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Thema eröffnet 2022-07-22 19:29 von Primentus
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Kein bestimmter Bereich Finde das beste Pi-Datum!
Primentus
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  Beitrag No.80, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-30

Hallo querin, absolut genial - wieder ein neuer Rekord! 14 korrekte Dezimalziffern sind schon eine Hausnummer! Bei der Jahreszahl hast Du vermutlich 3467 gemeint - so hab ich es mal in die Liste eingetragen. Herzlichen Glückwunsch zu diesem neuen Rekord mit endlicher Genauigkeit an das Team tactac/querin! Absolute Spitzenleistung! Das ist der aktuelle Stand der besten bisherigen Funde: \sourceon Liste der Pi-Näherungsrekorde mit Bedingungen aus Themenstart Anzahl korrekter Entdecker- Datum, für das die Abweichung Pi-Ziffern Nickname Pi-Näherung formuliert wurde zu Pi ------------------------------------------------------------------------------------ 14 tactac/querin 28.12.3467 BISHERIGER REKORD! ca. 6,399*10^(-14) 13 tactac/querin 28.12.5667 ca. 15.053*10^(-14) 11 tactac 28.12.5677 ca. 50.86*10^(-14) 11 tactac 28.12.2345 ca. 153.06*10^(-14) 11 tactac 28.12.4556 ca. 173.07*10^(-14) 12 tactac/querin 28.12.1984 ca. 212.05*10^(-14) 11 querin 29.11.2579 ca. 281.41*10^(-14) 11 Aquilex 31.05.4899 ca. 1527.49*10^(-14) 11 Aquilex 24.12.1985 ca. 1532.11*10^(-14) 11 Aquilex 31.08.3499 ca. 2001.31*10^(-14) 11 querin 29.12.5778 ca. 5117.05*10^(-14) 10 cramilu 29.12.2346 ca. 20707.50*10^(-14) 10 tactac 01.04.2016 ca. 24979.51*10^(-14) 10 tactac 19.03.2022 ca. 34254.38*10^(-14) 9 Aquilex 16.04.2239 9 cramilu 14.03.2022 9 cramilu 25.05.3456 9 cramilu 17.11.4476 9 cramilu 14.11.3377 9 cramilu 15.04.1986 9 querin 22.04.1997 8 cramilu 17.11.3557 8 cramilu 29.09.3379 8 cramilu 19.09.3457 8 cramilu 27.10.2345 8 cramilu 19.10.3445 8 cramilu 28.10.2347 8 cramilu 31.08.2789 8 cramilu 24.12.2699 8 cramilu 26.03.3333 8 cramilu 19.09.5555 8 cramilu 18.10.1773 8 tactac 01.01.2028 7 cramilu 27.08.1036, 18.06.2355 7 DerEinfaeltige 17.05.1814 7 Primentus 17.12.2358 7 stpolster 15.05.1033, 07.06.2021, 14.04.2021, 15.07.2022 5 Primentus 16.04.2999 5 querin 13.12.1223 \sourceoff Edit: Darüber hinaus gibt es noch Lösungen, die von Funktionen außerhalb der im Themenstart genannten Bedingungen Gebrauch machen, wie z. B. Fakultät oder Binomialkoeffizient, inklusive der Möglichkeit, unendlich lange Ausdrücke durch $...$ abzukürzen, wenn dadurch klar ist, wie der hinter diesem Platzhalter zu bildende Ausdruck weitergeht (mit Wirkung ab 01.08.2022 gehören Fakultät und damit verwandte Ausdrücke wie Binomialkoeffizienten nicht mehr zu den Bedingungen im Themenstart). Auf diese Weise können sogar Ausdrücke konstruiert werden, die unendliche Genauigkeit zu Pi aufweisen, d. h. der so erzeugte Wert hat die Abweichung 0 von Pi. Beispiele solcher Funde sind aus nachfolgender Tabelle ersichtlich: \sourceon Liste der Pi-Asudrücke mit unendlicher Genauigkeit Anzahl korrekter Entdecker- Datum, für das die Abweichung Pi-Ziffern Nickname Pi-Näherung formuliert wurde zu Pi ------------------------------------------------------------------------------------ unendlich hyperG 29.07.2022 0 unendlich hyperG 14.11.2000 0 unendlich querin 26.12.3333 0 \sourceoff LG Primentus


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querin
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  Beitrag No.81, eingetragen 2022-07-30

Hi Primentus, danke für die Korrektur der falschen Jahreszahl. Ich habe auch ein Ergebnis für den 28.12.5667, aber das hat nur 13 korrekte Dezimalziffern. LG querin


