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Mathematik » Geometrie » Inellipse einer Raute
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Kein bestimmter Bereich Inellipse einer Raute
Wario
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  Themenstart: 2022-05-25

https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52997_28_555555.png Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch: Welche Ellipse mit den Halbachsen $a$ und $b$ kann einer Raute mit den Diagonalen $2p$ und $2q$ eingeschrieben werden? ----> Ich möchte $a$ und $b$ bestimmen. ·Für die Ellipse ist: $ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ·Für die durch Punktbezeichnungen hervorgehobene Rautenkante ist $ \dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1$ Wenn ich damit den Berührpunkt $T$ bzw. seine x-Koordinate $x_T$ berechne, komme ich auf die Beziehung $\dfrac{a^2}{p^2} + \dfrac{b^2}{q^2} = 1$. Was muss ich jetzt machen / sonst noch ausrechnen?


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gonz
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-25

Hallo Wario, ich denke, es gibt nicht nur eine, sondern beliebig viele Inellipsen, und insofern ist das, was du erwarten kannst, eben einen Zusammenhang zwischen den jeweiligen Halbachsen a und b, und den hast du ja auch ermittelt? Grüße gonz


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Nuramon
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Wie gonz geschrieben hat, gibt es mehrere Ellipsen. Für $p=q=1$ ist die Raute ein Quadrat und der Inkreis hat den Radius $\frac 1{\sqrt 2}$. Durch Streckung entlang der Achsen geht dieser Kreis bei allgemeinen $p,q$ über in die Ellipse $(\frac xp)^2 +(\frac yq)^2 = \frac 12$. Möglicherweise ist das die Ellipse, die Dich eigentlich interessiert?\(\endgroup\)


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Buri
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-25

\quoteon(2022-05-25 17:06 - gonz in Beitrag No. 1) es gibt nicht nur eine, sondern beliebig viele Inellipsen \quoteoff Hi, stimmt, ich habe mich geirrt. Gruß Buri


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Nuramon
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) \quoteon(2022-05-25 17:28 - Buri in Beitrag No. 3) \quoteon(2022-05-25 17:06 - gonz in Beitrag No. 1) es gibt nicht nur eine, sondern beliebig viele Inellipsen \quoteoff Hi, die Inellipse ist eindeutig bestimmt. Gruß Buri \quoteoff Wenn man mit einer sehr kleinen Ellipse um den Ursprung mit beliebigem Verhältnis von $a$ zu $b$ startet und diese dann "aufbläst", bis sie die Raute von innen berührt, erhält man eine Ellipse, die der Raute eingeschrieben ist. Ist Inellipse irgendwie anders definiert, damit es nur eine gibt?\(\endgroup\)


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Wario
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-25

Ja, das hilft mir weiter. $ \pgfmathsetmacro\p{5} \pgfmathsetmacro\q{3} \begin{tikzpicture}[] \coordinate[](O) at (0,0); \coordinate[](P1) at (\p,0); \coordinate[](P2) at (-\p,0); \coordinate[](Q1) at (0,\q); \coordinate[](Q2) at (0,-\q); \draw[dotted](P1) -- (P2); \draw[dotted](Q1) -- (Q2); \draw[local bounding box=raute](P1) -- (Q1) -- (P2) -- (Q2) --cycle; \foreach \k in {0.1,0.3,0.7, 0.9}{ \pgfmathsetmacro\a{\k*\p} \pgfmathsetmacro\b{sqrt(\q^2*(1-\a^2/\p^2))} \draw[local bounding box=ellipse, red](O) circle[x radius=\a, y radius=\b]; } %% Annotationen - Rechnung %\node[yshift=-\q cm, xshift=-\p cm, anchor=north west, %draw, align=left, fill=lightgray!50, %] at (raute) { %%a=\a \\ %%b=\b \\ %%p=\p \\ %%q=\q \\ %%s=\s \\ %%x0=\xN \\ %%y0=\yN \\ %%D=\D \\ %%Ds=\Ds \\ %%ttt=\ttt\\ %%$\begin{array}{l l} %%a = \a \text{ cm} & \\ %%b = \b \text{ cm} & (1) \\ %%c = \c \text{ cm} & (3) \\ \hline %%\alpha = \Alpha^\circ & (5) \\ %%\beta = \Beta^\circ & (4) \\ %%\gamma = \Gamma^\circ & (2) \\ \hline %%%\multicolumn{2}{l}{aaa} \\ %%\end{array}$ %}; \end{tikzpicture} $ PS: Eigentlich konstruiere ich sogar eine Raute zu einer gegebenen Ellipse (dazu an anderer Stelle mehr). Und da ist es zweckmäßig jene Raute zu verwenden, die von der Ellipse in den Seitenmitten berührt wird. Ich war nur der Meinung, dass es einfacher wird, wenn man die Raute vorgibt.


