, dass die Ableitung von $u_\epsilon(x)$ gerade $-\tanh(\frac{x}{\epsilon}) = u'_\epsilon(x)$ ist. $u'_\epsilon$ erfüllt die Voraussetzungen des Satzes von Arzela-Ascoli und wir bekommen eine Teilfolge (bzw. Teilfamilie, es reicht natürlich stets z.B.: $(v_n)_{n\in\mathbb{N}} = (u_{\frac{1}{n}})_{n\in\mathbb{N}}$ zu betrachten um wirklich eine Funktionenfolge zu haben), die gleichmäßig konvergiert. Auf diese erhaltene gleichmäßig konvergente Teilfolge würde ich nun gerne den folgenden Satz anwenden: Ist $f_n$ eine Funktionenfolge differenzierbarer Funktionen auf $[a,b]$ und konvergiert $f_n(x)$ punktweise für zumindest ein $x\in [a,b]$ und $f'_n$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, dann konvergiert auch $f_n$ gleichmäßig auf $[a,b]$ gegen eine Funktion $f$ auf $[a,b]$ und es gilt für $x\in[a,b]$: $\lim\limits_{n\to\infty}f'_n(x) = f'(x)$. Demnach müsste man dann ja aus der Eindeutigkeit der Grenzfunktion die gleichmäßige Konvergenz von $u_\epsilon$ gegen $u$ (zunächst für eine Teilfamilie bzw. Teilfolge, aber dies gilt dann ja bereits für die ganze Familie bzw. Folge), aber $u$ ist in $x=0$ nicht differenzierbar! Habe ich einen Fehler gemacht oder verstehe ich den Satz über die Vertauschbarkeit von Grenzwert und Ableitung falsch? Bzw. falls ich etwas falsch mache, was mache ich falsch und lässt es sich auch anders/einfacher zeigen, nachdem man die gleichmäßige Konvergenz von $u'_\epsilon$ mit Arzela-Ascoli erhalten hat? Ich hoffe, die Frage ist verständlich formuliert. Danke vorab für jede Hilfe! Gruß


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-04

Moin mathematikerlein, die Funktionenfamilie $(u_{\epsilon}')_{\epsilon > 0}$ ist im Punkt $x = 0$ nicht gleichgradig stetig, siehe hier. LG, semasch


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mathematikerlein
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-04

Hi semasch, Danke für deine Antwort! Das erklärt dann auch, was schief geht. Gibt es denn alternativ Sätze, die sich anwenden lassen und die gleichmäßige Konvergenz liefern? Also entweder direkt für $u_\epsilon$ oder erst für $u'_\epsilon$ und in Folge dann für $u_\epsilon$? Ansonsten ist mir ehrlich gesagt nichts wirklich bekannt aber ich bin mir eigentlich sicher, dass sich das elegant begründen lassen sollte... Vielleicht weiß ja sonst noch jemand Rat 🤗 Gruß


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-04

Wie sich aus dem von mir verlinkten Plot schon erahnen lässt, konvergiert $(u_{\epsilon}')_{\epsilon > 0}$ nicht gleichmäßig (im Punkt $x = 0$ geht etwas schief), sonst könnte man das von dir zitierte Resultat anwenden. Es gilt aber nach wie vor für $x \in [-1,1]$ \[u_{\epsilon}(x) = u_{\epsilon}(x)-u_{\epsilon}(-1) = \int_{-1}^x u_{\epsilon}'(t) \, dt = \int_{[-1,1]} 1_{[-1,x]}(t) u_{\epsilon}'(t) \, d\lambda(t).\] Man überlegt sich nun, dass $u_{\epsilon}' \to -\operatorname{sgn}$ in $L^1[-1,1]$. Damit hat man für $x \in [-1,1]$ dann die gleichmäßige Konvergenz \[u_{\epsilon}(x) \to - \int_{[-1,1]} 1_{[-1,x]}(t) \operatorname{sgn}(t) \, d\lambda(t) = - \int_{-1}^x \operatorname{sgn}(t) \, dt = 1-|x|.\] Als allgemeines (wenn auch nicht maximal allgemeines) Resultat formuliert verwendet man hier also etwa: Sei $(f_n)_n$ eine Folge in $C^1[a,b]$ mit $a,b \in \mathbb{R}$ und $a < b$. Konvergiert $(f_n)_n$ in einem Punkt $x_0 \in [a,b]$ und konvergiert die Folge der Ableitungen $(f_n')_n$ in $L^1[a,b]$, so konvergiert $(f_n)_n$ gleichmäßig für $x \in [a,b]$ gemäß \[f_n(x) \to \begin{cases} \lim_n f_n(x_0) - \int_{[x,x_0]} \lim_n f_n' \, d\lambda, \, x \le x_0, \\ \lim_n f_n(x_0) + \int_{[x_0,x]} \lim_n f_n' \, d\lambda, \, x > x_0. \end{cases}\] LG, semasch