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tactac
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  Beitrag No.82, eingetragen 2022-07-31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\) Oh, so knapp: der von HyperG angegebene Term 16^x(x!)^4/x/((2x)!)^2, also $$ \frac{16^x(x!)^4}{x((2x)!)^2}$$ lässt sich etwas verunstalten: $$ \frac{16^x}x\cdot\frac{(x!)^4}{\sqrt{(2x)!}^4} = \frac{16^x}x\cdot\left(\frac{x!}{\sqrt{(2x)!}}\right)^4.$$ Wenn man jetzt etwas großes für $x$ einsetzen könnte, das nur eine Ziffer verbraucht, etwa $3!!!!!!!!!!$ (wobei ich hier die iterierte Fakultätsfunktion meine), könnte man den Thread schließen (oder Fakultäten verbieten). Aus den Ziffern 12333346 bekommt man aber kein Datum mit vierstelliger Jahreszahl gebacken, und $2!!!!!!$ ist zu klein. 😄\(\endgroup\)


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querin
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  Beitrag No.83, eingetragen 2022-07-31

Mit Binomialkoeffizienten kann eine Lösung mit beliebig vielen korrekten Dezimalstellen konstruiert werden: Gemäß https://functions.wolfram.com/Constants/Pi/09/ ist $$\lim_{n\to \infty} \frac{16^n}{n\cdot \binom{2n}{n}^2}=\pi$$ Für $n=3!!!!!$ (beliebig oft iterierte Fakultäten) erhält man das Datum 26.12.3333


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Primentus
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  Beitrag No.84, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-31

Hallo querin, ok, falls Du den Ausdruck für Deinen 13er-Fund ebenfalls mitteilen möchtest, kann ich diesen natürlich auch gerne in die Rekordliste eintragen. Hallo tactac, sehr gute Umformung des Ausdrucks von hyperG, und es wäre auch ein gültiger Ausdruck, aber es ist echt jammerschade, dass mit den dort 8 vorkommenden Ziffern kein TTMMJJJJ-taugliches 8stelliges Datum formuliert werden kann. Man bräuchte anstelle einer der Ziffern eine Null, dann würde es eventuell klappen. Eigentlich ist es so, dass unter den 8 Ziffern mindestens 2 Ziffern < 2 vorkommen müssen oder 3 Ziffern < 3, damit man ein passendes Datum formulieren kann. Ich habe schon überlegt, wie man den Ausdruck noch weiter umformen könnte, z. B. die 16, aber es ist mir noch nicht gelungen. Hallo querin, sehr interessanter Ausdruck, den Du da gefunden hast. Zwar ist das Limes-Zeichen mitsamt Grenzwertformulierung streng genommen laut Bedingungen nicht erlaubt, aber man kann Deinen Ausdruck ja direkt so formulieren: $$\frac{16^{3!!!!!...!!!!!}}{3!!!!!...!!!!!\cdot \binom{2\cdot 3!!!!!...!!!!!}{3!!!!!...!!!!!}^2}$$ mit unendlich vielen $!$ jeweils nach den $3$en. Damit liegt eine absolut gültige Lösung vor inklusive gültigem Datum. Das ist dann ganz klar ein neuer Rekord, der absolut regelkonform ist und sogar unendliche Genaugikeit liefert. Absolute Spitzenleistung von Dir! Herzlichen Glückwunsch, querin, zu diesem sensationellen neuen Rekord! Damit haben wir jetzt zwei Rekorde mit unendlicher Genauigkeit, und zwar von hyperG und querin! LG Primentus


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querin
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  Beitrag No.85, eingetragen 2022-07-31

Der Vollständigkeit halber noch das (Team-)Ergebnis mit 13 korrekten Dezimalstellen: 28.12.5667 $$1+\sqrt2^{\sqrt{2+\sqrt8}}-\left(6!+\sqrt{6\cdot \sqrt5}\right)^{-\sqrt7}$$ Damit werde ich mich aus diesem Thread verabschieden. Solche Ziffernspiele machen mir immer großen Spaß! Vielen Dank an Primentus dafür 😃 LG querin


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Primentus
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  Beitrag No.86, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-31

Hallo querin, auch ein sehr schöner Ausdruck, der zum Datum 28.12.5667 führt. Habe ich eben eingetragen in die Liste. Das ist dann der bislang zweitbeste Fund mit endlicher Genauigkeit - super! Ja, und mit Deinem Rekord für den 26.12.3333 hast Du das bestmögliche Ergebnis erreicht, das überhaupt möglich ist, denn unendliche Genauigkeit kann man nicht mehr toppen! Vielen Dank nochmal an Dich, dass Du Dich an diesem Thread so erfolgreich beteiligt hast und es freut mich, dass es Dir Spaß gemacht hat! Ich selbst mag ja auch so ziemlich alles sehr gerne, was irgendwie mit Zahlen zu tun hat. 🙂 LG Primentus


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hyperG
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  Beitrag No.87, eingetragen 2022-07-31

\quoteon(2022-07-31 11:12 - querin in Beitrag No. 83) Mit Binomialkoeffizienten kann eine Lösung mit beliebig vielen korrekten Dezimalstellen konstruiert werden: Gemäß https://functions.wolfram.com/Constants/Pi/09/ ist $$\lim_{n\to \infty} \frac{16^n}{n\cdot \binom{2n}{n}^2}=\pi$$ Für $n=3!!!!!$ (beliebig oft iterierte Fakultäten) erhält man das Datum 26.12.3333 \quoteoff Ich bin ja auch für universelle Lösungen, aber hier wurden gleich 2 Funktionen neu eingebracht (die bei mir so kritisiert wurden, da nicht zugelassen laut Aufgabenstellung): Binomial + Limes Dabei hätte die eine Binomial(x,y) bereits gereicht, da \sourceon nameDerSprache 4/Binomial(1,1/2) = Pi also z.B.: 14.11.2000: (1*4)/Binom(1,1/(2+0+0+0)) =Pi \sourceoff Und natürlich wird es auch hier wieder Antworter geben, die das 2. Argument trotz hier nicht anerkennen wollen...


