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  Potenzreihe mit rationalen Koeffizienten |
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kleinerriemann
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 |  Themenstart: 2022-05-22
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Hallo Leute,
existiert eine reelle Potenzreihe P(x) mit rationalen Koeffizienten der Form:
\
P(x)=sum(a_k (x-b)^k,k=0,\inf) , a_k\el\ \IQ , b\el\IN_0 und x\el\ \IR,
wobei die Eulerzahl x=e eine Nullstelle dieser Potenzreihe ist?
Wegen der Transzendenz von e (und um die triviale 'Potenzreihe' P=0 auszuschließen) sollen unendlich viele Koeffizienten verschieden von 0 sein.
Für andere transzendente Zahlen wie \pi oder \ln(2) ist dies möglich, da die Taylorentwicklung von \sin(x) bzw. \exp(x)-2 eine solche Potenzreihe darstellt.
Für \1-ln(x) sind zwar die Koeffizienten der Taylorentwicklung um b=1 rational, aber sie konvergiert nicht für x=e.
Kann man zeigen, dass keine solche Potenzreihe für e existiert?
Grüße
kleinerriemann
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-22
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Ja, $P = 0$ ist ein Beispiel.
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kleinerriemann
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-22
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\quoteon(2022-05-22 17:01 - Triceratops in Beitrag No. 1)
Ja, $P = 0$ ist ein Beispiel.
\quoteoff
Um Kinski zu zitieren:
Nirgends spricht man mit Genies, aber ich meine gut...die hatten ja wenigstens Humor.
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-22
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Deine Antwort verstehe ich nicht.
Ich nehme einmal an, dass du $P \neq 0$ als Voraussetzung ergänzen möchtest. Wenn das so ist, wäre es gut (auch für die anderen Mitlesenden) das im Startbeitrag entsprechend zu schreiben.
Vielleicht fehlen aber noch andere Voraussetzungen, die du machen möchtest. Du hast zum Beispiel geschrieben, dass dir der Konvergenzradius von $1 - \ln(x)$ zu klein ist. Was soll das bedeuten? Soll deine gesuchte Potenzreihe auch Eigenschaften bezüglich des Konvergenzradius besitzen? Wenn ja, welche? Bitte ergänze sie im Startbeitrag.
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kleinerriemann
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-25
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\quoteon(2022-05-22 19:53 - Triceratops in Beitrag No. 3)
Deine Antwort verstehe ich nicht.
Ich nehme einmal an, dass du $P \neq 0$ als Voraussetzung ergänzen möchtest. Wenn das so ist, wäre es gut (auch für die anderen Mitlesenden) das im Startbeitrag entsprechend zu schreiben.
Vielleicht fehlen aber noch andere Voraussetzungen, die du machen möchtest. Du hast zum Beispiel geschrieben, dass dir der Konvergenzradius von $1 - \ln(x)$ zu klein ist. Was soll das bedeuten? Soll deine gesuchte Potenzreihe auch Eigenschaften bezüglich des Konvergenzradius besitzen? Wenn ja, welche? Bitte ergänze sie im Startbeitrag.
\quoteoff
Hallo Triceratops,
ich habe noch (hoffe ich) sinnvolle Voraussetzung im Startbeitrag ergänzt.
Ich dachte erst, du wolltest mir mit P=0 auf merkwürdige Art zu verstehen
geben, dass du die Frage naiv findest. Nix für ungut!
Die etwas allgemeinere Frage, die mich zu dem Beitrag bewegte, ist,
ob für jede reelle Zahl y eine Potenzreihe \( P !=0 )
P(x)=sum(a_k (x-b)^k,k=0,\N) , a_k\el\IQ , b\el\IN_0 und x\el\IR
und ein \N\el\ \IN\union\ {\inf} existiert, für die P(y)=0 ist.
Gruß
kleinerriemann
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Triceratops
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-25
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Für $e^{-1}$ geht es schon einmal (hier benutze man $|e^{-1} - 1| < 1$):
$\displaystyle -1 = \ln(e^{-1})=\ln(1+(e^{-1}-1))= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} (e^{-1}-1)^k.$
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Nuramon
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Man kann rekursiv solche Reihen finden:
Sei $y\not=0$ (für $y=0$ könnte man z.B. $\sin(x)$ nehmen).
Definiere $a_0:=1$ und wähle für $n\geq 1$ dann $a_n\in \IQ\setminus\{0\}$, sodass $|\sum_{k=0}^n a_ky^k| < \frac 1n$. Das ist immer möglich, da $\IQ$ dicht in $\IR$ ist und man daher $a_n$ nahe genug bei $-\frac 1{y^n}\sum_{k=0}^{n-1}a_ky^k$ wählen kann.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]\(\endgroup\)
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kleinerriemann
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-25
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\quoteon(2022-05-25 14:43 - Triceratops in Beitrag No. 5)
Für $e^{-1}$ geht es schon einmal (hier benutze man $|e^{-1} - 1| < 1$):
$\displaystyle -1 = \ln(e^{-1})=\ln(1+(e^{-1}-1))= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} (e^{-1}-1)^k.$
\quoteoff
Ok, es scheint tatsächlich einige transzendente Zahlen zu geben, wo dies tatsächlich möglich ist:
\
{ k*\pi \forall\ k\el \IZ ; ln(n) \forall\ n\el \IN ; e^(-n) \forall\ n\el\IN_0 }
Gruß
kleinerriemann
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Triceratops
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-25
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Nuramon hat oben gezeigt, dass es für jede reelle Zahl möglich ist.
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kleinerriemann
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27
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\quoteon(2022-05-25 18:24 - Triceratops in Beitrag No. 8)
Nuramon hat oben gezeigt, dass es für jede reelle Zahl möglich ist.
\quoteoff
Hallo Nuramon,
ich hatte auch über diese Möglichkeit nachgedacht. Ich war mir allerdings nicht sicher, ob für jeden neuen Summanden der Potenzreihe eine rationale Zahl existiert, so dass die Reihe gegen 0 konvergiert. Da jede reelle Zahl ein Häufungspunkt in \IQ ist, klappt das, wie du gezeigt hast.
Die Taylorkoeffizienten
\
c_k=1/k!
ergeben eine Zahlenfolge, die durch eine stetige Funktion (hier: 1/\Gamma(k+1) ) auf den Bereich der reellen Zahlen ausgedehnt werden kann.
Ist dies bei der rekursiven Methode ebenfalls möglich?
Gruß
kleinerriemann
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Nuramon
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| Beitrag No.10, eingetragen 2022-05-27
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
\quoteon(2022-05-27 19:17 - kleinerriemann in Beitrag No. 9)
Die Taylorkoeffizienten
\
c_k=1/k!
ergeben eine Zahlenfolge, die durch eine stetige Funktion(hier: 1/\Gamma(k+1) ) auf den Bereich der reellen Zahlen ausgedehnt werden kann.
Ist dies bei der rekursiven Methode ebenfalls möglich?
Gruß
kleinerriemann
\quoteoff
Ich verstehe die Frage nicht. Was hat die Folge $c_k$ mit der Fragestellung aus dem Themenstart bzw. mit No.6 zu tun?\(\endgroup\)
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kleinerriemann
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-31
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Ist nicht so wichtig. Ich danke dir für deine Hilfe!
Danke auch an Triceratops. 👍
Grüße
kleinerriemann
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kleinerriemann hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
kleinerriemann hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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