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haribo
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-25

\quoteon(2022-05-25 18:26 - Wario in Beitrag No. 5) Und da ist es zweckmäßig jene Raute zu verwenden, die von der Ellipse in den Seitenmitten berührt wird. \quoteoff seitenmitte der raute berührt die ellipse mit diesen halbachsen $a=\frac p{\sqrt 2}$ $b=\frac q{\sqrt 2}$


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Wario
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-25

Es geht um die Aufgabe:
Möglichst einfaches, näherungsweises Zeichnen einer gegebenen Ellipse, und zwar durch ein Oval, das aus 2·2=4 Kreisbögen besteht (also mit Zirkel und Lineal umsetzbar).
Dazu scheint es zweckmäßig, die Ellipse als die Inellipse einer Raute zu betrachten. https://www.youtube.com/watch?v=9-uxzaYmJ1I --> Er zeichnet das Oval zu den Seitenmitten der Raute. Dieses Oval (rot) weicht aber deutlich ab von der Inellipse (schwarz), die die Seitenmitten berührt: $ % https://math.stackexchange.com/questions/1971097/what-are-the-axes-of-an-ellipse-within-a-rhombus % Ellipse \pgfmathsetmacro\a{3}% 3 \pgfmathsetmacro\b{1.5}% 1.5 \pgfmathsetmacro\e{sqrt(\a^2-\b^2)}% 1.5 % Raute \pgfmathsetmacro\p{sqrt(2)*\a} \pgfmathsetmacro\q{sqrt(2)*\b} \pgfmathsetmacro\s{sqrt(\p^2+\q^2)} %\pgfmathsetmacro\F{\p*\q/2} \pgfmathsetmacro\Aalpha{2*atan(\q/\p)} \pgfmathsetmacro\Abeta{2*atan(\p/\q)} % Näherungskreise \pgfmathsetmacro\rA{sqrt((\p/6)^2+(\q/2)^2)} \pgfmathsetmacro\AbetaA{atan(3*\q/\p)} \pgfmathsetmacro\rB{sqrt(\q^2+(\p/3)^2)+\rA} \pgfmathsetmacro\AbetaB{atan(1/3*\p/\q)} % \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius} \newcommand\Bogen[5][]{ \draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5);} \begin{tikzpicture}[] \coordinate[](O) at (0,0); % Ellipse \coordinate[label=45:$A$, alias=A](A1) at (\a,0); \coordinate[label=-45:$B$, alias=B](B1) at (0,\b); %\coordinate[label=-45:$F$, alias=F](F1) at (\e,0); % Raute \coordinate[label=right:$P$, alias=P](P1) at (\p,0); \coordinate[](P2) at (-\p,0); \coordinate[label=$Q$, alias=Q](Q1) at (0,\q); \coordinate[](Q2) at (0,-\q); \coordinate[label=$M_{PQ}$](M11) at ($(P1)!0.5!(Q1)$); \coordinate[label=](M12) at ($(P1)!0.5!(Q2)$); \coordinate[label=](M21) at ($(P2)!0.5!(Q1)$); \coordinate[label=](M22) at ($(P2)!0.5!(Q2)$); \draw[dotted](P1) -- (P2); \draw[dotted](Q1) -- (Q2); \draw[local bounding box=raute, blue](P1) -- (Q1) -- (P2) -- (Q2) --cycle; \draw[local bounding box=ellipse, black](O) circle[x radius=\a, y radius=\b]; \draw[blue] (O) -- (P2) node[pos=0.85, below, inner sep=1pt]{$p$}; \draw[blue] (O) -- (Q2) node[pos=0.81, left, inner sep=1pt]{$q$}; \draw[black] (O) -- (A) node[very near end, below]{$a$}; \draw[black] (O) -- (B) node[midway, left]{$b$}; % Näherungsbögen \pgfmathsetmacro\h{1/3} \draw[] (M11) -- (Q2); \draw[] (M12) -- (Q1); \coordinate[label=$S$, alias=S](S1) at ($(O)!\h!(P1)$); \Bogen[red]{S1}{-\AbetaA}{\AbetaA}{\rA} \draw[] (M21) -- (Q2); \draw[] (M22) -- (Q1); \coordinate[label=$$](S2) at ($(O)!-\h!(P1)$); \Bogen[red]{S2}{-\AbetaA+180}{\AbetaA+180}{\rA} \Bogen[red]{Q2}{90-\AbetaB}{90+\AbetaB}{\rB} \Bogen[red]{Q1}{90-\AbetaB+180}{90+\AbetaB+180}{\rB} % Annotation \draw[cyan, thick] (S) -- (M11) node[midway, sloped, below, inner sep=1pt]{$r_A$}; \draw[cyan, thick] (O) -- (S) node[midway, above, inner sep=1pt]{$p/3$}; \draw[cyan, thick] (M12) -- +(-\p/2,0) node[near start, above, inner sep=1pt]{$p/2$} coordinate(X); \draw[cyan, thick] (O) -- (0,-\q/2) node[midway, left, inner sep=1pt]{$q/2$}; %Test %\draw[] (M11) -- +(0,-\q); %\fill[] (0.5*\p,-0.5*\q) circle(1mm); =M12 %\draw[red, thick] (Q2) -- +(90-\AbetaB:\rB); %% Punkte \makeatletter \long\def\ifnodedefined#1#2#3{% \@ifundefined{pgf@sh@ns@#1}{#3}{#2}% } \makeatother \foreach \P in {O, A, B, M11, M12, M21, M22, S1, F1}{%% \ifnodedefined{\P}{ \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt); } }%% % \draw[domain=-0:\h*\q, variable=\x, cyan] plot ({\x}, {-3*\q/\p*\x+\q}); % Annotationen - Rechnung \node[yshift=-\q cm, xshift=-\p cm, anchor=north west, draw, align=left, fill=lightgray!50, ] at (raute) { $\begin{array}{l l} a=\a \\ b=\b \\ %e=\e \\ p=\p \\ q=\q \\ %s=\s \\ %s=\s \\ \alpha=\Aalpha \\ \beta=\Abeta \\ %x0=\xN \\ %y0=\yN \\ %D=\D \\ %Ds=\Ds \\ %ttt=\ttt\\ % %a = \a \text{ cm} & \\ %b = \b \text{ cm} & (1) \\ %c = \c \text{ cm} & (3) \\ \hline %\alpha = \Alpha^\circ & (5) \\ %\beta = \Beta^\circ & (4) \\ %\gamma = \Gamma^\circ & (2) \\ \hline %%\multicolumn{2}{l}{aaa} \\ \end{array}$ }; \end{tikzpicture} $
Wahrscheinlich sollte man hierin besser etwas mit den Brennpunkten machen, die hier nicht verwendet wurden. Das schaue ich mir aber morgen an.