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tactac
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  Beitrag No.88, eingetragen 2022-07-31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\) Es ist ja selbstverständlich, dass keine anderen Operationen als die erlaubten verwendet werden dürfen. Ich weiß nicht, warum es da Meinungsverschiedenheiten geben kann. Ansonsten wird's eben trivial: Man kann zu jeder Tag-Monat-Kombination ein Jahr finden, mit dem zusammen man eine perfekte $\pi$-Näherung erhält. Beispiele: 31.07.1703: $\pi+3107-3107$; 22.03.2023: $\pi\cdot\frac{2203}{2203}$. (Hier habe ich die nullstellige Operation $\pi$ benutzt.)\(\endgroup\)


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Primentus
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  Beitrag No.89, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-31

Hallo hyperG, ok, da hast Du natürlich recht. Ich bemerke jetzt erst, dass ich vor lauter Begeisterung über querin's Ausdruck von Beitrag #83 ganz übersehen hatte, dass mit dem Binomialkoeffizienten eine streng genommen unerlaubte Rechenoperation verwendet wurde. Vielleicht können wir uns aber dennoch darauf einigen, dass der Binomialkoeffizent im Grunde genommen (zumindest für ganze Zahlen) nur eine verkürzte Schreibweise für bestimmte Quotienten ist. Zum Beispiel: $$\binom{6}{4}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=\frac{360}{24}=15$$ Was die Grenzwertdarstellung mit Limes und Grenzwertformulierung betrifft, so habe ich aber in Beitrag #84 gezeigt, wie man querin's Ausdruck alternativ darstellen kann, so dass er regelkonform ist. Der Fairness halber lasse ich dann selbstverständlich auch Deinen Ausdruck, hyperG, gelten für den 14.11.2000. Natürlich müssen wir jetzt aber aufpassen, dass wir nicht immer mehr Ausnahmen machen und so die Bedingungen aufweichen. Aber ich sag mal so: die Rekorde mit unendlicher Genauigkeit versuche ich auch weiterhin getrennt von den Rekorden mit endlicher Genauigkeit zu betrachten. Daher verwende ich in der Rekordliste auch weiterhin zweimal den Begriff "REKORD" (bzw. dreimal, falls der Rekord mit endlicher Anzahl korrekter Dezimalziffern und der endliche Rekord mit geringster Abweichung zu Pi > 0 nicht übereinstimmen). Aber ganz streng genommen müsste man natürlich sagen, die Binomialausdrücke sind eigentlich schon zu viel des Guten. Ich lasse diese Funde aber jetzt mal in der Rekordliste stehen. LG Primentus [Die Antwort wurde nach Beitrag No.87 begonnen.]


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cramilu
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  Beitrag No.90, eingetragen 2022-07-31

Ich habe mittlerweile meine 'einfacheren' Wurzelkonstrukte durchgeprüft und mag im Folgenden noch sechs Exemplare aufführen, die immerhin acht korrekte Ziffern aufweisen: \(27.\,10.~2345\) : \(\sqrt{\,\sqrt{\,\sqrt{\,2\,024\,175^\phantom{b}\,}^\phantom{b}\,}^\phantom{b}\,}\;-\;3\;\;\approx\;\;3{,}141\,592\,\underline639\,181{.}{.}{.}\) \(28.\,10.~2347\) : \(2\;+\;\sqrt[74\,]{\,18\,023^\phantom{b}\,}\;\;\approx\;\;3{,}141\,592\,\underline683\,719\,4{.}{.}{.}\) \(17.\,11.~3557\) : \(3\;+\;\sqrt[5\,]{\,\frac{1}{17\,571}^\phantom{b}\,}\;\;\approx\;\;3{,}141\,592\,\underline648\,144\,8{.}{.}{.}\) \(29.\,09.~3379\) : \(3\;+\;\sqrt{\,\sqrt{\,\frac{39}{97\,029}^\phantom{b}\,}^\phantom{b}\,}\;\;\approx\;\;3{,}141\,592\,\underline667\,261\,980{.}{.}{.}\) \(19.\,09.~3457\) : \(3\;+\;\sqrt{\,\sqrt{\,\frac{40}{99\,517}^\phantom{b}\,}^\phantom{b}\,}\;\;\approx\;\;3{,}141\,592\,\underline639\,900\,456\,9{.}{.}{.}\) \(31.\,08.~2789\) : \(3\;+\;\sqrt{\,\frac{182}{9\,078}^\phantom{b}\,}\;\;\approx\;\;3{,}141\,592\,\underline615\,717\,53{.}{.}{.}\) Der Ausdruck zum \(17.\,11.~3557\) liefert dabei mit \(\frac{\vert \pi\;-\;Näherung\vert}{\pi}\;\approx\;1{,}7332×10^{-9}\) den relativ besten Wert.


