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Physik » Mathematische Physik » Hermitesche Operatoren
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Universität/Hochschule Hermitesche Operatoren
RogerKlotz
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  Themenstart: 2022-07-22

Hallo Zusammen, ich bearbeite folgende Aufgabe: Welche von den folgenden Operatoren sind hermitesch? i) \[\begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 2i \\ \end{pmatrix}\] ii) \[\partial^{2}_{x}\] iii) \[\vec{r} \cdot \vec{p} \] iv) \[\vec{S} \cdot \vec{p} \] Meine Ansätze: i) \[\begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 2i \\ \end{pmatrix}^{H} = \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & -2i \\ \end{pmatrix}\] \(\Rightarrow \) nicht hermitesch. ii) \[(\partial^{2}_{x})^{\dagger} = \partial^{\dagger}_{x} \partial^{\dagger}_{x} \] Nutze Definition: \(\partial^{\dagger}_{x} = - \partial_{x}\) \[\Rightarrow \partial^{\dagger}_{x} \partial^{\dagger}_{x} = - \partial_{x} (- \partial_{x}) = \partial^{2}_{x}\] \(\Rightarrow \) hermitesch. iii) Hier bin ich etwas verwirrt..gibt es dort eine Möglichkeit ohne das Skalarprodukt auszurechnen? Denn wenn ich das Skalarprodukt ausrechne, wüsste ich nicht wie es dann weitergeht..


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PhysikRabe
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-22

Da du deine Frage im Unterforum "Mathematische Physik" gestellt hast, erlaube ich mir zu bemerken: \quoteon(2022-07-22 10:29 - RogerKlotz im Themenstart) ii) \[(\partial^{2}_{x})^{\dagger} = \partial^{\dagger}_{x} \partial^{\dagger}_{x} \] Nutze Definition: \(\partial^{\dagger}_{x} = - \partial_{x}\) \[\Rightarrow \partial^{\dagger}_{x} \partial^{\dagger}_{x} = - \partial_{x} (- \partial_{x}) = \partial^{2}_{x}\] \(\Rightarrow \) hermitesch. \quoteoff Was du hier geschrieben hast ist jetzt nicht wirklich falsch (wenn man wohlwollend interpretiert, was gemeint sein könnte), aber streng genommen auch nicht richtig. Denn eigentlich hängt die Antwort auf die Frage, ob $\partial_x^2$ hermitesch ist, davon ab auf welchem Hilbertraum und mit welchen Domain der Operator definiert ist, wie generell bei Operatoren auf Hilberträumen. Die Identität $\partial^{\dagger}_{x} = - \partial_{x}$ ist daher auch keine "Definition", sondern eine Eigenschaft, die von all diesen Dingen abhängt und genau begründet werden muss. Ich nehme an, dass der Kontext hier quantenmechanisch ist und $\partial_x^2$ daher auf einem Raum von Wellenfunktionen wirken soll, die sich "gutartig" verhalten, also Elemente eines $L^2 (\mathbb{R},\mathrm{d}x)$ die (als Funktionen) im Unendlichen verschwinden (z.B. gebundene Zustände). In diesem Fall gilt tatsächlich $\partial^{\dagger}_{x} = - \partial_{x}$ (das kann man mittels partieller Integration beweisen), und deine Herleitung ist korrekt. Grüße, PhysikRabe


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RogerKlotz
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-24

Hallo. Danke für die Antwort. Das ist korrekt. Der Kontext ist quantenmechanisch. Ich habe mir nochmal etwas zu iii) und iv) überlegt. Kann man es so machen? Dabei ist \(\vec{S} \) der Spinoperator, \(\vec{p} \) der Impulsoperator und \vec{r} der Ortsoperator. iii) \[\left[\vec{r} \cdot \vec{p}\right]^{\dagger} = \left[-i\hbar \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \end{pmatrix} \right]^{\dagger} = - \left[\vec{r} \cdot \vec{p}\right] \] \(\Rightarrow \) nicht hermitesch. iv) \[\left(\vec{S} \cdot \vec{p} \right)^{\dagger} = \left[-\hbar^{2} \begin{pmatrix} y\partial_{z} - z \partial_{y} \\ z\partial_{x} - x\partial_{z} \\ x\partial_{y} - y \partial_{x} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \end{pmatrix} \right]^{\dagger} = \vec{S} \cdot \vec{p}\] \(\Rightarrow \) hermitesch.


