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  Koordinatendarstellung eines Differentials |
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Pathfinder
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 |  Themenstart: 2022-05-25
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Hallo,
ich verstehe leider hier nicht, was ich berechnen soll:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54565_diff.png
Was wäre hier der erste Schritt den ich tun muss?
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nzimme10
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
sei $n\in \mathbb N$ die Dimension von $M$. Wenn du eine Karte $(U,\phi)$ gegeben hast, dann sei $r^i\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ die Projektion auf die $i$-te Koordinate eines Punktes im $\mathbb R^n$. Setze dann $x^i\colon U\to \mathbb R, \ x^i(p)=(r^i\circ \phi)(p)$.
Für $p\in U$ ist $\mathrm df_p\colon T_pM\to T_{f(p)}\mathbb R$ eine lineare Abbildung. Mit den lokalen Koordinaten $x^1,\dots,x^n$ findest du dann eine Basis von $T_pM$ und eine Basis von $T_{f(p)}\mathbb R$. Bezüglich diesen Basen sollst du $\mathrm df_p$ durch eine Matrix beschreiben.
Du könntest es auch so sehen, dass $\mathrm df_p$ ein Element des Kotangentialraums $T^*_pM$ ist. Mit Hilfe der gefunden Basis für $T_pM$ könntest du $\mathrm df_p$ auch in der dazu dualen Basis für $T^*_pM$ darstellen.
LG Nico\(\endgroup\)
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nzimme10
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| Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-26
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Wenn dir das am Anfang zu kompliziert ist, dann hindert dich niemand daran, zunächst den Fall $M=\mathbb R^n$ mit der Karte $(\mathbb R^n,\opn{id}_{\mathbb R^n})$ zu betrachten. Dann sind die oben beschriebenen lokalen Koordinaten sogar globale Koordinaten - eben gerade die bekannten kartesischen Koordinaten.
LG Nico\(\endgroup\)
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Pathfinder
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-26
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\quoteon(2022-05-25 14:28 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Hallo,
sei $n\in \mathbb N$ die Dimension von $M$. Wenn du eine Karte $(U,\phi)$ gegeben hast, dann sei $r^i\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ die Projektion auf die $i$-te Koordinate eines Punktes im $\mathbb R^n$. Setze dann $x^i\colon U\to \mathbb R, \ x^i(p)=(r^i\circ \phi)(p)$.
Für $p\in U$ ist $\mathrm df_p\colon T_pM\to T_{f(p)}\mathbb R$ eine lineare Abbildung. Mit den lokalen Koordinaten $x^1,\dots,x^n$ findest du dann eine Basis von $T_pM$ und eine Basis von $T_{f(p)}\mathbb R$. Bezüglich diesen Basen sollst du $\mathrm df_p$ durch eine Matrix beschreiben.
Du könntest es auch so sehen, dass $\mathrm df_p$ ein Element des Kotangentialraums $T^*_pM$ ist. Mit Hilfe der gefunden Basis für $T_pM$ könntest du $\mathrm df_p$ auch in der dazu dualen Basis für $T^*_pM$ darstellen.
LG Nico
\quoteoff
Okay danke
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Pathfinder
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-26
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\quoteon(2022-05-26 12:44 - nzimme10 in Beitrag No. 2)
Wenn dir das am Anfang zu kompliziert ist, dann hindert dich niemand daran, zunächst den Fall $M=\mathbb R^n$ mit der Karte $(\mathbb R^n,\opn{id}_{\mathbb R^n})$ zu betrachten. Dann sind die oben beschriebenen lokalen Koordinaten sogar globale Koordinaten - eben gerade die bekannten kartesischen Koordinaten.
LG Nico
\quoteoff
Ich werde mit den Definitionen jetzt mal rumprobieren
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Pathfinder hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Pathfinder hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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