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Primentus
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  Beitrag No.91, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-31

Hallo tactac, ja, in Deinem Sinne bitte ich grundsätzlich alle Threadteilnehmer darum, dass ein Ausdruck, der hier gepostet wird und in die Rekordliste soll, bitte die Bedingungen aus dem Threadstart erfüllen sollte. Andere Ausdrücke (sprich solche außerhalb der Bedingungen als auch kreative und "verrückte") können natürlich trotzdem weiterhin eingereicht werden, aber diese laufen dann sozusagen "außer Konkurrenz", bzw. in der Kategorie "einfach mal aufzeigen, was möglich ist". Natürlich sollte es nicht das Ziel sein, dass nur noch triviale Ausdrücke eingereicht werden, bei denen man einfach eine schlichte Abhängigkeit von Pi ausnutzt. Hallo cramilu, das sind sehr schöne weitere Funde von Dir, die ich bereits in die Liste mit eingetragen habe. Wiederholt sieht man auch hier wieder, dass man mit Wurzelausdrücken offenbar recht gute Genauigkeiten erreichen kann. Vielen Dank für Deine sehenswerten Funde! Damit bist Du mittlerweile der Meister der 8er-Funde! LG Primentus


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cramilu
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  Beitrag No.92, eingetragen 2022-08-01

\quoteon(2022-07-31 23:11 - Primentus in Beitrag No. 91) Damit bist Du mittlerweile der Meister der 8er-Funde!\quoteoff Das sollte zunächst kaum verwundern: \showon Von Anfang an waren weder Komma noch Dezimalpunkt als Trennzeichen zwischen 'Vor-' und 'Nachkommaanteil' verboten. Mir erschien solches jedoch von Grund auf als zu banal und deutlich zu plump: \(19.\,12.~3456\) : \(3{,}141\,592\,\underline6\) \([\approx1{,}7×10^{-8}]\) \(19.\,12.~3457\) : \(3{,}141\,59\underline2\,7\) \([\approx1{,}5×10^{-8}]\) Damit war für mich klar, dass es auch bei nicht-banaler sowie nicht-plumper (führende Null[en], ausdrückliche "0" als Summand oder Faktor, ausdrückliche "1" als Faktor oder Exponent usw.) Termkonstruktion zu einer Genauigkeit von mindestens sieben korrekten Ziffern oder unter "zweimal zehn hocht acht" kommen sollte. Und seit tactacs sechzehnter Wurzel sind zudem höchstens vier Operationszeichen angestrebt. \showoff Und damit weiter zur 9[+]er-Suche...


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Primentus
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  Beitrag No.93, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-01

Hallo cramilu, ah - das war mir noch gar nicht aufgefallen, dass man durch das Erlauben des Dezimalzeichens einfach nur die Zahl Pi bis zur 8. Dezimalstelle einreichen könnte, und daraus lässt sich ja wie man sieht, sogar ein gültiges 8stelliges Datum konstruieren. Natürlich soll auch diese Vorgehensweise nicht Sinn und Zweck der Suche hier im Thread sein, aber vielen Dank für den Hinweis. Viel Erfolg bei Deiner Suche nach Funden mit 9 oder mehr korrekten Dezimalstellen! LG Primentus


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hyperG
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  Beitrag No.94, eingetragen 2022-08-01

\quoteon(2022-07-31 16:24 - Primentus in Beitrag No. 84) ... sehr interessanter Ausdruck, den Du da gefunden hast. Zwar ist das Limes-Zeichen mitsamt Grenzwertformulierung streng genommen laut Bedingungen nicht erlaubt, aber man kann Deinen Ausdruck ja direkt so formulieren: $$\frac{16^{3!!!!!...!!!!!}}{3!!!!!...!!!!!\cdot \binom{2\cdot 3!!!!!...!!!!!}{3!!!!!...!!!!!}^2}$$ mit unendlich vielen $!$ jeweils nach den $3$en. Damit liegt eine absolut gültige Lösung vor inklusive gültigem Datum. Das ist dann ganz klar ein neuer Rekord, der absolut regelkonform ist und sogar unendliche Genaugikeit liefert... \quoteoff Für mich gibt es zwischen den beiden Schreibweisen a) Limes() b) ... keinen Unterschied. Und sobald man das zulässt, schlägt man automatisch das "Buch der Kettenbrüche" auf. In meinem bereits genannten LINK (in dem auch §6b mit der Binom-Formel enthalten war) gibt es ab §2g schon 8 Kettenbrüche: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_Pi_Kettenbrueche.png könnte also auch als Datum \sourceon nameDerSprache 14.12.2232 usw... \sourceoff interpretiert werden... Oder https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_Pi_Kettenbrueche3.png \sourceon nameDerSprache 30.12.2366 \sourceoff https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/images/forum/subject/rotate.gif [Die Antwort wurde nach Beitrag No.92 begonnen.]