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-24

\quoteon(2022-07-24 11:50 - RogerKlotz in Beitrag No. 2) \[\left[\vec{r} \cdot \vec{p}\right]^{\dagger} = \left[-i\hbar \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \end{pmatrix} \right]^{\dagger} = - \left[\vec{r} \cdot \vec{p}\right] \]\quoteoff Wo kommt denn das Minuszeichen im letzten Term her? Für mich sieht es so aus, als hättest du einfach das $i$ komplex konjugiert und ansonsten ignoriert, dass du es mit Operatoren zu tun hast. --zippy


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RogerKlotz
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-25

Hallo. Danke für die Antwort. Hab es nochmal aufgeschrieben: iii) \[\left[\vec{r} \cdot \vec{p}\right]^{\dagger} = \left[-i\hbar\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \end{pmatrix}\right]^{\dagger} = i\hbar \left(x\partial_{x} + y\partial_{y} + z\partial_{z}\right)\] Wo das Minus herkam ist mir ein Rätsel. Sollte dann jetzt aber eigentlich so stimmen, oder? Ist demnach aber nicht hermitesch.


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-25

\quoteon(2022-07-25 08:02 - RogerKlotz in Beitrag No. 4) Sollte dann jetzt aber eigentlich so stimmen, oder? \quoteoff Nein, es stimmt nicht und es bleibt unklar, was du da rechnest. Berechne doch mal nacheinander: 1. $\partial_x^\dagger$. 2. $\bigl[-i\hbar\,\partial_x\bigr]^\dagger$. 3. $\bigl[-i\hbar\,x\,\partial_x\bigr]^\dagger$.


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RogerKlotz
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-25

1) \[\partial_{x}^{\dagger} = - \partial_{x}\] 2) \[\left[-i\hbar\partial_{x}\right]^{\dagger} = i\hbar\partial_{x}^{\dagger}= -i\hbar\partial_{x}\] 3) \[\left[-i\hbar x\partial_{x}\right]^{\dagger} = -i\hbar x\partial_{x}\]


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-25

Wie hast du das Produkt $x\,\partial_x$ konjugiert? Kennst du eine Regel für das Hermitesche Konjugieren von Produkten?


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RogerKlotz
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-25

Um ehrlich zu sein - nein kannte ich bis jetzt eben nicht. Soweit ich jetzt weiß, ist das Produkt genau dann hermitesch, wenn \(x\), \(\partial_{x}\) kommutieren. Das ist aber nicht der Fall. \[\left[-i\hbar x\partial_{x}\right]^{\dagger} = -i\hbar\]


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PhysikRabe
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-07-25

Die richtige Aussage lautet: Sind $A,B$ zwei hermitesche Operatoren, so ist $A\cdot B$ hermitesch genau dann wenn $[A,B]=0$. Für zwei Operatoren $A,B$ gilt $(A\cdot B)^{\dagger} = B^{\dagger} \cdot A^{\dagger}$ (vorausgesetzt diese Adjungierten existieren). Grüße, PhysikRabe


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RogerKlotz
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-26

Das würde dann ja wiederum für iii) bedeuten: \[\left[\vec{r} \cdot \vec{p}\right]^{\dagger} = \left[-i\hbar\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \end{pmatrix}\right]^{\dagger} = -i \hbar \begin{pmatrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \] oder?!


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PhysikRabe
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-07-26

Ja. Die Frage ob $\vec{r} \cdot \vec{p}$ hermitesch ist lässt sich übrigens auch abkürzen. $\vec{r} \cdot \vec{p}$ ist ja nichts Anderes als eine Summe von Produkten von Orts- und Impulsoperatoren. Orts- und Impulsoperatoren sind hermitesch, und wie bereits besprochen müssten sie kommutieren, damit das Produkt hermitesch wäre. Das ist aber ob der kanonischen Vertauschungsrelationen (die du bereits hier hergeleitet hast) nicht der Fall. Grüße, PhysikRabe


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zippy
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-07-26

\quoteon(2022-07-26 16:51 - PhysikRabe in Beitrag No. 11) Orts- und Impulsoperatoren sind hermitesch, und wie bereits besprochen müssten sie kommutieren, damit das Produkt hermitesch wäre. \quoteoff Das ist auf der Ebene der Komponenten richtig, aber warum soll es auch auf der Ebene der Vektoren gelten? Dort ist die Vertauschbarkeit erstmal nur ein hinreichendes, aber kein notwendiges Kriterium.


