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Physik » Mathematische Physik » Zusammenhang zwischen Green-Funktionen in der Festkörperphysik
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Universität/Hochschule Zusammenhang zwischen Green-Funktionen in der Festkörperphysik
Skalhoef
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  Themenstart: 2022-07-07

Hej, ich hatte gehofft, dass mir mal jemand auf die Sprünge helfen könnte. Man betrachtet ein fermionisches Vielteilchensystem. Die zeitgeordnete- und retardierte-Green-Funktionen lauten $$ G_{ \alpha \alpha^{\prime}} (t) = - \mathrm{i} \langle T_{t} \, a_{ \alpha } ( t ) a_{ \alpha^{\prime}}^{ \dagger } ( 0 ) \rangle $$ und $$ G_{ \alpha \alpha^{\prime}}^{ \text{ret}} (t) = - \mathrm{i} \theta ( t ) \langle \{ a_{ \alpha } ( t ) , \, a_{ \alpha^{\prime}}^{ \dagger } ( 0 ) \} \rangle $$ mit großkanonischer Zeitentwicklung $$ U(t) = \mathrm{e}^{- \mathrm{i} (H - \mu N) t / \hbar } $$ Die "equation-of-motion"-Technik liefert dann $$ G_{ \alpha \alpha^{\prime}} (\omega) = \big[ \omega - \frac{ \operatorname{mat} H - \mu \mathbb{1}}{\hbar} \big]_{ \alpha \alpha^{\prime}}^{\operatorname{inv}} $$ und $$ G_{ \alpha \alpha^{\prime}}^{ \text{ret}} (\omega + \mathrm{i} \delta ) = \big[ \omega + \mathrm{i} \delta - \frac{ \operatorname{mat} H - \mu \mathbb{1}}{\hbar} \big]_{ \alpha \alpha^{\prime}}^{\operatorname{inv}} $$ Im Buch von Altland (Kapitel 7) finde ich aber die Identitäten $$ \operatorname{Re} G ( \omega ) = \operatorname{Re} G^{ \text{ret}} (\omega) $$ und $$ \operatorname{Im} G( \omega ) = \operatorname{Im} G^{ \text{ret}} (\omega) \cdot \tanh \frac{\hbar \beta \omega}{2} $$ welche man wohl (TBD) mit der Lehmann-Darstellung beweisen kann. Die erste Identität erscheint mir im Grenzfall $\delta \rightarrow 0$ ja ganz sinnvoll, aber die zweite...?! In wie fern stimmen sind diese beiden Sets von Gleichungen überein? Bringe ich etwas durcheinander? Ich freue mich auf Rückmeldung. Vänliga hälsningar Sebastian


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PhysikRabe
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-18 01:35

Ein kleiner Kommentar: \quoteon(2022-07-07 12:38 - Skalhoef im Themenstart) $$ \operatorname{Im} G( \omega ) = \operatorname{Im} G^{ \text{ret}} (\omega) \cdot \tanh \frac{\hbar \beta \omega}{2} $$ \quoteoff Das sieht für mich so aus als würde hier angenommen werden, dass sich das System im thermalen Gleichgewicht (mit Temperatur $\beta^{-1}$, entsprechend einer Fermi-Dirac-Statistik) befindet. Eine ähnliche Relation habe ich hier gefunden, siehe Gleichung (3.116); vielleicht ist das hilfreich für dich. Ansonsten würde ich stark vermuten, dass man das auch aus der KMS (Kubo-Martin-Schwinger) Bedingung folgern kann, aber das habe ich nicht weiter durchdacht. Grüße, PhysikRabe


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