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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » FT. Sprung-, rect- & cos-Fkt.
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Universität/Hochschule J FT. Sprung-, rect- & cos-Fkt.
Sinnfrei
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  Themenstart: 2022-08-04

Hallo Leute, kann mir mal jemand auf die schnelle sagen, ob ich die Fourier-Transformierte von $h(t)$ richtig berechnet habe? Bei dem letzten Term $\varepsilon(t-1)$ bin ich mir bei der Verschiebung unsicher, ob die direkt für das Argument der Delta Funktion eingesetzt werden soll oder als e-Term. Da das ja eine Verschiebung um t-1 nach rechts ist, müsste ich ja so gesehen den Verschiebungssatz anwenden können aber in einer Lösung wird dafür ${\delta(f-1)\over 2} + {1\over j2\pi (f-1)}$ geschrieben. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Transform.jpeg


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-05

Hallo Sinnfrei, $\varepsilon(t-1)$ entsteht durch Verschiebung der Sprungfunktion um 1 nach rechts, daher ist hier der Verschiebungssatz im Zeitbereich anwendbar. Die "Lösung" ist das im Frequenzbereich verschobene Spektrum von $\varepsilon(t)$, sie gehört zu einer anderen (welcher?) Zeitfunktion. Deine erste Zeile ist noch richtig, aber dann hast Du ein paar Rechenfehler: der zweite Term des Faltungsprodukt muss $\operatorname{si}(f-\frac{1}{2}) \exp(-j\pi(f-\frac{1}{2}))$ lauten und das Produkt $\delta(f)\exp(-j2\pi f)$ ist nicht dasselbe wie $\exp(-j2\pi 0)$. Du solltest jede Umformung zumindest für Dich selbst begründen. Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-05

\quoteon(2022-08-05 00:02 - rlk in Beitrag No. 1) Hallo Sinnfrei, $\varepsilon(t-1)$ entsteht durch Verschiebung der Sprungfunktion um 1 nach rechts, daher ist hier der Verschiebungssatz im Zeitbereich anwendbar. Die "Lösung" ist das im Frequenzbereich verschobene Spektrum von $\varepsilon(t)$, sie gehört zu einer anderen (welcher?) Zeitfunktion. \quoteoff Das Spektrum hat ja eine Delta Funktion, daher wäre die Zeitfunktion eine 1 aber weiss jetzt nicht ob das von dir gefragt war, weil da ja noch ein anderer Term addiert wird $(+ {1\over j2\pi f})$ \quoteon(2022-08-05 00:02 - rlk in Beitrag No. 1) Deine erste Zeile ist noch richtig, aber dann hast Du ein paar Rechenfehler: der zweite Term des Faltungsprodukt muss $\operatorname{si}(f-\frac{1}{2}) \exp(-j\pi(f-\frac{1}{2}))$ lauten und das Produkt $\delta(f)\exp(-j2\pi f)$ ist nicht dasselbe wie $\exp(-j2\pi 0)$. Du solltest jede Umformung zumindest für Dich selbst begründen. \quoteoff Ahh jo, hast recht, also das mit dem Vorzeichen im e-Term. Zum zweiten Punkt mit dem Dirac. Wenn ich doch eine Funktion mit einem Dirac multipliziere, erhalte ich doch dann genau den Funktionswert an der Stelle, an dem der Dirac ungleich $0$ ist und das ist ja bei $f=0$. So habe ich das gesehen.


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-05

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-08-05 01:15 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) \quoteon(2022-08-05 00:02 - rlk in Beitrag No. 1) Hallo Sinnfrei, Die "Lösung" ist das im Frequenzbereich verschobene Spektrum von $\varepsilon(t)$, sie gehört zu einer anderen (welcher?) Zeitfunktion. \quoteoff Das Spektrum hat ja eine Delta Funktion, daher wäre die Zeitfunktion eine 1 aber weiss jetzt nicht ob das von dir gefragt war, weil da ja noch ein anderer Term addiert wird $(+ {1\over j2\pi f})$ \quoteoff Nicht ganz. Wenn wir auf die Korrespondenz $$ \varepsilon(t) \circ\!\!-\!\!\bullet \frac{1}{2}\left(\delta(f) + \frac{1}{j2\pi f}\right)$$ den Verschiebungssatz im Frequenzbereich $$ h(t) \circ\!\!-\!\!\bullet H(t) \quad\Rightarrow\quad h(t) \exp(j2\pi f_0 t) \circ\!\!-\!\!\bullet H(f-f_0)$$ anwenden, ergibt sich für $f_0=1$ $$ \varepsilon(t) \exp(j2\pi t) \circ\!\!-\!\!\bullet \frac{1}{2}\left(\delta(f-1) + \frac{1}{j2\pi (f - 1)}\right)$$ womit hoffentlich klar ist, dass die (von wem?) vorgeschlagene Lösung nicht zu der Aufgabe passt. \quoteon \quoteon(2022-08-05 00:02 - rlk in Beitrag No. 1) Deine erste Zeile ist noch richtig, aber dann hast Du ein paar Rechenfehler: der zweite Term des Faltungsprodukt muss $\operatorname{si}(f-\frac{1}{2}) \exp(-j\pi(f-\frac{1}{2}))$ lauten und das Produkt $\delta(f)\exp(-j2\pi f)$ ist nicht dasselbe wie $\exp(-j2\pi 0)$. Du solltest jede Umformung zumindest für Dich selbst begründen. \quoteoff Ahh jo, hast recht, also das mit dem Vorzeichen im e-Term. \quoteoff In der dritten Zeile Deiner Rechnung verdoppelt sich dann noch der Exponent im ersten Term. \quoteon Zum zweiten Punkt mit dem Dirac. Wenn ich doch eine Funktion mit einem Dirac multipliziere, erhalte ich doch dann genau den Funktionswert an der Stelle, an dem der Dirac ungleich $0$ ist und das ist ja bei $f=0$. So habe ich das gesehen. \quoteoff Du verwechselst das wohl mit der Siebeigenschaft der Deltafunktion $$\int_{-\infty}^\infty g(f) \delta(f-f_0)\,\dd f = g(f_0)$$ aber in dem Beispiel kommt kein solches Integral vor. Auch physikalisch sollte es klar sein: der Term $\frac{1}{2}\delta(f)$ beschreibt ja eine Spektrallinie, die durch den Gleichanteil $\frac{1}{2}$ des Einheitssprungs entsteht. Letzterer ändert sich durch die Verschiebung auf $\varepsilon(t-1)$ nicht, daher kann die Spektrallinie nicht verschwinden. Servus, Roland


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-08

Hier komme ich jetzt auf folgendes Ergebnis https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-08_143757.png Auch hier bleibt die Delta Funktion aufgrund der nicht vorhandenen Faltung bzw. Sieb-Eigenschaft


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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-08

Hallo Sinnfrei, bis auf den Faktor 2 im Exponenten des ersten Terms ist Dein Ergebnis richtig. Servus, Roland


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