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Universität/Hochschule J Dualität Zeit- und Frequenzbereich (FT)
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  Themenstart: 2022-07-30

In einer Aufgabe soll da laut Lösung bei der Rücktransformation von $H(f) = \operatorname{rect}\left({f-f_0\over \Delta f}\right)$ folgendes herauskommen https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-30_200749.png Ich komme jedoch auf folgendes Ergebnis https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-30_195657.png Wenn der Fehler in der zweiten Zeile liegen sollte, habe ich da direkt die Frage. Wenn ich von $h(-f)$ nach $h(t)$ gehe, dann muss ich doch nur die $-f$ mit $t$ tauschen oder etwa nicht? Danke schon mal im voraus


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-31

\quoteon(2022-07-30 20:11 - Sinnfrei im Themenstart) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-30_195657.png \quoteoff Du verhedderst dich in deiner Schreibweise: Die Fouriertransformierte von $H(t)$ ist nicht $h(-f)$, sondern $h(f)$. Daher erhältst du die inverse Fouriertransformierte von $H(f)$, indem du in $h(f)$ das Argument $f$ durch $-t$ ersetzt. Das liefert die in der Musterlösung angegebene Funktion. --zippy


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-31

Ich habe mal die Korrespondenztabelle hinzugefügt, da wir diese in der Klausur verwenden dürfen. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-31_183453.png Dabei habe ich hier das in Zeile 2 versucht anzuwenden. Also von $S(f)$ nach $S(t)$ Jetzt dachte ich mir, dass die $\operatorname{si}$-Fkt. hier das $S(f)$ bzw. aus der Symmetrie-Tab. das $s(-f)$ ist, nur mit einem umgedrehten Vorzeichen. Vielleicht könntest du mir das auch Schritt für Schritt erklären. Ich habe da schon lange drüber nachgedacht aber irgendwie komme ich da durcheinander. \quoteon(2022-07-31 17:32 - zippy in Beitrag No. 1) Daher erhältst du die inverse Fouriertransformierte von $H(f)$, indem du in $h(f)$ das Argument $f$ durch $-t$ ersetzt. Das liefert die in der Musterlösung angegebene Funktion. \quoteoff Daran habe ich auch schon gedacht, jedoch sehe ich das nicht aus der Tabelle und das mit dem tauschen von $f$ mit $-t$ führt doch zu $h(-t)$ und nicht $h(t)$ oder?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-31

\quoteon(2022-07-31 19:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Dabei habe ich hier das in Zeile 2 versucht anzuwenden. \quoteoff Woher kommt diese Zeile denn? Der rot eingerahmte Teil sieht sinnvoll aus, aber was schwarz rechts und links daneben steht, widerspricht dem Verschiebungssatz.


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-31

Dann habe ich den Verschiebungssatz wohl falsch angewendet aber ich weiss noch nicht warum. Das war ja auch meine Befürchtung. Wie geht man denn da vor, also wie man die Verschiebung richtig anwendet. Die Zeile 2, also $S(t)$ transformiert ergibt $s(-f)$ folgt ja aus der Symmetrie durch die Integralrechnung der inversen-FT. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-31_224154.png Das ist aus dem Buch von Ohm/Lüke (Signalübertragung) oder was meinst du? Das in schwarz, rechts und links neben dem in rot markierten Kasten, ist ja von mir. Damit du siehst wie meine Herangehensweise war. Edit: Den Verschiebungssatz angewendet, wäre eigentlich $$\Delta f\operatorname{si} \left({\Delta f\pi f}\right)e^{-j2\pi ft_0}$$ Sieht nur komisch aus, wenn das für $h(-f)$ gelten soll aber wenn man sich das Fourier-Integral anschaut, macht das irgendwie Sinn. Hmm. Dann würde es doch heissen, dass ich einfach nur das Vorzeichen von $f$ in $h(-f)$ umdrehen und das mit t tauschen muss oder? Also $$h(f) = \Delta f \operatorname{si}(\pi \Delta f(-f))e^{-j2\pi(-f)f_0}$$ und dann $$h(t) = \Delta f\operatorname{si}(\pi \Delta f (-t))e^{j2\pi tf_0}$$ und da die $\operatorname{si}$-Fkt. eine gerade Fkt. ist, kann man auch dafür schreiben $$h(t) = \Delta f\operatorname{si}(\pi \Delta f t)e^{j2\pi tf_0}$$ Ist das so gemeint? Sorry das ich gerade etwas auf dem Schlauch stehe aber so eine Schritt für Schritt Transformation, wo man mehrere Transformationssätze beachten muss, habe ich noch nicht gemacht.


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-31

\quoteon(2022-07-31 22:36 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Die Zeile 2, also $S(t)$ transformiert ergibt $s(-f)$ folgt ja aus der Symmetrie durch die Integralrechnung der inversen-FT. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-31_224154.png \quoteoff Dieser Teil ist ja auch, wie alles in dem roten Rahmen, richtig. \quoteon(2022-07-31 22:36 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Wie geht man denn da vor, also wie man die Verschiebung richtig anwendet. \quoteoff Nach meiner Einschätzung lässt du dich von dem Minuszeichen im Argument verwirren. Daher würde ich dir raten: Schreib ausführlicher und unmissverständlich auf, welche Funktion die Fourier-Transformierte (oder die inverse Fourier-Transformierte) welcher Funktion sein soll und gibt Funktionen wie $f\mapsto s(-f)$ einen eigenen Namen.


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-31

Ich habe nochmal in Beitrag No. 4 etwas ergänzt.