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cramilu
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  Beitrag No.95, eingetragen 2022-08-01

Nachlieferungen: \(19.\,10.~3445\) : \(\sqrt{\,10\;-\;\frac{\,1_\phantom{q}}{\,\sqrt[4\,]{\,3\,459^\phantom{b}}^\phantom{b}}^\phantom{b}}\;\;\approx\;\;3{,}141\,592\,\underline681\,014\,79{.}{.}{.}\) Und dabei sogar eine "\(4\)" quasi 'verschwendet'. 😉 \(24.\,12.~2699\) : \(\sqrt[12\,]{\,924\,269^\phantom{b}}\;\;\approx\;\;3{.}141\,592\,\underline602\,173{.}{.}{.}\) \(29.\,11.~2044\) : \(\sqrt[11\,]{\,294\,204^\phantom{b}}\;\;\approx\;\;3{,}141\,592\,\underline636\,141\,59{.}{.}{.}\) Jeweils acht korrekte Stellen mit bloß einem Operationszeichen! \(19.\,12.~2177\) : \(\sqrt{\,\sqrt[7\,]{\,9\,122\,171^\phantom{b}}^\phantom{b}}\;\;\approx\;\;3{,}141\,592\,\underline649\,118\,75{.}{.}{.}\) Beinahe neun korrekte Stellen mit zwei Operationszeichen.


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Primentus
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  Beitrag No.96, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-01

Hallo hyperG, ok, Du hast recht. Vielleicht macht es doch nicht so viel Sinn, sowas wie "$...$" zuzulassen, um anzuzeigen, dass anstelle dessen unendlich viele Rechenoperationszeichen einer bestimmten Sorte oder die unendliche Fortsetzung eines Ausdruckes stehen sollen. Ich muss zugeben, an solche Fälle wie Kettenbrüche habe ich in dem Moment nicht gedacht. Insgesamt gesehen muss man dann aber festhalten, dass es wohl am besten ist, weder Platzhalter wie $...$ noch die Fakultät zuzulassen. Und Binomialkoeffizienten sollte man dann auch ausschließen, da diese ja ebenfalls mit der Fakultät behaftet sind und auch gar nicht in den Bedingungen aufgelistet sind. Wir können das ja gerne so festlegen für alle weiteren Funde, die ab jetzt noch auftauchen. In letzter Konsequenz muss man dann aber alle bisherigen Funde mit unendlicher Genauigkeit wieder aus der Rekordliste entfernen bzw. man darf sie dann nur noch separat erwähnen (Edit: sind bereits in eine separate Liste ausgelagert in Beitrag #80), da sie alle mit Hilfe der Fakultät oder Binomialkoeffizienten konstruiert wurden. Ich war mir ehrlich gesagt der Tragweite nicht bewusst, die man auslöst, wenn man die Fakultät als Rechenoperation zulässt. Das habe ich nicht geahnt, was man damit lostreten kann, bzw. dass es auf diese Art mehr oder weniger unerwartete Lösungen gibt. LG Primentus [Die Antwort wurde nach Beitrag No.94 begonnen.]


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Primentus
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  Beitrag No.97, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-01

Hallo cramilu, das sind weitere schöne wurzelbehaftete Ausdrücke von Dir mit wiederum sehr sehenswerten 8 korrekten Dezimalziffern. Deine Funde sind bereits in die Rekordliste eingetragen. Vielen Dank für diese Funde! LG Primentus


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cramilu
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  Beitrag No.98, eingetragen 2022-08-01

Und allein, um aufzuzeigen, was beim Zulassen eines Dezimaltrennzeichens mindestens geht: \(07.\,04.~1999\) : \(\sqrt{\,\sqrt{\;97{,}409091^\phantom{b}}^\phantom{b}}\;\;\approx\;\;3{,}141\,592\,65\underline3\,315\,6{.}{.}{.}\)


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Primentus
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  Beitrag No.99, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-01

Hallo cramilu, ja, sehr anschauliches Beispiel in Bezug auf die Verwendung des Dezimaltrennzeichens mit sogar 10 korrekten Dezimalstellen. In gewisser Weise interessant ist eine solche Konstruktionsweise zwar ebenso, aber letztlich natürlich nicht im Sinne des Erfinders bei der Suche nach Pi-Näherungen. Insofern möchte ich auch festlegen, dass ab sofort auch keine Pi-Näherungen mit Dezimaltrennzeichen mehr in die Rekordliste eingetragen werden. LG Primentus


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cramilu
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  Beitrag No.100, eingetragen 2022-08-02