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haribo
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-26

Das rote oval verlässt die Raute teilweise, wenn sie nicht den spitzenwinkel 60• hat, und sähe für jede der möglichen vielen die Raute viermal symmetrisch tangierenden Ellipsen gleich aus.


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Wario
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-26

Könnte etwas besser werden, wenn man mit den Brennpunkten arbeitet. (Für die Bögen links und rechts habe ich gerade noch keinen schlauen Trick.) $ % Ellipse \pgfmathsetmacro\a{4}% 3 \pgfmathsetmacro\b{2}% 1.5 \pgfmathsetmacro\e{sqrt(\a^2-\b^2)}% 1.5 % Raute \pgfmathsetmacro\p{sqrt(2)*\a} \pgfmathsetmacro\q{sqrt(2)*\b} \pgfmathsetmacro\s{sqrt(\p^2+\q^2)} %\pgfmathsetmacro\F{\p*\q/2} \pgfmathsetmacro\Aalpha{2*atan(\q/\p)} \pgfmathsetmacro\Abeta{2*atan(\p/\q)} % Näherungskreise % Geraden \pgfmathsetmacro\m{\q/(\p-2*\e)} \pgfmathsetmacro\yN{-\e*\m} %N(0,-\dfrac{qe}{p-2e}) % Radien \pgfmathsetmacro\rA{sqrt((\p/2-\e)^2+(\q/2)^2)} \pgfmathsetmacro\rB{sqrt((\yN+\q/2)^2+(\p/2)^2)} % Winkel \pgfmathsetmacro\AbetaA{atan(3*\q/\p)} \pgfmathsetmacro\AbetaB{atan((\p/2)/(\yN+\q/2))} % \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius} \newcommand\Bogen[5][]{ \draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5);} \begin{tikzpicture}[scale=0.667] \coordinate[](O) at (0,0); % Ellipse \coordinate[label=45:$A$, alias=A](A1) at (\a,0); \coordinate[label=-45:$B$, alias=B](B1) at (0,\b); % Brennpunkte \coordinate[label=90:$F$, alias=F](F1) at (\e,0); % Raute \coordinate[label=right:$P$, alias=P](P1) at (\p,0); \coordinate[](P2) at (-\p,0); \coordinate[label=45:$Q$, alias=Q](Q1) at (0,\q); \coordinate[](Q2) at (0,-\q); \coordinate[label=45:$M_{PQ}$](M11) at ($(P1)!0.5!(Q1)$); \coordinate[label=](M12) at ($(P1)!0.5!(Q2)$); \coordinate[label=](M21) at ($(P2)!0.5!(Q1)$); \coordinate[label=](M22) at ($(P2)!0.5!(Q2)$); \draw[dotted](P1) -- (P2); \draw[dotted](Q1) -- (Q2); \draw[local bounding box=raute, blue](P1) -- (Q1) -- (P2) -- (Q2) --cycle; \draw[local bounding box=ellipse, black](O) circle[x radius=\a, y radius=\b]; \draw[blue] (O) -- (P2) node[pos=0.85, below, inner sep=1pt]{$$};%p \draw[blue] (O) -- (Q2) node[pos=0.81, left, inner sep=1pt]{$$};%q \draw[black] (O) -- (A) node[very near end, below]{$$};%a \draw[black] (O) -- (B) node[midway, left]{$$};%b %% Näherungsbögen \coordinate[label=$N$, alias=N](N1) at (0,\yN); \draw[cyan] (N1) -- +(-90+\AbetaB:\rB) node[near start, left]{$r_B$}; \draw[dotted] (N1) -- +(-90-\AbetaB:\rB); \Bogen[red]{N1}{-90+\AbetaB}{-90-\AbetaB}{\rB} \coordinate[label=$$](N2) at (0,-\yN); \draw[dotted] (N2) -- +(90-\AbetaB:\rB); \draw[dotted] (N2) -- +(90+\AbetaB:\rB); \Bogen[red]{N2}{90-\AbetaB}{90+\AbetaB}{\rB} %\Bogen[red]{F1}{0}{333}{\rA} %\pgfmathsetmacro\h{1/3} %\draw[] (M11) -- (Q2); %\draw[] (M12) -- (Q1); %\coordinate[label=$S$, alias=S](S1) at ($(O)!