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Universität/Hochschule J Untergruppe von SL_2 (Z)
munu
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  Themenstart: 2022-07-07

Liebe Gemeinde, ich steh mal wieder vor etwas anscheinend offensichtlichem und komm nicht weiter. In dem Skript das ich gerade durcharbeite steht: Es ist klar, dass die Automorphismen von f eine Untergruppe \(U_f\) von \(SL_2(\mathbb{Z})\) bilden. Dabei sind die Automorphismen diejenigen Matrizen, die eine Matrix \(\begin{pmatrix} a & \dfrac{1}{2} b \\ \dfrac{1}{2}b & c \end{pmatrix}\):=A wieder in sich selbst überführen. und zwar in der Form \(\mathsf{U}^T \circ A \circ \mathsf{U} =A\) Ich habe keinen wirklichen Ansatz wie ich das nachvollziehen könnte. Es müsste ja \(\mathsf{U}, \mathsf{U}' \in U_f => \mathsf{U} \circ \mathsf{U}'^{-1} \in U_f\) Woher weiß ich denn dass das Inverse auch in meiner Untergruppe \(U_f\) enthalten ist. Gibt es in meiner Untergruppe überhaupt Elemente die von \(\begin{pmatrix} 1 & \ 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) verschieden sind?


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wladimir_1989
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-07

Hallo munu, Hast du schon gezeigt, dass das Produkt zweier Elemente aus \(U_f\) wieder in \(U_f\) ist? Gibt es Einschränkungen an A? lg Wladimir


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munu
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-07

Ja es gibt Einschränkungen für f die Diskriminante D=\(b^2-4ac\) soll existieren und quadratfrei sein \quoteon(2022-07-07 15:45 - wladimir_1989 in Beitrag No. 1) Hast du schon gezeigt, dass das Produkt zweier Elemente aus \(U_f\) wieder in \(U_f\) ist? \quoteoff Ah du meinst so: \(U,V \in U_f =>(U \circ V)A = V^T(U^T(A)U)V= V^T(A)V=A => U\circ V \in U_f\)


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wladimir_1989
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-07

Hallo, \quoteon(2022-07-07 17:33 - munu in Beitrag No. 2) Ah du meinst so: \(U,V \in U_f =>(U \circ V)A = V^T(U^T(A)U)V= V^T(A)V=A => U\circ V \in U_f\) \quoteoff genau. Was meinst du mit \quoteon(2022-07-07 17:33 - munu in Beitrag No. 2) die Determinante D=\(b^2-4ac\) soll existieren \quoteoff ? Außerdem ist D doch nicht die Determinante, sondern das Vierfache davon. lg Wladimir


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munu
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-07

Diskriminante sorry.


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wladimir_1989
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-07

Hallo, \quoteon(2022-07-07 22:44 - munu in Beitrag No. 4) Diskriminante sorry. \quoteoff ok, aber sie existiert ja immer, meinst du vielleicht D soll nicht 0 oder positiv sein? lg Wladimir


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munu
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08

Äh ja du hast recht. Die Bedingung war andersherum. Die Bedingung dass die Diskriminante existiert schränkt nicht f ein sondern nur die Diskriminante selber. Aber ich hab doch jetzt immer noch nicht gezeigt, dass \(U_f\) eine Untergruppe ist? Es geht um definition 1.4 in folgendem Skript: https://www.philosophie.uni-konstanz.de/typo3temp/secure_downloads/92225/0/658d1c93266f79f7fa7c04a77ce9416a027d2c84/bin__re_quadratische_formen_1.pdf


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helmetzer
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-08

Multipliziere von rechts mit \(U^{-1}\) und von links mit \((U^T)^{-1} = (U^{-1})^T\).


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munu
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08

Ah genau das war es danke.


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munu hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
munu hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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