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Mathematik » Stochastik und Statistik » Funk Kollisionswahrscheinlichkeit berechnen
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Beruf Funk Kollisionswahrscheinlichkeit berechnen
papajohn
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  Themenstart: 2022-07-06

20 Funksender senden Funksignale innerhalb von Zeit T a. 1 Sekunde b. 500 ms c. 100 ms d. 50 ms Wie groß ist die Kollisionswarscheinlichkeit? Das heißt, dass 2 Signale überlappen und von dem Empfänger verfälscht empfangen werden. Ein Signal ist 600 Mikrosekunden lang. Bisher habe ich berechnet P= (1/T)*(nrSender -1)*2*(600/1000000) Aber könnte auch die Binomialverteilung sein. Nun weiss ich nicht was ich in der einsetzen muss. Danke


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-07

\quoteon(2022-07-06 23:41 - papajohn im Themenstart) 20 Funksender senden Funksignale innerhalb von Zeit T a. 1 Sekunde b. 500 ms c. 100 ms d. 50 ms Wie groß ist die Kollisionswarscheinlichkeit? Das heißt, dass 2 Signale überlappen und von dem Empfänger verfälscht empfangen werden. Ein Signal ist 600 Mikrosekunden lang. Bisher habe ich berechnet P= (1/T)*(nrSender -1)*2*(600/1000000) Aber könnte auch die Binomialverteilung sein. Nun weiss ich nicht was ich in der einsetzen muss. \quoteoff Hallo, du musst das Problem schon etwas genauer beschreiben. Wie kommst du auf deine bisherige Berechnung - und vor allem: Was hast du da berechnet?


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papajohn
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-07

\quoteon Hallo, du musst das Problem schon etwas genauer beschreiben. Wie kommst du auf deine bisherige Berechnung - und vor allem: Was hast du da berechnet? \quoteoff Hallo,ich möchte die Kollisionswharscheinlichkeit in diesen a,b,c,d berechnen Das Problem ist, dass wenn mehr als 2 Sender senden, könnten sie gleichzeitig senden. Der Empfänger kann dann nicht die gesendete Nachricht dekodieren. Das Funkignal ist 600 Mikrosekunden lang. Jede Sender kann nur 1 mal innerhalb eines Zeitfensters T senden. Die gesendete Funksignale überlappen sich, wenn 2 oder mehr Sender gleichzeitig +- SignalLänge senden. Während der Empfänger ein Funksignal dekodiert, kommt obendrauf noch ein anderes Funksignal. Der Empfänger wird dann mit der Dekodierung stoppen, da das neue Mischsignal( Wellenüberlagerung) nicht dem Protokoll entspricht. (600 usec = 600/1000.000) Wenn 20 Sender senden innerhalb 0.5 Sekunden, dann habe ich Überlappungswahrscheinlichkeit P= (1/0.5)*(20Sender-1)*(2*Signallänge)= 1/22. War eine grobgeschätzte Formel von mir. Scheint eher die Formel für das doppelte von Sendezeit/Gesamtzeit zu sein😄. Ich möchte aber gerne die richtige Formel wissen.


