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Universität/Hochschule Anwendungen von Lebesgue und Beppo-Levi (Sammlung)
Qing
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  Themenstart: 2022-07-21

Hallo, ich möchte eine Art Aufgabensammlung erstellen, die sich der bekannten Konvergenzsätze von Beppo-Levi und Lebesgue widmet. Ihr würdet mir dabei sehr helfen, wenn ihr euch bekannte Aufgaben nennt, oder aus einem Buch zitiert. Grundsätzlich soll es dabei um Anwendungen gehen, die Studenten aus dem dritten Semester verstehen/lösen können, da es ja auch sicherlich tiefere Anwendungen gibt, etwa im Rahmen der Funktionalanalysis. Ich freue mich auf eure Vorschläge. Vielen Dank im voraus.


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haerter
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-21

Ok, ich steuere mal eine passende Aufgabe bei: Benutzen Sie den Konvergenzsatz von Lebesgue, um zu zeigen, dass \[ \displaystyle \int_0^\infty \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}e^{-nx}\,\mathrm{d}x = \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n+1}}{n} \] und folgern Sie, dass \[ \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n+1}}{n} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+-\ldots= \ln(2)\,. \]


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Qing
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-21

Vielen Dank für die schöne Aufgabe. Ich möchte auch nochmal sagen, dass ich natürlich selber auch in die Bücher gucke, um nicht den Anschein zu erwecken, dass ich die Recherche versuche outzusourcen... :)


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