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PhysikRabe
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-07-26

\quoteon(2022-07-26 17:21 - zippy in Beitrag No. 12) Das ist auf der Ebene der Komponenten richtig, aber warum soll es auch auf der Ebene der Vektoren gelten? Dort ist die Vertauschbarkeit erstmal nur ein hinreichendes, aber kein notwendiges Kriterium. \quoteoff $\vec{r} \cdot \vec{p}$ ist doch als Skalarprodukt zu verstehen, oder etwa nicht? Jedenfalls habe ich es so verstanden. Wenn wir also $\vec{r}=(x,y,z)^{\top}$, $\vec{p}=(p_x,p_y,p_z)^{\top}$ schreiben, wobei jede Komponente als Orts- bzw. Impulsoperator zu verstehen ist, dann ist $\vec{r} \cdot \vec{p} = xp_x + yp_y + zp_z$. Damit das hermitesch wäre, müsste jeder Term hermitesch sein. Das ist aber aus dem von mir genannten Grund nicht der Fall. Grüße, PhysikRabe


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zippy
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-07-26

\quoteon(2022-07-26 17:42 - PhysikRabe in Beitrag No. 13) $\vec{r} \cdot \vec{p} = xp_x + yp_y + zp_z$. Damit das hermitesch wäre, müsste jeder Term hermitesch sein. \quoteoff Warum? $xp_x - yp_y$ ist doch auch hermitesch, obwohl nicht jeder Term einzeln hermitesch ist.


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\quoteon(2022-07-26 17:55 - zippy in Beitrag No. 14) Warum? $xp_x - yp_y$ ist doch auch hermitesch, obwohl nicht jeder Term einzeln hermitesch ist. \quoteoff Das stimmt natürlich, danke für den Hinweis. Da hab ich mich etwas verrannt 🙂 Ich wollte ein allgemeines Argument liefern, aber das geht sich hier nur deswegen so gut aus, weil wir eben eine Summe von solchen Operatoren haben, und keine Differenzen. Die Begründung dafür ist nicht allgemeiner Natur und daher natürlich keine echte Verkürzung der Herleitung, was ja ursprünglich mein Ansinnen war. @RogerKlotz: Ich hoffe, dass die letzten Beiträge nicht für dich verwirrend sind und dir vielleicht sogar ein bisschen weiterhelfen. Aber damit bleibt noch die Frage an dich: Ist nun $\vec{r} \cdot \vec{p}$ hermitesch oder nicht? Ich sehe gerade, dass du bisher eigentlich nur $(\vec{r} \cdot \vec{p})^{\dagger}$ hingeschrieben hast. Für den Rest ist jetzt aber nicht mehr viel zu tun. 😉 Grüße, PhysikRabe


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Hey. Ich habe dann folgendes: \[\left[\vec{r} \cdot \vec{p}\right]^{\dagger} = \left[-i\hbar\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \end{pmatrix}\right]^{\dagger} = i \hbar \begin{pmatrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=3i\hbar\] Das würde doch dann bedeuten, dass dieser nicht hermitesch ist. Es ist ja nicht gleich \(\vec{r} \cdot \vec{p}\) Sollte dies so stimmen, werde ich nochmal iv) posten. LG


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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-07-27

\quoteon(2022-07-27 11:00 - RogerKlotz in Beitrag No. 16) \[\left[\vec{r} \cdot \vec{p}\right]^{\dagger} = \left[-i\hbar\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \end{pmatrix}\right]^{\dagger} = i \hbar \begin{pmatrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=3i\hbar\] \quoteoff Das stimmt so nicht. Erstens ist das Vorzeichen, das du zuvor schon korrigiert hattest, wieder falsch, und zweitens fehlt im endgültigen Resultat ein ganzer Term. Und es fehlt auch überhaupt die Begründung, was du im letzten Schritt gemacht hast. Grüße, PhysikRabe


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Ok. Ich habe es nochmal aufgeschrieben: \[\left[\vec{r} \cdot \vec{p}\right]^{\dagger} = \vec{p}^{\dagger} \cdot \vec{r}^{\dagger} = i\hbar \begin{pmatrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \end{pmatrix}^{\dagger} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}^{\dagger} = -i \hbar \left(\partial_{x}, \partial_{y} , \partial_{z}\right)^{T} \cdot \left(x,y ,z\right)^{T} \] Das ist doch jetzt nur noch Skalarprodukt ausrechnen oder nicht? :)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
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Du hast nichts Neues aufgeschrieben. Das ist das selbe wie in deinem Beitrag No. 10. Die Frage war, wie es jetzt weiter geht. Die $3i\hbar$ in deinem vorigen Beitrag deuten ja bereits darauf hin, dass du für jeden Term die Vertauschungsrelationen angewendet hast (leider nicht ganz korrekt, weil du die vertauschten Terme einfach weggelassen hast). Also wie sieht deine Rechnung aus? Grüße, PhysikRabe


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