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 Leiteroperatoren und Harmonischer Oszillator |
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RogerKlotz
Wenig Aktiv 
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 |  Themenstart: 2022-07-26
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Hallo, ich beschäftige mich aktuell mit dieser Aufgabe:
Betrachten Sie den eindimensionalen harmonischen Oszillator mit Hamiltonoperator:
\[H = \frac{P^{2}}{2m} + \frac{m\omega^{2}}{2}X^{2} = \hbar\omega\left(a^{\dagger}a + \frac{1}{2}\right)\]
mit der Darstellung
\[x = \frac{\alpha}{\sqrt{2}}\left(a+a^{\dagger}\right)\]
\[p = \frac{\hbar}{i\alpha\sqrt{2}}\left(a-a^{\dagger}\right)\]
Zeigen Sie, dass \(a^{\dagger}\left| n \right> =\sqrt{n+1}\left| n+1 \right> \).
Benutzen Sie hierfür in einem ersten Schritt \(a^{\dagger}a\left| n \right> =n\left| n \right>\) um zu zeigen, dass \(a^{\dagger}\left| n \right> \) proportional zu \(\left| n+1 \right>\) ist. In einem zweiten Schritt sollen Sie dann die Norm von \(a^{\dagger}\left| n \right>\) berechnen.
Wie geht man hier nun vor? Wenn ich jetzt \(a^{\dagger}a\) berechne erhalte ich folgenden Ausdruck:
\[a^{\dagger}a = \frac{P^{2}}{2m\hbar\omega} + \frac{m\omega X^{2}}{2\hbar} - \frac{1}{2}\]
Mit ist jetzt nicht klar wie dieser Ausdruck auf \(\left| n \right>\) wirkt. Wie komme ich auf den geforderten Ausdruck?
Wäre dankbar für jegliche Tipps.
LG
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PhysikRabe
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-26
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Zuerst solltest du dir darüber klar werden, was die Symbole bedeuten. Weißt du, dass hier der Hamilton-Operator in Bezug auf die Besetzungszahl dargestellt wird? $|n\rangle$ ist ein Eigenzustand zur Energie $E_n = \hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)$, also Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung $H|n\rangle = E_n |n\rangle$. Die Darstellung $H = \hbar\omega\left(a^{\dagger}a + \frac{1}{2}\right)$ drückt dieses Eigenwertproblem in Termen des Besetzungszahl-Operators $N:=a^{\dagger}a$ aus, nämlich $N|n\rangle=n|n\rangle$, d.h. die $H$ und $N$ haben die selben Eigenzustände.
Um dann zu sehen, dass $a^{\dagger} |n\rangle$ ein Eigenzustand von $N$ zum Eigenwert $n+1$ ist, und damit proportional zu $|n+1\rangle$ sein muss, könntest du ja einmal mit $N$ und $a^{\dagger} |n\rangle$ herumspielen und Vertauschungsrelationen verwenden... Falls noch nicht bekannt, müsstest du natürlich zuerst herleiten, was $[a,a^{\dagger}]$, $[N,a]$ und $[N,a^{\dagger}]$ sind (dazu ist es nötig, $a,a^{\dagger}$ in Termen von $X$ und $P$ auszudrücken, und die Vertauschungsrelationen dieser Operatoren anzuwenden).
Grüße,
PhysikRabe
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RogerKlotz
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-28
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Hallo. Vielen Dank für die Antwort.
Ich habe das mal gemacht
\[\left[a,a^{\dagger}\right] = aa^{\dagger}-a^{\dagger}a = ... = \frac{1}{2}\left(\frac{i}{\hbar}\left[P,X\right] + \frac{i}{\hbar}\left[P,X\right]\right) = 1 \]
\[\left[n,a\right] = na - an = \left(a^{\dagger}a\right)a - a\left(aa^{\dagger}\right) = \left(a^{\dagger}a\right)a - \left(aa^{\dagger}\right)a = -\left[a,a^{\dagger}\right]a = -a \]
\[\left[n,a^{\dagger}\right] = na^{\dagger} - a^{\dagger}n= ... = a^{\dagger}\left[a,a^{\dagger}\right] = a^{\dagger}\]
Führt es jetzt dazu, dass ich \(a^{\dagger}a\left| n \right> =n\left| n \right>\) wie folgt darstelle?
\[a^{\dagger}a\left| n \right> =n\left| n \right>\ = -\left[n,a^{\dagger}\right]\left[n,a\right]\left| n \right> =n\left| n \right>\]
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PhysikRabe
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-28
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Die Vertauschungsrelationen sind richtig, aber ich empfehle $N$ anstelle von $n$ für den Operator zu schreiben, um Verwechslungen zu vermeiden, und...
\quoteon(2022-07-28 10:41 - RogerKlotz in Beitrag No. 2)
\[\left[n,a\right] = na - an = \left(a^{\dagger}a\right)a - a\left(aa^{\dagger}\right) = \left(a^{\dagger}a\right)a - \left(aa^{\dagger}\right)a = -\left[a,a^{\dagger}\right]a = -a \]
\quoteoff
... hier ist das zweite Gleichheitszeichen falsch. Es müsste $[N,a]=\left(a^{\dagger}a\right)a - a\left(a^{\dagger}a\right)$ lauten, denn $N=a^{\dagger}a$.
\quoteon(2022-07-28 10:41 - RogerKlotz in Beitrag No. 2)
Führt es jetzt dazu, dass ich \(a^{\dagger}a\left| n \right> =n\left| n \right>\) wie folgt darstelle?
\[a^{\dagger}a\left| n \right> =n\left| n \right>\ = -\left[n,a^{\dagger}\right]\left[n,a\right]\left| n \right> =n\left| n \right>\]
\quoteoff
Diese Gleichung ist richtig (wenn man $n$ an bestimmten Stellen als den Operator $N$ interpretiert; siehe die oben angesprochene Verwechslungsgefahr), aber tautologisch. $|n\rangle$ wird ja als Eigenzustand von $N$ definiert, es ist daher nicht nötig etwas hier anders darzustellen. (Warum die Lösungen der stationären Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator durch die Besetzungszahl parametrisiert werden können, also $H|n\rangle = E_n |n\rangle$, sollte in der Vorlesung behandelt worden sein; jedenfalls suggeriert das der Aufgabentext. Falls nicht, nimm dir ein Quantenmechanik-Buch deiner Wahl zur Hand. 😉)
Du solltest ja nun zeigen, dass $a^{\dagger} |n\rangle$ proportional zu $|n+1\rangle$ ist. Was bedeutet diese Aussage, und was ist dazu zu zeigen? Ich wiederhole noch einmal: Für jedes $n\in\mathbb{N}$ (inklusive $n=0$) ist $|n\rangle$ ein Eigenzustand von $N$ zum Eigenwert $n$. Entsprechend ist $|n+1\rangle$ ist ein Eigenzustand von $N$ zum Eigenwert $n+1$. Damit sollte klar sein, was zu tun ist.
Grüße,
PhysikRabe
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