Ein kurzer 9-er-Hüftschuss: \(\frac{\,1_\phantom{q}}{\,6\,089^\phantom{b}}\;-\;4\;+\;\sqrt{\,51^\phantom{b}}\;\;\approx\;\;3{,}141\,592\,6\underline59\,122\,8{.}{.}{.}\) Als Datum käme z.B. der \(15.\,04.~1986\) infrage. Politisch Interessierte werden sich erinnern: An jenem Donnerstag beschossen die Libyer die italienische Insel Lampedusa mit zwei Scud-B- Raketen sowjetischer Bauart. Welche einen Kilometer vor der Küste ins Meer stürzten. Und noch etwas Schlaudahergerede zu tactacs frühem Geniestreich mit der sechzehnten Wurzel: \showon So, wie viele die Brüche \(\frac{22}{7}\) und \(\frac{355}{113}\) assoziativ als ordentliche Näherungen für \(\pi\) parat haben, assoziiere ich \(\pi\) seit langem mit "etwas kleiner als \(\sqrt{10}\)". Damit ist dann \(\pi^2\) etwas kleiner als \(10\) , \(\pi^4\) etwas kleiner als \(10^2=100\) , ... und \(\pi^{16}\) etwas kleiner als \(10^8\) , also achtstellig vor dem Komma. Bereits thematisiert: Die sechzehnte Wurzel 'frisst kein Brot' - sprich: verbraucht keine Ziffern. Für den Vorkommaanteil der sechzehnten Potenz von \(\pi\) stehen grundsätzlich genau die acht nötigen Ziffern zur Verfügung. Die mittlere Abweichung der gerundeten achtstelligen Zahl vom wirklichen Wert der sechzehnten Potenz von \(\pi\) wird sich folglich auf höchstens \(0{,}5×10^{-8}\) belaufen, und danach muss das mehrfache Wurzelziehen diese weiter verkleinern. Nun brauchte es also bloß noch das Glück des geistig Tüchtigen, damit sich aus dem entsprechenden Wert auch ein Datum nach Vorgabe bilden lässt. Tschakka! Und als Bonuslohn für die Pfiffigkeit beträgt die Abweichung von \(90\,032\,221\) gegenüber \(\pi^{16}\approx90\,032\,220{,}843\) sogar lediglich etwa \(1{,}74{.}{.}{.}×10^{-9}\) , also bloß gut ein Drittel des im Mittel zu erwartenden. Klar: Hinterher hätte man es wie immer schon wieder vorher gewusst haben können! 😉 tactac jedenfalls hat's vorher gewusst. Chapeau! \showoff


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Primentus
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  Beitrag No.101, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-02

Hallo cramilu, sehr schöne Pi-Näherung mit vergleichsweise einfachen Mitteln, aber dennoch sehr guter Genauigkeit. Es ist Dein zweiter 9er-Fund - super! Vielen Dank für diesen schönen 9er-Fund! Und Du hast zudem sehr trefflich sinniert über die Hintergründe von tactac's raffiniertem Zahlen-Sparen-Wurzelziehen! 👍 LG Primentus


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cramilu
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  Beitrag No.102, eingetragen 2022-08-02

Keine vorschnellen Lobhudeleien! 😎 Mit z.B. dem \(14.\,11.~3377\) geht auch das: \(\frac{\,1_\phantom{q}}{\,4\,717^\phantom{b}}\;+\;\sqrt[3\,]{\,31^\phantom{b}}\;\;\approx\;\;3{,}141\,592\,6\underline51\,543\,396{.}{.}{.}\)


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Primentus
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  Beitrag No.103, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-02

Hallo cramilu, ist eingetragen - ganz ohne Lobhudelei! 😁 LG Primentus


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cramilu
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  Beitrag No.104, eingetragen 2022-08-02

Sorry, dass sich das gerade zeitlich überschneidet, aber mit solch doch präsentablen Griffen hätte ich am heutigen Abend nicht mehr gerechnet: Etwa der \(25.\,05.~3456\) birgt \(\sqrt[5\,]{\,306\;+\;\frac{\,5_\phantom{q}}{\,254^\phantom{b}}^\phantom{b}}\;\;\approx\;\;3{,}141\,592\,6\underline54\,11{.}{.}{.}\) und z.B. der \(28.\,12.~2234\) sogar \((8!)^{(-2)}\;+\;\sqrt{\,\sqrt{\,\frac{\,2\,143_\phantom{q}}{\,22^\phantom{b}}^\phantom{b}}^\phantom{b}}\;\;\approx\;\;3{,}141\,592\,65\underline3\,197\,76{.}{.}{.}\) Bei letzterem dient der vorgeschaltete Behelfssummand lediglich dem Gewinn auch noch der zehnten Stelle. 😉


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Primentus
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  Beitrag No.105, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-02

