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Lineare Algebra » Vektorräume » Warum sind diese beiden Vektorräume nicht gleich?
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Universität/Hochschule J Warum sind diese beiden Vektorräume nicht gleich?
Liszt
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  Themenstart: 2022-05-14

Sei $V$ ein beliebiger Vektorraum und $\{W_i\}_{i \in I}$ eine Kollektion beliebiger Vektorräume. Man betrachte $$V \otimes_{K}\left(\bigoplus_{i \in I} W_{i}\right) $$ und $$\bigoplus_{i \in I}^{} \left(V \otimes_{K} W_{i}\right)$$ wobei $K$ hier den Körper, mit welchem gearbeitet wird, bezeichnet. Die beiden Vektorräume sind sicherlich isomorph, aber ich verstehe nicht genau, warum sie nicht gleich sind. Kann mir jemand ein Beispielelement nennen, was in dem einen Vektorraum liegt, jedoch nicht in dem anderen?


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-14

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, warum sind die beiden Mengen $A\times (B\times C)$ und $(A\times B)\times C$ im Allgemeinen nicht gleich? LG Nico\(\endgroup\)


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Liszt
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14

\quoteon(2022-05-14 23:04 - nzimme10 in Beitrag No. 1) Hallo, warum sind die beiden Mengen $A\times (B\times C)$ und $(A\times B)\times C$ nicht gleich? LG Nico \quoteoff Aber ich meine z.B. wenn $\mathbf{v}\in V$ und $\mathbf{w}\in \bigoplus_{i \in I}^{} W_{i}$ dann gilt $$ \mathbf{w} = \sum_{i \in N}^{} \mathbf{w}_{i}, \quad \mathbf{w}_{i} \in W_{i} $$ für eine endliche Menge $N$ und somit $$ \mathbf{v}\otimes \mathbf{w} = \mathbf{v}\otimes \!\left( \sum_{i \in N}^{}\mathbf{w}_{i} \right) = \sum_{i \in N}^{} \mathbf{v}\otimes \mathbf{w}_{i}\in \bigoplus_{i \in I}^{} ( V\otimes _{K}W_{i}) $$ oder wo liegt hier mein Denkfehler?


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-14

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, die Elemente der direkten Summe $\bigoplus_{i\in I} W_i$ sind Familien $(w_i)_{i\in I}$ mit $w_i\in W_i$. Wenn du diese Elemente als Summe darstellst, dann hast du implizit schon einen Isomorphismus benutzt. Edit: In Anbetracht von Triceratops Beitrag weiter unten, sollte ich diese Formulierung berichtigen. Was ich gemeint habe ist, dass man die Elemente der direkten Summe nicht als Summe von Elementen der Vektorräume $W_i$ schreiben kann. Man kann die Elemente an sich aber durchaus als Summe schreiben - nur eben nicht als Summe von irgendwelchen $w_i\in W_i$. LG Nico\(\endgroup\)


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Liszt
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14

\quoteon(2022-05-14 23:13 - nzimme10 in Beitrag No. 3) Hallo, die Elemente der direkten Summe $\bigoplus_{i\in I} W_i$ sind Familien $(w_i)_{i\in I}$ mit $w_i\in W_i$. Wenn du diese Elemente als Summe darstellst, dann hast du implizit schon einen Isomorphismus benutzt. LG Nico \quoteoff Achso, da habe ich wohl eine Definition missverstanden. Ich dachte nämlich $$ \bigoplus_{i \in I}^{} W_{i} = \left\{ \sum_{i \in N}^{} \mathbf{w}_{i}\mid N\subseteq I, \;|N|< \infty\right\}. $$ Ok ich habe jetzt bei Wikipedia nachgeschaut, dass stimmt ja gänzlich nicht, was ich im Kopf hatte. Vielen Dank für die schnelle Antwort!


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-14

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Naja, die Summe ergibt so zunächst nur Sinn, wenn die Vektorräume $W_i$ alle in einem gemeinsamen Vektorraum $W$ enthalten sind. Ansonsten kann man die Summe nur rein formal verstehen. Typischerweise würde man denke ich eher folgende Definition geben: $$ \bigoplus_{i\in I} W_i:=\lbrace (w_i)_{i\in I} \mid w_i\in W_i, \, w_i\neq 0_{W_i} \text{ für höchstens endlich viele } i\in I\rbrace $$ zusammen mit den komponentenweisen Verknüpfungen. LG Nico\(\endgroup\)


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Triceratops
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-14

Was Nico geschrieben hat, ist nur zur Hälfte richtig. Man kann natürlich jedes Element der direkten Summe als eine Summe schreiben. Seien dazu $\iota_i : W_i \to \bigoplus_{i \in I} W_i$ die natürlichen Einbettungen. Dann hat jedes Element der direkten Summe die Summendarstellung $w = \sum_{i \in I} \iota_i(w_i)$ mit gewissen Elementen $w_i \in W_i$, die fast alle $0$ sind. Im Tensorprodukt $V \otimes \bigoplus_{i \in I} W_i$ haben wir daher auch $v \otimes w = \sum_{i \in I} (w \otimes \iota_i(w_i)).$ Beachte, dass das kein Element von $\bigoplus_{i \in I} (V \otimes W_i)$ ist. Auch hier ist es wieder hilfreich, die natürlichen Einbettungen $\kappa_i : V \otimes W_i \to \bigoplus_{i \in I} (V \otimes W_i)$ zu verwenden. Das Bild von $v \otimes w$ in $\bigoplus_{i \in I} (V \otimes W_i)$ ist dann gerade $\sum_{i \in I} \kappa_i(v \otimes w_i).$ Beachte wie gesagt, dass $w \otimes \iota_i(w_i)$ etwas völlig anderes als $\kappa_i(v \otimes w_i)$ ist, zumal sich diese Vektoren in unterschiedlichen Vektorräumen befinden. Die Verwirrung hier resultierte daraus, dass du $\iota_i(x)=x$ und $\kappa_i(y)=y$ geschrieben hast, was zwar bei Einbettungen gängige Praxis ist, aber offenbar zu Fehlern führt (vgl. mein Post bei https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=253325&start=0#p1841823). Und noch ein allgemeiner Hinweis: Von einem strukturellen Standpunkt aus betrachtet ergibt es keinen Sinn, danach zu fragen, ob zwei voneinander isolierte Vektorräume gleich sind. Zwar ist die Frage sinnvoll, ob für einen Unterraum $U \subseteq V$ die Gleichung $U=V$ gilt, aber eben nicht, ob für zwei isolierte Vektorräume $V,W$ die Gleichung $V=W$ gilt. Der richtige strukturelle Begriff von "Gleichheit" ist Isomorphie. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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