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Analysis » Maßtheorie » Erzeuger von Sigma-Algebren
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Universität/Hochschule J Erzeuger von Sigma-Algebren
allesmathe
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  Themenstart: 2022-05-12

Hallo ! Ich gehe gerade ein Buch zur Wahrscheinlichkeitstheorie durch und habe dabei als "Nicht-Mathematiker" etwas Schwierigkeiten. Bei einer Stelle stecke ich nun total und komme auch nach längerem Nachdenken nicht dahinter. In dem Buch stehen folgenden Bemerkungen zu einer erzeugten Sigma-Algebra und ihrem Erzeuger: (i) \(\epsilon \subset \sigma(\epsilon) \) (ii) Gilt \(\epsilon_1 \subset \epsilon_2 \), dann gilt \(\sigma(\epsilon_1) \subset \sigma(\epsilon_2) \) (iii) A ist genau dann Sigma-Algebra, wenn \(\sigma(A)=A\) Nun geht es darum zu zeigen, dass bestimmte Mengensysteme die Borel'sche Sigma-Algebra von \(R^n\) erzeugen. Und es werden unter anderem folgende Mengensysteme definiert: \(\epsilon_1 = \{A \subset R^n : \text{A ist offen }\} \) und \(\epsilon_2 = \{A \subset R^n : \text{A ist geschlossen} \} \). Beim Beweis, dass Epsilon 1 und Epsilon 2 beide Erzeuger sind, kommt man darauf, dass gilt \(\epsilon_1 \subset \sigma(\epsilon_2)\) und es steht, dass daraus aus den obigen Bedingungen folgt, dass \(\sigma(\epsilon_1) \subset \sigma(\epsilon_2)\). Warum folgt das daraus? Ich kann nicht erkennen, aus welcher der drei Bedingungen ableiten kann. Könnte mir da jemand bitte behilflich sein? Vielen Dank im Voraus !👍 allesmathe


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-12

\quoteon(2022-05-12 16:31 - allesmathe im Themenstart) ... (i) \(\epsilon \subset \sigma(\epsilon) \) (ii) Gilt \(\epsilon_1 \subset \epsilon_2 \), dann gilt \(\sigma(\epsilon_1) \subset \sigma(\epsilon_2) \) (iii) A ist genau dann Sigma-Algebra, wenn \(\sigma(A)=A\) ... Beim Beweis, dass Epsilon 1 und Epsilon 2 beide Erzeuger sind, kommt man darauf, dass gilt \(\epsilon_1 \subset \sigma(\epsilon_2)\) und es steht, dass daraus aus den obigen Bedingungen folgt, dass \(\sigma(\epsilon_1) \subset \sigma(\epsilon_2)\). Warum folgt das daraus? \quoteoff Hallo allesmathe, willkommen auf dem Matheplaneten! Da \(\epsilon_1 \subset \sigma(\epsilon_2)\), folgt aus (ii), dass \(\sigma(\epsilon_1) \subset \sigma(\sigma(\epsilon_2))\). Da \(\sigma(\epsilon_2)\) eine Sigma-Algebra ist, folgt nach (iii), dass \(\sigma(\sigma(\epsilon_2))=\sigma(\epsilon_2)\). Insgesamt also \(\sigma(\epsilon_1) \subset \sigma(\epsilon_2)\).


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allesmathe
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-12

Ach so, das ergibt natürlich Sinn. Jetzt ist es mir klar.👍 Danke StrgAltEntf!


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-14

Der Beweis von StrgAltEntf ist zwar richtig, aber nicht optimal, weil man die Aussage auch direkt aus der Definition von $\sigma(-)$ ableiten kann (die ja auch in den Beweis von (ii) und (iii) eingeht). Per Definition ist $\sigma(A)$ die kleinste $\sigma$-Algebra mit $A \subseteq \sigma(A)$. Und das bedeutet per Definition (siehe Wiki/Kleinstes Element), dass 1) $\sigma(A)$ eine $\sigma$-Algebra mit $A \subseteq \sigma(A)$ ist, 2) für jede $\sigma$-Algebra $B$ mit $A \subseteq B$ bereits $\sigma(A) \subseteq B$ gilt. Diese Definition sollte man natürlich immer parat haben, wenn man über $\sigma(A)$ spricht. Aus $\epsilon_1 \subseteq \sigma(\epsilon_2)$ folgt also unmittelbar aus der Definition von $\sigma(\epsilon_1)$ und der Tatsache, dass $\sigma(\epsilon_2)$ per Definition eine $\sigma$-Algebra ist, dass $\sigma(\epsilon_1) \subseteq \sigma(\epsilon_2)$. Mehr zu diesem Thema: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1936


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allesmathe
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Ah, das ist natürlich auch einleuchtend! Danke.👍


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