\h!(P1)$); %\Bogen[red]{S1}{-\AbetaA}{\AbetaA}{\rA} % %\draw[] (M21) -- (Q2); %\draw[] (M22) -- (Q1); %\coordinate[label=$$](S2) at ($(O)!-\h!(P1)$); %\Bogen[red]{S2}{-\AbetaA+180}{\AbetaA+180}{\rA} % %\Bogen[red]{Q2}{90-\AbetaB}{90+\AbetaB}{\rB} %\Bogen[red]{Q1}{90-\AbetaB+180}{90+\AbetaB+180}{\rB} % %% Annotation %\draw[cyan, thick] (S) -- (M11) node[midway, sloped, below, inner sep=1pt]{$r_A$}; %\draw[cyan, thick] (O) -- (S) node[midway, above, inner sep=1pt]{$p/3$}; % \draw[cyan, thick] (O) -- +(\p/2,0) node[near start, above, inner sep=1pt]{$p/2$} coordinate(X); \draw[cyan, thick] (O) -- (0,-\q/2) node[midway, left, inner sep=1pt]{$q/2$}; \draw[dotted] (0,-\q/2) -- (M12) -- (\p/2,0); %Test %\draw[] (M11) -- +(0,-\q); %\fill[] (0.5*\p,-0.5*\q) circle(1mm); =M12 % Geraden \pgfmathsetmacro\h{0.9} \pgfmathsetmacro\xEnd{(-\q-\yN)/(\m-\q/\p)} \draw[domain=0:\xEnd] plot ({\x}, {\m*\x+\yN}); \draw[domain=-\xEnd:0] plot ({\x}, {\m*(-\x)+\yN}); \draw[domain=0:\xEnd] plot ({\x}, {-(\m*\x+\yN)}); \draw[domain=-\xEnd:0] plot ({\x}, {-(\m*(-\x)+\yN)}); \draw[dotted] (Q1) -- (0,\yN); \draw[dotted] (Q2) -- (0,-\yN); % Alt % \draw[domain=-0:\h*\q, variable=\x, cyan] plot ({\x}, {-3*\q/\p*\x+\q}); % \q/(\p-2*\e)*(\x-\e) %% Punkte \makeatletter \long\def\ifnodedefined#1#2#3{% \@ifundefined{pgf@sh@ns@#1}{#3}{#2}% } \makeatother \foreach \P in {O, A, B, M11, M12, M21, M22, S1, F1, X, N1}{%% \ifnodedefined{\P}{% \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt); }% }%% % Annotationen - Rechnung \node[yshift=-\q cm, xshift=-\p cm, anchor=north west, draw, align=left, fill=lightgray!50, ] at (raute) { $\begin{array}{l l} a=\a \\ b=\b \\ e=\e \\ \hline p=\p \\ q=\q \\ %s=\s \\ %s=\s \\ \alpha=\Aalpha \\ \beta=\Abeta \\ \hline m=\m \\ y_0=\yN %x0=\xN \\ %y0=\yN \\ %D=\D \\ %Ds=\Ds \\ %ttt=\ttt\\ % %a = \a \text{ cm} & \\ %b = \b \text{ cm} & (1) \\ %c = \c \text{ cm} & (3) \\ \hline %\alpha = \Alpha^\circ & (5) \\ %\beta = \Beta^\circ & (4) \\ %\gamma = \Gamma^\circ & (2) \\ \hline %%\multicolumn{2}{l}{aaa} \\ \end{array}$ }; % Bezeichnungen \node[yshift=-\q cm, xshift=\e cm, anchor=north west, draw, align=left, %fill=lightgray!50, ] at (raute) { $\begin{array}{l l} A(a,0) \\ B(0,b) \\ F(e,0),~ e^2=a^2-b^2 \\ P(p,0),~ p=\sqrt{2}\, a \\ Q(0,q),~ q=\sqrt{2}\, b \\[1em] N\left( 0,~\dfrac{qe}{2e-p} \right) \end{array}$ }; \end{tikzpicture} $


