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  Abitur 1962 - Fehlendes Verständnis |
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stpolster
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 |  Themenstart: 2022-08-12
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Hallo,
nachfolgende Abituraufgabe stammt von 1962. Mein Problem, ich verstehe die Aufgabenstellung a) nicht. Ich weiß nicht, was hier gerechnet werden soll:
Die Länge des Rohlings ist doch mit 140 mm angegeben.
Ich vermute, ich habe keine Ahnung, wie so ein Niet hergestellt wird.
Aufgabe 2
Niete werden aus Rundstahl durch Pressen in eine Form (Gesenk) hergestellt.
Nebenstehende Skizze zeigt die Ansicht eines solchen Nietes. Die Maße sind der Skizze zu entnehmen.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55482_a14.jpg
Der zylindrische Teil des Niets hat den gleichen Querschnitt wie der verwendete Rohling und verbreitert sich hyperbolisch ($A$ und $B$ sind die Scheitel der Hyperbel), während der Setzkopf die Form eines halben Ellipsoids hat.
a) Wie lang muss der Rohling sein, aus dem dieser Niet hergestellt wird?
b) Wieviele Rohlinge können aus 3 m langem Rundstahl hergestellt werden? Wieviel Prozent Abfall entsteht dabei?
Danke für einen Hinweis.
Steffen
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OlgaBarati
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-12
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Hallo Steffen,
auf der Zeichnung ist der fertige Niet
abgebildet. Gesucht ist die Länge des Rohlings.
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stpolster
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-12
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Ich vermute also, ohne Ahnung:
Der Rohling wird irgendwie in einer speziellen Form zusammengepresst, so dass der obere Teil des Rohlings breiter wird, bis er das Halbellipsoid bildet.
Bedeutet das, dass ich das Volumen des Niets bestimmen soll und mit diesem Wert die Länge eines Rohlings gleichen Volumens?
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cramilu
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-12
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Hallo Steffen,
die angegebenen 140 mm sind die Länge des fertigen
Presslings, nicht des Rohlings!
Lass' doch mal alles oberhalb von A und B um die
Längsachse rotieren und ermittele das Volumen.
Welche Länge muss dann ein Zylinder mit einem
Durchmesser von 20 mm haben, um auf das gleiche
Volumen zu kommen?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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OlgaBarati
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-12
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Ja, und der Durchmesser des Rohlings ist auch gegeben.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Diophant
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-12
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Hallo Steffen,
\quoteon(2022-08-12 18:32 - stpolster in Beitrag No. 2)
Ich vermute also, ohne Ahnung:
Der Rohling wird irgendwie in einer speziellen Form zusammengepresst, so dass der obere Teil des Rohlings breiter wird, bis er das Halbellipsoid bildet.
Bedeutet das, dass ich das Volumen des Niets bestimmen soll und mit diesem Wert die Länge eines Rohlings gleichen Volumens?
\quoteoff
Ich würde das auch so sehen. Gemeint ist also ein Vollniet und man muss einfach die Volumina von zwei Rotationskörpern berechnen.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Integralrechnung' von Diophant]
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stpolster
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-12
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Danke an alle.
Jetzt habe ich es verstanden.
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OlgaBarati
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Dabei seit: 16.11.2018
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-12
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@Diophant
Die Zeichnung stellt eindeutig einen Vollniet dar.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Diophant
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-08-12
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@OlgaBarati:
\quoteon(2022-08-12 18:49 - OlgaBarati in Beitrag No. 7)
@Diophant
Die Zeichnung stellt eindeutig einen Vollniet dar.
\quoteoff
Ja, danke für die Ergänzung. Das ist mir dann nach einigem Grübeln auch klargeworden, daher habe ich den entsprechenden Teil meiner Antwort wieder entfernt.
Trotzdem gehört so etwas IMO in eine gute Aufgabenformulierung mit hinein!