Hallo cramilu, mich freut es sehr, dass Du noch weitersuchst! Der nächste 9er-Fund von Dir hat soeben die Rekordliste geentert! Bei Deinem zweiten Fund aus dem vorangegangenen Beitrag muss ich nun leider streng sein. Bis vor kurzem hätte ich eine solche Lösung ja noch akzeptiert, aber da mittlerweile die Fakultät bei den Bedingungen ausgeschlossen ist, geht das nun nicht mehr. Dennoch gefällt mir Dein Ausdruck sehr, und natürlich möchte ich festhalten, dass dies dein erster 10er-Fund ist, zu dem ich Dir natürlich sehr herzlich gratuliere! Ohne diesen anfänglichen Behelfssummanden ist es nur so, dass natürlich auch zwei benötigte Ziffern fehlen. Aber alternativ kann man ja $0\cdot 0$ addieren und würde dann z. B. das Datum 14.03.2022 erhalten mit immer noch sehr guten 9 korrekten Dezimalziffern. Na das ist natürlich dann der Knaller schlechthin - der berühmte 14. März sprich 03/14 in amerikanischer Schreibweise passend zum ohnehin bekannten und seit Jahren hochoffiziellen Pi Day und das auch noch genau im Jahr der Entdeckung Deines Fundes! Als solchen trage ich ihn jetzt gerne mal noch in die Liste ein. Ich hoffe, das ist in Deinem Sinne! LG Primentus


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cramilu
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  Beitrag No.106, eingetragen 2022-08-03

Guten Morgen Primentus! Ich selber habe den Überblick verloren, welche Einträge in Deiner Rekordliste mit einer Fakultät behaftet sind. Mit Deinem Vorschlag "0·0 addieren" hast Du mich allerdings gekränkt. Dass ich Banalitäten verabscheue, hatte ich deutlich zum Ausdruck gebracht. Allenthalben könnte man den Bruch mit zehn erweitern, um die beiden Nullen herbeizumogeln. Indes... das braucht es gar nicht - sorge man doch schlicht für einen erlaubten Behelfssummanden im Radikanden! Aus z.B. dem \(29.\,12.~2346\) ergibt sich so \(\sqrt{\,\sqrt{\;6^{-9}\;+\;\frac{\,2\,143_\phantom{q}}{\,22^\phantom{b}}^\phantom{b}}^\phantom{b}}\;\;\approx\;\;3{,}141\,592\,65\underline3\,382\,718{.}{.}{.}\) 😎


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tactac
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  Beitrag No.107, eingetragen 2022-08-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\) Folgendes liegt noch etwas näher als querins letzte Näherung, glaube ich. Leider wird eine Fakultät verwendet: 28.12.2247: $$ 1 + {\sqrt{2}}^{\sqrt{2 + \sqrt{8}}} - {7}^{-(4 \cdot \sqrt{\sqrt{4! + \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}})}\approx 3.141592653589746$$\(\endgroup\)


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Bernhard
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  Beitrag No.108, eingetragen 2022-08-03

Hallo! Ich verfolge diesen Thraed mit Interesse. Deshalb eine Frage und Anregung zwischendurch. Wenn man die Bedingungen noch etwas verschärft und wirklich nur die Grundrechenarten und Klammern zuläßt - oder allgemein nur algebraische Funktionen - und das bei einer endlichen Zahl von Ziffern (hier sind es acht), dann müßte man doch irgendwann an ein Ende kommen, es müßte also eine nicht mehr zu toppende Annäherung zu Pi geben. Die herauszufinden ist dann eine andere Sache. Gehe ich mit dieser Annahme richtig? Viele Grüße und viel Spaß weiterhin, Bernhard


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tactac
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  Beitrag No.109, eingetragen 2022-08-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\) \quoteon(2022-08-03 18:33 - Bernhard in Beitrag No. 108) [...] Gehe ich mit dieser Annahme richtig? \quoteoff Natürlich. Wenn man nur die vier Grundrechenarten zulässt, wäre ja höchstens noch Negation als unäre Operation vorhanden. Die zu iterieren bringt aber nichts (anders als bei $\cdot !$ und $\sqrt \cdot$).\(\endgroup\)


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Primentus
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  Beitrag No.110, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-03

