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Analysis » Funktionalanalysis » Eigenschaften des Multiplikationsoperators nach L^2
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Universität/Hochschule J Eigenschaften des Multiplikationsoperators nach L^2
Schnubelub
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  Themenstart: 2022-05-25

Hallo, ich stecke gerade bei folgender Übungsaufgabe: Sei $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ ein sigma-endlicher Maßraum. Sei $h:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ messbar. Definiere $L^2:=L^2(\Omega,\mathcal{A},\mu,\mathbb{C})$. Sei $D_h:=\{f\in L^2: h\cdot f\in L^2\}$ und $M_h:D_h\rightarrow L^2, M_hf:=h\cdot f$ Ich muss zeigen, dass folgende 3 Aussagen äquivalent sind: 1.) $h\in L^\infty$ 2.) $D_h=L^2$ und $M_h$ beschränkter Operator auf $L^2$ 3.) $D_h=L^2$ Trivialerweise folgt 2.) aus 3.) und 1.) -> 2.) ist auch recht einfach. Ich habe mit dem Satz vom abgeschlossenen Graphen und etwas Maßtheorie auch schon 3.) -> 2.) zeigen können. Also würde nur noch die Implikation 2.) -> 1.) fehlen. Hier stehe ich leider am Schlauch. Ich vermute, man muss hier irgendwie benutzen, dass $L^2$ ein Hilbertraum ist und der Maßraum sigma-endlich ist. Habe probiert mit der Reflexivität von $L^2$ etwas zu zeigen, bin aber nicht weitergekommen. Hat vielleicht jemand einen Tipp wie man das angehen könnte? Bin über alle Hinweise dankbar! LG


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Schnubelub
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-25

Habe das Problem gerade selber gelöst. Möchte zur Vollständigkeit einen groben Beweis angeben: Wir wollen aus der Tatsache, dass $D_h=L^2$ und $M_h$ beschränkter Operator auf $L^2$ schließen, dass $h\in L^\infty$. Beweis durch Widerspruch: Angenommen $||h||_\infty=+\infty$. Das heißt für alle $n\in\mathbb{N}$ existiert ein $M_n\in\mathcal{A}$ mit $\mu(M_n)\in (0,+\infty]$, sodass $|h(x)|>n$ für alle $x\in M_n$. Da $\mu$ sigma-endlich können wir o.B.d.A annehmen, dass $\mu(M_n)\in (0,+\infty)$. Wir definieren $f_n:=\frac{1}{\mu(M_n)^{1/2}}\chi_{M_n}$. Da $||f_n||_2=1$ sind alle $f_n$ in $L^2$. Eine kurze Rechnung ergibt $||h\cdot f_n||_2>n$. Da nach Voraussetzung $M_h$ beschänkt, existiert ein $C>0$, sodass $||h\cdot f||_2\leq C\cdot ||f||_2$ für alle $f\in L^2$. Wenn wir N>C wählen, erhalten wir den Widerspruch $||h\cdot f_N||_2>N>C=C\cdot ||f_N||_2$


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