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haribo
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-05-26

Der Strahl zu den Mittelpunkten muss senkrecht zu den Rautenseiten liegen, dann können beide Kreise tangieren und ineinander übergehen,


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Wario
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-26

\quoteon(2022-05-26 20:23 - haribo in Beitrag No. 10) Der Strahl zu den Mittelpunkten muss senkrecht zu den Rautenseiten liegen, dann können beide Kreise tangieren und ineinander übergehen, \quoteoff Kein schlechter Einfall, dann bleiben wir -als nächstes- am besten bei derjenigen Raute, die von der Ellipse mit gegebenen Halbachsen in ihren Seitenmitten berührt wird, konstruieren in den Mittelpunkten die Normalen und schauen mal wohin das führt.


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haribo
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-05-26

Führt wohl immer zu etwas zu schlanken Näherungen, Schau dir mal die recht ähnliche Konstruktion der Mittelpunkte von Haupt- und Nebenscheitelkreisen an Welche ja nicht ineinander übergehen, weil einer außen und einer innen liegt, Ein Gemisch aus beiden Konstruktionen könnte besser sein als die Rauten-innen-ellipse


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haribo
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-05-27

bei flachen ellipsen brauchts scheints eher rauten die weiter aussen berühren, und die brennpunkte liegen dann sehr weit aussen, die helfen also auch eher nicht https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_ellip-boegen.jpg


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Wario hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Wario hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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