Hallo cramilu, sorry, es war nicht meine Absicht, Dich zu kränken. Sicherlich ist meine vorgeschlagene Modifikation, $0\cdot 0$ zu addieren, eine Banalität. Ich hatte es leider nicht mehr auf dem Schirm, dass Du keine solchen Trivialteilausdrücke verwenden magst. Da kann Dich dann wohl auch das schöne Datum 14.03.2022 nicht umstimmen. Wenn man den Bruch aber mit 10 erweitert, hätte man wieder zwei Einsen zu viel. Aber kümmern wir uns lieber um nachfolgendes: Nun hast Du Deinen ersten gültigen 10er-Fund, zu dem ich Dir herzlichst gratulieren möchte. Er ziert nun die Rekordliste und ist führend innerhalb des Reigens von 10 korrekten Dezimalziffern. Edit: Leider habe ich inzwischen auch keinen genauen Überblick mehr, welche bisherigen Einträge der Rekordliste mit Fakultät behaftet sind. Wenn ich am Wochenende etwas Zeit habe, kann ich das vielleicht nochmal nachprüfen und solche Einträge dann mit entsprechender Bemerkung versehen. Neue Einträge mit Fakultät würde ich jetzt aber erstmal nicht mehr aufnehmen wollen. Hallo tactac, das ist ein absolut wunderschöner und rekordverdächtiger Fund von Dir, da es der bislang beste Fund ist, was die möglichst geringe Abweichung zu Pi > 0 betrifft und somit auch der beste Fund innerhalb derer mit 14 korrekten Dezimalziffern ist. Nur leider - wie Du selbst schon sagtest - enthält er die Fakultät. Das ist jetzt natürlich hart, dass diese nun außerhalb der Bedingungen liegt, aber trotzdem können wir Deinen Rekord ja mal hier festhalten. Herzlichen Glückwunsch dazu! Dieser muss auch erst einmal überboten werden, was sicherlich nicht so einfach ist. Hallo Bernhard, die von Dir vorgeschlagene Idee wäre natürlich auch eine Variante, auf Suche zu gehen. Je weniger Rechenoperationen man allerdings zulässt, desto weniger ist es wohl möglich, eine möglichst hohe Anzahl korrekter Dezimalziffern zu erzielen. Ich denke, dass da schon recht früh Schluss wäre. Welche Rechenoperationen würdest Du genau zulassen? Nur noch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Klammersetzung? Oder auch noch das Potenzieren? Und Würzelausdrücke dann gar nicht mehr? Ohne Wurzelausdrücke glaube ich beraubt man sich der Möglichkeit, sehr hohe Genauigkeit zu erreichen, denn diese Methode hat sich hier ja schon als äußerst praktisch erwiesen. LG Primentus


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hyperG
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  Beitrag No.111, eingetragen 2022-08-03

Nur mit den 4 Grundrechenarten und Ganzen Zahlen (also keine "Punkte", Variablen, Potenzen, wissenschaftliche e-Schreibweise oder Symbole), sollten die Brüche die beste Näherung erzeugen. Da nach dem 3stelligen 355 / 113 erst der 5stellige 52163 / 16604 kommt (zu viele Ziffern) frage ich mich auch, ob man mit 8 Ziffern genauer als \sourceon nameDerSprache 30.11.3055: 3550/1130 Abweichung 2.66764189062422312...× 10^-7 \sourceoff werden kann? Natürlich kann man das noch anders umformen, bekommt aber höchstens gleiche Genauigkeit. Oder habe ich da was übersehen?


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cramilu
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  Beitrag No.112, eingetragen 2022-08-03

Ja, das geht! Aber leider nicht mit solchen acht Ziffern, dass man aus ihnen ein Datum wie gefordert bilden kann.


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hyperG
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  Beitrag No.113, eingetragen 2022-08-03

\quoteon(2022-08-03 22:07 - cramilu in Beitrag No. 112) Ja, das geht! Aber leider nicht mit solchen acht Ziffern, dass man aus ihnen ein Datum wie gefordert bilden kann. \quoteoff Egal ob Datum oder nicht: zeige doch mal Dein "Ja, das geht!" mit 8 Ziffern.


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cramilu
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  Beitrag No.114, eingetragen 2022-08-03

\(\frac{22}{7}\;-\;\frac{6}{4{.}745}\)


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hyperG
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  Beitrag No.115, eingetragen 2022-08-03

Ganzzahl ohne Punkt dachte ich, oder hat sich da schon wieder was geändert? Sonst würde doch die hoch primitive 3.1415926 mit 5e-8 viel genauer sein


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cramilu
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  Beitrag No.116, eingetragen 2022-08-03

Das ist ein Tausendertrennpunkt zwecks besserer Lesbarkeit.


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hyperG
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  Beitrag No.117, eingetragen 2022-08-03

OK, akzeptiert. Aber mich irritieren immer "Trennzeichen". \sourceon nameDerSprache 22/7-6/4745-Pi=3.31627806246×10^-10 \sourceoff Also könnte man tatsächlich 2 Grenzwerte mit "nur 4 Grundrechenarten" aufstellen, die Pi am nächsten sind: a) mit denen man ein 8stelliges Datum bilden kann b) egal welche 8 Ziffern


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Hallo cramilu, hallo hyperG, ein weiteres solches Beispiel wäre $$\frac{22}{7}-\frac{9}{7118}$$ mit einer Abweichung von $\approx 8.9154958497578780773\cdot 10^{-8}$ zu Pi. Zugehöriges Datum wäre der 19.12.2778. Edit: Mit $7117$ statt $7118$ ist es sogar noch minimal besser: Abweichung $\approx 8.8504183330596166738\cdot 10^{-8}$ und Datum 19.12.2777. LG Primentus


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  Beitrag No.119, eingetragen 2022-08-04

\quoteon(2022-08-03 21:34 - Primentus in Beitrag No. 110) Edit: Leider habe ich inzwischen auch keinen genauen Überblick mehr, welche bisherigen Einträge der Rekordliste mit Fakultät behaftet sind. \quoteoff Man hätte die Terme in die Tabelle(n) schreiben sollen. Die Tabellen kann man vermutlich statt in ASCII-Art auch mit LaTeX ganz gut darstellen, um das zu unterstützen.


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