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-07

Moin papajohn, deine Schätzung hier \quoteon(2022-07-07 01:37 - papajohn in Beitrag No. 2) (600 usec = 600/1000.000) Wenn 20 Sender senden innerhalb 0.5 Sekunden, dann habe ich Überlappungswahrscheinlichkeit P= (1/0.5)*(20Sender-1)*(2*Signallänge)= 1/22. War eine grobgeschätzte Formel von mir. Scheint eher die Formel für das doppelte von Sendezeit/Gesamtzeit zu sein😄. Ich möchte aber gerne die richtige Formel wissen. \quoteoff passt so, wie ich denke, nicht ganz, auch nicht näherungsweise. Man kann aber sowohl eine näherungsweise wie auch exakte Formel finden. Dazu erstmal eine Formalisierung der Problemstellung (so wie ich sie verstehe): Bezeichne $t$ die Signallänge und $X_i$ für $i = 1, \ldots, n$ den Anfangszeitpunkt des Signals von Sender $i$. Dann ist $(X_i)_i$ iid mit $X_i \sim U(0,T)$ (für den Fall, dass nur die Anfangszeitpunkte der Signale ins Zeitfenster $[0,T]$ hineinfallen müssen; wenn es die ganzen Signale tun müssen, dann ist $U(0,T)$ durch $U(0,T-t)$ zu ersetzen). Bezeichnet weiters \[D := \min_{i < j} |X_i-X_j|\] den Minimalabstand zweier Signalanfangszeitpunkte, so ist die Wahrscheinlichkeit für ein Überlappen zweier Signale gerade $P(D \le t)$. Diese kann man nun (i) näherungsweise oder (ii) exakt berechnen: (i) Sei $A_{ij} := [|X_i-X_j| \le t]$ für $i < j$, d.h. $A_{ij}$ ist das Ereignis, dass die Signale der Sender $i$ und $j$ überlappen. Offenbar gilt \[[D \le t] = \bigcup_{i < j} A_{ij}.\] Wenn nun $n$ und $t$ hinreichend klein gegenüber $T$ sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als zwei Signale überlappen, vernachlässigbar klein, d.h. dass die Wahrscheinlichkeit des Schnitts von zwei oder mehr der Ereignisse $A_{ij}$ durch null angenähert werden kann. Außerdem gilt (da Randeffekte vernachlässigt werden können) $P(A_{ij}) \approx 2t/T$. Mit dem Prinzip von Inklusion und Exklusion folgt damit \[P(D \le t) = P\left(\bigcup_{i < j} A_{ij}\right) \approx \sum_{i < j} P(A_{ij}) \approx \frac{(n-1)n}{2} \frac{2t}{T} = \frac{(n-1)nt}{T}. \tag{1}\] (ii) Für die exakte Berechnung muss man sich die Verteilung von $D$ überlegen. Das wurde z.B. hier ausgeführt; das Ergebnis ist, dass $(n-1)D/T \sim \text{Beta}(1,n)$ (siehe hier). Damit bekommt man die exakte Lösung \[P(D \le t) = 1-\left(1-\frac{(n-1)t}{T}\right)^n. \tag{2}\] Für den Fall, dass die Näherungen aus (i) zutreffen, kann man in $(2)$ nach dem binomischen Lehrsatz entwickeln und nach dem linearen Glied abbrechen. Damit bekommt man näherungsweise \[P(D \le t) \approx 1-\left(1-n\frac{(n-1)t}{T}\right) = \frac{(n-1)nt}{T},\] also gerade $(1)$. Für deine Zahlenbeispiele ist (modulo Eintippfehler meinerseits) die Näherung aus (i) aber bestenfalls im Fall (a) von akzeptabler Genauigkeit (der Fehler ist hier etwas mehr als $10 \, \%$), für (b)-(d) braucht es die exakte Formel aus (ii). LG, semasch


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-07

Ich habe mal (quick and dirty) eine Simulation programmiert und komme auf \sourceon Kollisionswahrscheinlichkeit T = 1000 msek p = 0,20686 T = 500 msek p = 0,36924 T = 100 msek p = 0,91417 T = 50 msek p = 0,99496 \sourceoff [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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semasch
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-07

Moin StrgAltEntf, das passt sehr gut mit den Ergebnissen von Formel $(2)$ zusammen, die da lauten:
$ \begin{tabular}{c|c} T[\text{ms}] & P(D \le t) \\ \hline 50 & 0.99435 \\ 100 & 0.91115 \\ 500 & 0.36952 \\ 1000 & 0.20492 \\ \end{tabular} $
LG, semasch



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StrgAltEntf
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-07-07

\quoteon(2022-07-07 22:40 - semasch in Beitrag No. 5) das passt sehr gut mit den Ergebnissen von Formel $(2)$ zusammen \quoteoff 👍


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