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-01

\quoteon(2022-07-31 22:36 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Den Verschiebungssatz angewendet, wäre eigentlich $$\Delta f\operatorname{si} \left({\Delta f\pi f}\right)e^{-j2\pi ft_0}$$ \quoteoff Jetzt stimmt der $\exp$-Faktor, aber in dem $\rm sinc$-Faktor davor müsste eigentlich $-f$ stehen (was allerdings nichts ausmacht, da der sinc gerade ist). \quoteon(2022-07-31 22:36 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Dann würde es doch heissen, dass ich einfach nur das Vorzeichen von $f$ in $h(-f)$ umdrehen und das mit t tauschen muss oder? \quoteoff Aus meiner Sicht ist es nicht sinnvoll, nach solchen "Rezepten" zu suchen, ohne das Problem wirklich verstanden zu haben.


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-01

Wenn doch das Integral hier an der Stelle $$h(-f) = \int_{-\infty}^{\infty}H(t)e^{-j2\pi ft}dt$$ ist und $H(t) = \operatorname{rect}\left(t-f_0\over \Delta f\right)$ Dann wäre der Verschiebungssatz nach $h(-f)$ ja wie folgt. $$h(-f) = \Delta f\operatorname{si} (\Delta f\pi f)e^{-j2\pi ff_0}$$ So kenne ich den Verschiebungssatz. Ein $-f$ im $\operatorname{si}$ sehe ich bei der Verschiebung jetzt nicht.


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-08-01

Ich setze mal $H_0(f)=\operatorname{rect}(f/\Delta f)$ und bezeichne die inverse Fourier-Transformierte davon mit $h_0(t)$. Du willst jetzt die Fourier-Transformierte von $H(t)=H_0(t-f_0)$ ausrechnen. 1. Der Verschiebungssatz sagt dir, dass das das Produkt aus der Fourier-Transformierten von $H_0(t)$ und dem Faktor $\exp(-j2\pi ff_0)$ ist. 2. Der Zusammenhang zwischen Fourier-Transformation und inverser Fourier-Transformation sagt dir, dass $h_0(-f)$ die Fourier-Transformierten von $H_0(t)$ ist. Also erhältst du insgesamt das Produkt $h_0(-f)\cdot\exp(-j2\pi f_0f)$. Und du siehst: In dem linken sinc-Faktor steht $-f$, in dem rechten exp-Faktor steht $f$.


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-01

Ja aber hinter $h_0(-f)$ steckt ja das Fourier-Integral, was ich einen Beitrag davor geschrieben habe. Sagen wir mal, ich würde $h(t) = \operatorname{rect}\left(t-T/2\over T\right)$ fourier-transformieren. Dann erhalte ich doch auch $$H(f) = T\operatorname{si}(\pi f T)e^{-j2\pi f T/2}\quad (1)$$ Warum sollte das jetzt hier anders sein? Das f ist hier auch nicht negativ. Du schreibst $h_0(-f)$ hast aber glaube ich das Fourier-Integral dahinter vergessen. Das Ergebnis ist $h_0(-f)$, das streite ich ja nicht ab aber $h_0(-f)$ ist die Fourier-Transformation von $\operatorname{rect}\left(t-f_0\over \Delta f\right)$ Also wie in $(1)$. Bei der normalen Transformation schreibst du ja auch nicht, dass es $-f$ in der $\operatorname{si}$-Fkt. ist oder?


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zippy
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-08-01

Wir sind jetzt schon beim 11. Beitrag und ich muss leider feststellen: Ich habe keine Lust mehr.


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-01

Dito. Vielleicht kann mir ja ein anderer sagen, ob das was ich geschrieben habe richtig ist. Da ich mir schon sehr sicher bin. Trotzdem danke für deine Hilfe.


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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-01

Also laut meinem Mathe Professor hast du Recht und $$h(f) = \int_{-\infty}^{\infty}H(t)e^{-j2\pi ft}dt$$ stimmt soweit. Nun Frage ich mich, warum man dann in der Herleitung der Symmetrie-Eigenschaft, folgendes geschrieben hat $$s(-f) = \int_{-\infty}^{\infty}S(t)e^{-j2\pi ft}dt$$ Es sieht so aus, als würde es keinen Unterschied machen, ob ich hinterher $h(f)$ oder $s(-f) = h(-f)$ habe. Der Integrand ist ja der selbe oder? Ich denke hier ist mein Problem. Also deins ist auf jeden Fall richtig. Daher entschuldige ich mich an der Stelle, was auch durch Unwissenheit zustande gekommen ist. Gesamte Herleitung der Symmetrie-Eigenschaft: $$S(f) = \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-j2\pi ft}dt\quad(1)$$ $$s(t) = \int_{-\infty}^{\infty}S(f)e^{j2\pi ft}df\quad(2)$$ substituiere $t = -t$ in $(2)$ $$s(-t) = \int_{-\infty}^{\infty}S(f)e^{-j2\pi ft}df\quad(3)$$ tausche $f\rightarrow t$ $$s(-f) = \int_{-\infty}^{\infty}S(t)e^{-j2\pi ft}dt\quad(4)$$ Deins habe ich zumindest jetzt verstanden. Wenn $$H(t) = \operatorname{rect}\left({t-f_0\over \Delta f}\right)$$ transformiert, $h(f)$ ergibt. Dann muss ich das Argument $f$ nur noch spiegeln und durch $t$ ersetzen, da ja $h(t)$ laut der Korrespondenz-Tab. das im Frequenzbereich gespielte $h(-f)$ ist. So war das denke ich mal von dir gemeint. Dann hat mich an der Stelle die Herleitung an der Stelle $(4)$ verwirrt.


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