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  Untergruppe von SL_2 (Z) |
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munu
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Mitteilungen: 83
 |  Themenstart: 2022-07-07
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Liebe Gemeinde,
ich steh mal wieder vor etwas anscheinend offensichtlichem und komm nicht weiter.
In dem Skript das ich gerade durcharbeite steht:
Es ist klar, dass die Automorphismen von f eine Untergruppe \(U_f\) von \(SL_2(\mathbb{Z})\) bilden.
Dabei sind die Automorphismen diejenigen Matrizen, die eine Matrix
\(\begin{pmatrix} a & \dfrac{1}{2} b \\ \dfrac{1}{2}b & c \end{pmatrix}\):=A
wieder in sich selbst überführen.
und zwar in der Form \(\mathsf{U}^T \circ A \circ \mathsf{U} =A\)
Ich habe keinen wirklichen Ansatz wie ich das nachvollziehen könnte.
Es müsste ja \(\mathsf{U}, \mathsf{U}' \in U_f => \mathsf{U} \circ \mathsf{U}'^{-1} \in U_f\)
Woher weiß ich denn dass das Inverse auch in meiner Untergruppe \(U_f\)
enthalten ist.
Gibt es in meiner Untergruppe überhaupt Elemente die von \(\begin{pmatrix} 1 & \ 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) verschieden sind?
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wladimir_1989
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| Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-07
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Hallo munu,
Hast du schon gezeigt, dass das Produkt zweier Elemente aus \(U_f\) wieder in \(U_f\) ist? Gibt es Einschränkungen an A?
lg Wladimir
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munu
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-07
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Ja es gibt Einschränkungen für f
die Diskriminante D=\(b^2-4ac\) soll existieren und quadratfrei sein
\quoteon(2022-07-07 15:45 - wladimir_1989 in Beitrag No. 1)
Hast du schon gezeigt, dass das Produkt zweier Elemente aus \(U_f\) wieder in \(U_f\) ist?
\quoteoff
Ah du meinst so: \(U,V \in U_f =>(U \circ V)A = V^T(U^T(A)U)V= V^T(A)V=A => U\circ V \in U_f\)
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wladimir_1989
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-07
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Hallo,
\quoteon(2022-07-07 17:33 - munu in Beitrag No. 2)
Ah du meinst so: \(U,V \in U_f =>(U \circ V)A = V^T(U^T(A)U)V= V^T(A)V=A => U\circ V \in U_f\)
\quoteoff
genau.
Was meinst du mit
\quoteon(2022-07-07 17:33 - munu in Beitrag No. 2)
die Determinante D=\(b^2-4ac\) soll existieren
\quoteoff
? Außerdem ist D doch nicht die Determinante, sondern das Vierfache davon.
lg Wladimir
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munu
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-07
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wladimir_1989
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-07
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Hallo,
\quoteon(2022-07-07 22:44 - munu in Beitrag No. 4)
Diskriminante sorry.
\quoteoff
ok, aber sie existiert ja immer, meinst du vielleicht D soll nicht 0 oder positiv sein?
lg Wladimir
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munu
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08
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Äh ja du hast recht.
Die Bedingung war andersherum. Die Bedingung dass die Diskriminante existiert schränkt nicht f ein sondern nur die Diskriminante selber.
Aber ich hab doch jetzt immer noch nicht gezeigt, dass \(U_f\) eine Untergruppe ist?
Es geht um definition 1.4 in folgendem Skript:
https://www.philosophie.uni-konstanz.de/typo3temp/secure_downloads/92225/0/658d1c93266f79f7fa7c04a77ce9416a027d2c84/bin__re_quadratische_formen_1.pdf
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helmetzer
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-08
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Multipliziere von rechts mit \(U^{-1}\)
und von links mit \((U^T)^{-1} = (U^{-1})^T\).
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munu
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08
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Ah genau das war es danke.
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