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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » 5 Stellen der Impulsantwortfunktion mit Polynomdivision
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Universität/Hochschule J 5 Stellen der Impulsantwortfunktion mit Polynomdivision
Sinnfrei
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  Themenstart: 2022-07-13

Ich stehe bei folgendem System auf dem Schlauch. $$y[n] = 216x[n-1] + {5\over 6}y[n-1] - {1\over 6}y[n-2]$$ Das habe ich jetzt in den Z-Bereich transformiert und komme da auf $$H(z) = {Y(z)\over X(z)} = 216{z^{-1}\over {1\over 6}z^{-2} - {5\over 6}z^{-1} + 1}$$ Hier soll ich jetzt mit Hilfe der Polynomdivision auf 5 Werte kommen, die ich dann wieder zurück in den zeitdiskreten Bereich $h(n)$ transformieren muss. Das Problem was ich sehe, ist hier der Zähler, der vom Grad her kleiner ist, als der Nenner. Wie kann ich das denn trotzdem realisieren, dass ich bei der Polynomdivision auf 5 Werte komme? Oder sage ich dann einfach der Zähler ist vom Gad her kleiner als der Nenner, daher ist die Polynomdivision nicht anwendbar? Danke schon mal im voraus.


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-14

Hallo Sinnfrei, so wie Du eine rationale Zahl durch Division in eine Dezimaldarstellung mit Nachkommastellen umformen kannst, liefert eine Polynomdivision eine Darstellung der Form \[ \frac{Y(z)}{X(z)} = y_0 + y_1 z^{-1} + y_2 z^{-2} + \cdots + y_4 z^{-4} + R_4(z) \] wobei in Deinem Beispiel $y_0=0$ gilt, weil der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-14

Ich kenne die Polynomdivision eigentlich nur wenn das Zählerpolynom vom Grad her größer* als das Nennerpolynom ist. Ich habe es trotzdem mal ausprobiert und komme dabei auf folgendes. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-14_021404.png Oder müsste da nicht wieder das selbe herauskommen? Der Rest ist doch immer Zähler durch Nenner, in diesem Fall. Dann wären $y_0$ bis $y_5$ 0 und der Rest wäre dann wieder Zähler durch Nenner $${z^{-1}\over {1\over 6}z^{-2} -{5\over 6}z^{-1} + {1\over 6}}$$ Edit: Beim Sortieren nach fallenden Potenzen habe ich einen Fehler gemacht. Ich komme jetzt auf folgendes https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-14_211224.png Jetzt sollte es auch passen Hinweis: Hier habe ich den Bruch mit 6 erweitert, um das etwas besser zu handlen und anschließend den Zähler mit 216 aus dem Themenstart multipliziert.


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-15

Hallo Sinnfrei, diese Antwort habe ich geschrieben, bevor ich Deine letzte Änderung gesehen habe. Du willst doch die Impulsantwort eines kausalen Systems? Durch erweitern mit $6 z^2$ werden alle Koeffizienten ganzzahlig: \[ H(z) = 216{z^{-1}\over {1\over 6}z^{-2} - {5\over 6}z^{-1} + 1} = \frac{1296 z}{6 z^2 - 5 z + 1} \] Die Polynomdivision \[ \begin{array}{r@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}} 1296 z & & & : (6 z^2 & - 5 z & + 1) \\ 1296 z & - 1080 & + 216 z^{-1} & & & \\ \hline & 1080 & - 216 z^{-1} & & & \\ & 1080 & - 900 z^{-1} & + 180 z^{-2} & & \\ \hline & & 684 z^{-1} & - 180 z^{-2} & & \\ & & 684 z^{-1} & - 570 z^{-2} & + 114 z^{-3} & \\ \hline & & & 390 z^{-2} & - 114 z^{-3} & \\ & & & 390 z^{-2} & - 325 z^{-3} & + 65 z^{-4} \\ \hline & & & r_4 = & 211 z^{-3} & - 65 z^{-4} \\ \end{array} \] ergibt \[ H(z) = 216 z^{-1} + 180 z^{-2} + 114 z^{-3} + 65 z^{-4} + \frac{r_4}{6 z^2 - 5 z + 1} \] Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-15

Ich hatte da einen Fehler beim Sortieren nach fallenden Potenzen. Daher hat das bei mir nicht so geklappt und ja der letzte Term muss auch noch als Wert geschrieben werden, also nicht als Bruch bei dir.


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cramilu
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-15

Fachlich habe ich keine Ahnung, worum es geht... ... aber... hülfe: \(\frac{r_4}{6 z^2 - 5 z + 1}\;=\;(211z^{-3}-65z^{-4})\cdot(3z-1)^{-1}\cdot(2z-1)^{-1}\) ?


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Sinnfrei
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-15

\quoteon(2022-07-15 02:51 - cramilu in Beitrag No. 5) Fachlich habe ich keine Ahnung, worum es geht... ... aber... hülfe: \(\frac{r_4}{6 z^2 - 5 z + 1}\;=\;(211z^{-3}-65z^{-4})\cdot(3z-1)^{-1}\cdot(2z-1)^{-1}\) ? \quoteoff So sehen Aufgaben aus, um Studenten zu nerven. Dieser gesamte Aufgabenblock hat keinen tieferen Verwendungszweck. Bei den Aufgaben danach geht es um Systementwürfe und so weiter. Die machen dann mehr Sinn. Ob der Prüfer diesen Aufgabenblock selber ernst nimmt, ich wage es zu bezweifeln. Edit: Dieser Teil ist auch nur ein Ausschnitt von einem etwas größeren Aufgabenblock.


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