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Lineare Algebra » Vektorräume » Additive Gruppe eines Vektorraums über {0,1}?
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Universität/Hochschule J Additive Gruppe eines Vektorraums über {0,1}?
jonah
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  Themenstart: 2022-05-11

Hallo, ich versuche mich gerade an einer Aufgabe und frage mich, was mit der Aufgabenstellung gemeint ist. Um folgende Aufgabe geht es: Von einer endlichen Gruppe G sei bekannt, dass jedes Element a!=e Ordnung 2 hat. a) Zeigen Sie, dass G automatisch abelsch ist. b) Zeigen Sie weiterhin, dass man G so mit einer Skalarmultiplikation mit dem Körper {0,1} aus zwei Elementen versehen kann, dass G zur additiven Gruppe eines Vektorraums über {0,1} wird. c) Folgern Sie insbesondere, dass G von Zweierpotenzordnung sein muss. Teil a ist ja einfach und habe ich bereits gelöst, aber Teil b verstehe ich nicht. Was ist mit einer „Gruppe eines Vektorraums“ gemeint? Eine Gruppe von Vektorräumen? Eine Gruppe, die gleichzeitig ein Vektorraum ist? Für eine Erklärung oder für Tipps / Ansätze wäre ich sehr dankbar!


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-11

Jeder Vektorraum $(V,+,\cdot)$ hat eine zugrunde liegende additive Gruppe $(V,+)$. Bei b) ist also zu zeigen, dass du für jede (hier additiv geschriebene) Gruppe $(G,+)$ mit der Voraussetzung (also $2g=0$ für alle $g \in G$) eine Skalarmultiplikation $\cdot : \IF_2 \times G \to G$ finden kannst, sodass $(G,+,\cdot)$ ein $\IF_2$-Vektorraum ist.


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jonah
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-11

Ahh, das macht Sinn, danke. Ich habe jetzt also die Skalarmultiplikation mit K={0,1} definiert als: * : {0,1}\cross\ G->G, (0,a)|->e, (1,a)|->a Dann habe ich die folgenden 4 Eigenschaften geprüft: 1) 1a=a \forall\ a\el\ G 2) (\lambda\mue)a = \lambda(\mue*a) \forall\ \lambda,\mue\el\ K, a\el\ G 3) \lambda(a+b)=\lambda*a+\lambda*b \forall\ \lambda\el\ K, a,b\el\ G 4) (\lambda+\mue)a=\lambda*a+\mue*a \forall\ \lambda,\mue\el\ K, a\el\ G Und weil man zeigen kann, dass diese stimmen, ist damit also (G,+,*) ein {0,1}-Vektorraum, richtig? Und wenn ja, wie kann man daraus schließen, dass G 2^n Elemente hat? Wo muss ich da ansetzen?


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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-13

Aus der linearen Algebra weißt du, dass jeder $n$-dimensionale $\IK$-Vektorraum zu $\IK^n$ isomorph ist.


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jonah
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-13

Tut mir leid, aber irgendwie hilft mir das nicht weiter. Soll ich eine Basis bestimmen oder wie gehe ich am besten vor?


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-13

Nein, höchstens eine Basis auswählen. Hier braucht man nur die Dimension. Ein $n$-dimenionaler $\IK$-Vektorraum ist wie gesagt zu $\IK^n$ isomorph. Wieviele Elemente hat er also, wenn $\IK$ ein endlicher Körper ist? (Erinnerung: die Aufgabe besteht darin, etwas über die Anzahl der Elemente herauszufinden.)


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jonah
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-13

Ahhh, ich stand auf‘m Schlauch, tut mir leid. Jetzt hab ich’s, danke für deine Hilfe!


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