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mathematikerlein
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-05

Hi semasch, Danke dir erneut für deine Antwort! Eigentlich sollte es doch auch so funktionieren: Da $u'_\epsilon$ offenbar beschränkt ist (und zwar für bel. $\epsilon >0$ und $x\in[-1,1]$), ergibt sich mit dem Mittelwertsatz (Schrankensatz) sofort die gleichgradige Stetigkeit von $(u_\epsilon)_{\epsilon >0}$, die gleichmäßige Beschränktheit ist offensichtlich (bzw. sollte die auch aus der punktweise Konvergenz folgen, wenn ich keinen Denkfehler habe?). Damit liefert Arzela-Ascoli eine von $u_\epsilon$ gleichmäßig konvergente Teilfolge, wobei dieser gleichmäßige Grenzwert mit dem punktweisen übereinstimmt. Da wir in allen Punkten die punktweise Konvergenz haben, gilt somit für die ganze Familie $u_\epsilon$, dass diese gleichmäßig konvergiert (andernfalls ergibt sich ein Widerspruch). Ist dies korrekt so oder übersehe ich etwas? Grüße!


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semasch
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-06

\quoteon(2022-05-05 21:33 - mathematikerlein in Beitrag No. 4) Eigentlich sollte es doch auch so funktionieren: Da $u'_\epsilon$ offenbar beschränkt ist (und zwar für bel. $\epsilon >0$ und $x\in[-1,1]$), ergibt sich mit dem Mittelwertsatz (Schrankensatz) sofort die gleichgradige Stetigkeit von $(u_\epsilon)_{\epsilon >0}$, \quoteoff Hierfür braucht es die gleichmäßige Beschränktheit der $u_{\epsilon}'$, was du vielleicht aber ohnehin so gemeint hast. \quoteon(2022-05-05 21:33 - mathematikerlein in Beitrag No. 4) die gleichmäßige Beschränktheit ist offensichtlich (bzw. sollte die auch aus der punktweise Konvergenz folgen, wenn ich keinen Denkfehler habe?). \quoteoff Arzela-Ascoli braucht nur punktweise, keine gleichmäßige Beschränktheit. Erstere folgt aus der punktweisen Konvergenz, Letztere jedoch nicht, wie die punktweise gegen die konstante Nullfunktion auf $[0,1]$ konvergente Folge $(f_n)_n$ mit \[f_n(x) := \begin{cases} n^2 x, \, 0 \le x \le \frac{1}{n}, \\ 2n - n^2 x, \, \frac{1}{n} < x \le \frac{2}{n}, \\ 0, \, \frac{2}{n} < x \le 1. \end{cases} \tag{1}\] zeigt. \quoteon(2022-05-05 21:33 - mathematikerlein in Beitrag No. 4) Damit liefert Arzela-Ascoli eine von $u_\epsilon$ gleichmäßig konvergente Teilfolge, wobei dieser gleichmäßige Grenzwert mit dem punktweisen übereinstimmt. Da wir in allen Punkten die punktweise Konvergenz haben, gilt somit für die ganze Familie $u_\epsilon$, dass diese gleichmäßig konvergiert (andernfalls ergibt sich ein Widerspruch). \quoteoff Punktweise Konvergenz einer Folge (bzw. hier allgemeiner eines Netzes) und gleichmäßige Konvergenz einer Teilfolge implizieren nicht automatisch gleichmäßige Konvergenz der ganzen Folge. Ein Gegenbeispiel ist die Folge $(g_n)_n$ auf $[0,1]$ mit $g_n := 0$ für ungerades $n$ und $g_n := f_n$ (siehe $(1)$) für gerades $n$. Es gilt $g_{2n-1} \to 0$ gleichmäßig und $g_n \to 0$ punktweise, aber nicht $g_n \to 0$ gleichmäßig. LG, semasch


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-06

Hi semasch, Danke ein letztes mal für deine Antwort! Da mir in diesem Fall ohnehin die gleichmäßige Konvergenz einer Teilfolge (bzw. Teilfamilie oder des Teilnetzes, wie du es nennst) reicht, hake ich die Frage damit ab. Grüße! P.S.: In dem Fall sollte trotzdem die ganze Familie gleichmäßig konvergieren (da die ganze Familie gleichgradig stetig ist). Angenommen dies wäre nicht der Fall - dann würde es eine Teilfamilie geben, die nicht gleichmäßig konvergiert und auf die könnten wir nochmals Arzela-Ascoli anwenden (also besitzt jede Teilfolge wieder eine gleichmäßig konvergente Teilfolge und wegen der punktweisen Konvergenz muss dieser Grenzwert immer der selbe sein) und erhalten einen Widerspruch! (Wenn ich da gerade keinen Denkfehler habe)


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