Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Holomorphie » analytische Funktion, Nullstellenmenge diskret
Autor
Universität/Hochschule J analytische Funktion, Nullstellenmenge diskret
l4r5
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.10.2021
Mitteilungen: 11
  Themenstart: 2022-05-25

Hallo!! Unser Prof hat uns einige Aufgaben zur Übung gegeben und wir kommen bei dieser hier einfach nicht weiter: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55045_analytische_funktion_nullstellenmenge_diskret.png Wir haben uns einige Bildchen dazu gemalt und auch versucht die Aufgabe zu widerlegen, um so rauszubekommen, wie wir das beweisen können. Haben so ganz gut verstanden, wieso die Aussage hält, aber leider immer noch keine Ahnung wie wir das jetzt allgemein zeigen. Hier mal unsere Gedanken zusammengefasst: Tendenziell können wir ja annehmen, dass für ein x0 ∈ N gilt (x0 - ε, x0 + ε) ⊆ N, weil N ja eben nicht diskret ist. Und dann wäre der nächste Schritt zu zeigen, dass es eben keine analytische Funktion gibt, für die f(x) = 0 für alle x ∈ (x - ε, x + ε) aber f ≠ 0 gilt. Das sagt uns ja der Teil mit der Taylor-Approximation. Nur wie zeigen wir dieses "Taylor sagt das geht nicht"?


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1438
Wohnort: Köln
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, dahinter steckt eine sehr allgemeine Aussage der Funktionentheorie. Der relevante Satz ist der so genannte Identitätssatz. Wenn die Nullstellenmenge von $f$ nicht diskret ist, dann hat sie einen Häufungspunkt. Sei also $x_0\in N$ ein Häufungspunkt der Menge $N$. In einer Umgebung von $x_0$ gilt nun $$ f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n. $$ Sei nun $(a_k)_{k\in \mathbb N}$ eine Folge in $N$ mit $a_k\neq x_0$ für alle $k\in \mathbb N$ und $a_k\to x_0$ für $k\to \infty$ (warum gibt es solch eine Folge?). Überlege dir nun, dass daraus $f^{(n)}(x_0)=0$ für alle $n\in \mathbb N$ folgt. Betrachte anschließend die Menge $$ Z:=\bigcap_{n\in \mathbb N} \lbrace x\in I\mid f^{(n)}(x)=0\rbrace $$ und zeige, dass die abgeschlossen ist. Zeige außerdem, dass $Z$ offen ist. Dann folgt $Z=I$ und somit insbesondere $f(x)=0$ für alle $x\in I$, also $f\equiv 0$. LG Nico\(\endgroup\)


   Profil
l4r5
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.10.2021
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-25

Wir hatten diesen Satz noch nicht. Habe eben mal unser Skript durchforstet. Wir sind noch in der "ganz normalen Analysis 2". Weiß also nicht ganz, ob ich das mal so benutzen darf, oder ob ich es benutzen dürfte, wenn ich nebenbei noch besagten Identitätssatz beweise :p Ansonsten aber schon mal danke! Das würde echt geholfen haben!!


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1438
Wohnort: Köln
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-25

Hallo, ich habe den Satz auch nicht verwendet, sondern wollte nur die Zusatzinformation geben, wie der Satz (dessen Aussage im Prinzip genau eure Aufgabe ist) heißt. Ich habe dir doch einen Beweisvorschlag bzw. eine Beweisskizze vorgeschlagen. So könnte man das z.B. beweisen. LG Nico


   Profil
l4r5
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.10.2021
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-25

Halt Stop, Moment. Ich bin doof, habe den Satz eben doch gefunden. Hat sich somit geklärt. Versuchen jetzt mal mit den Tipps weiterzukommen. Glaube aber, das läuft jetzt dann. Danke für den Anstoß! [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1438
Wohnort: Köln
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-25

\quoteon(2022-05-25 15:11 - l4r5 in Beitrag No. 4) Halt Stop, Moment. Ich bin doof, habe den Satz eben doch gefunden. Hat sich somit geklärt. Versuchen jetzt mal mit den Tipps weiterzukommen. Glaube aber, das läuft jetzt dann. Danke für den Anstoß! [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.] \quoteoff Wenn ihr den Identitätssatz bereits habt, dann ist gar nichts zu zeigen, denn eure Aufgabe ist Teil der Aussage des Satzes. Wie gesagt, ich wollte nur mal erwähnen, dass die Aussage Teil eines bekannten Satzes der Funktionentheorie ist, mehr nicht. LG Nico


   Profil
l4r5 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
l4r5 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]