Gruß, Diophant
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cramilu
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-08-12
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@stpolster:
Bloß, weil ich solche Techniken klasse finde,
im Folgenden noch ein Kurzvideo zur weiteren
Verarbeitung solcher Niete. Man rufe sich dabei
gerne auch die Bordwand der "Titanic" oder die
Tenderverkleidung einer Dampflokomotive vors
innere Auge... Warm-/Heißnieten
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OlgaBarati
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| Beitrag No.10, eingetragen 2022-08-12
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Zu nennen und sogar zu besichtigen ist da doch der Eifelturm. Etwa 2.500.000 dieser Niete halten das Wahrzeichen zusammen.
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Delastelle
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 | Beitrag No.11, eingetragen 2022-08-12
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Hallo stpolster!
Auch ältere Brücken wie das Blaue Wunder Dresden (Baujahr ca.1893) sind mit Nieten gebaut. Es wurden sogar Flugzeuge genietet.
( https://www.amazon.de/Passagier-Jet-152-Ulbrichts-vomÜberflügeln-Westens/dp/3931770699/ref=sr_1_1?__mk_de_DE=ÅMÅŽÕÑ&crid=3BQNXHGQCMEKS&keywords=ulbricht+flugzeug&qid=1660340206&s=books&sprefix=ulbricht+flugzeug%2Cstripbooks%2C91&sr=1-1 )
Beim Blauen Wunder Dresden wurden die Nieten am Boden erhitzt und dann heiß geworfen, mit Zangen(?) gefangen und oben in der Brücke eingesetzt und festgehämmert. Nieten die herunter fielen wurden wieder verwendet.
Viele Grüße
Ronald
Edit:
MP "Wie lange sind Brücken nutzbar?"
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=153384&start=0#p1126228
\sourceon Blaues Wunder Dresden
Ein Blick in die Stahlkonstruktion lässt die gleichmäßige, ästhetisch
anmutende Reihung der über 300000 Nieten erkennen, die das Bauwerk
zusammenhalten. Der heutige Betrachter ahnt nicht, mit welcher Mühe
sie damals eingesetzt wurden. Am Boden im Schmiedefeuer zur Weißglut
gebracht, wurden sie von Fänger zu Fänger geworfen, bis sie am
Einsatzort von Hand vernietet wurden. Oftmals konnte der Fänger den
zugeworfenen Niet mit seiner Zange nicht fassen, die
heruntergefallenen Nieten sammelten Schulkinder für wenige Pfennige
Lohn auf und brachten sie zur Feuerstelle zurück,
\sourceoff
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stpolster
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-13
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Danke für die Hinweise auf der Verwendung der Niete.
Ich habe die Aufgabe gelöst. Es wäre nett, wenn jemand sich es mal ansehen würde, ob ich mich nicht vertan habe.
Danke
Lösung
a) Der Niet setzt sich aus drei Teilkörpern zusammen, einem Halbellipsoid, einem Rotationshyperboloid und einem Zylinder.
Halbellipsoid: Die Halbachsen sind $a=b= 2,5$ cm und $c= 1,5$ cm. $$V = \frac{4}{6} \pi\cdot abc = \frac{4}{6} \pi \cdot 2,5^2 \cdot 1,5 = \frac{25}{4} \pi \approx 19,6 \text{ cm}^3$$
Zylinder: Radius $r =1$ cm, Höhe $h = 10,9$ cm. $$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 1^2 \cdot 10,9 = 10,9 \pi \approx 34,2 \text{ cm}^3$$
Das Hyperboloid hat die Randhyperbel $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ mit den Punkten (in cm) $B(1, 0)$ und $C(1,5, 1,6)$. Die Halbachsen sind damit $a=1$ und $b = \frac{16}{25}\sqrt 5$.
Die Gleichung der Hyperbel ist
\[
x^2 - \frac{125 y^2}{256} = 1
\]
Das Volumen des Hyperboloids ergibt sich mittels Umkehrkurve $$\overline{y} = \frac{1}{16} \sqrt{125x^2+256}$$ in den Grenze $x_1 = 0$ und $x_2 = 1,6$:
\[
V = \pi \int \limits_{0}^{1,6} \left[\frac{1}{16} \sqrt{125x^2+256}\right]^2 dx =
\pi \left[\frac{y(125y^2+768)}{768}\right]_0^{1,6} = \frac{34}{15} \pi \approx 7,1 \text{ cm}^3
\]
Das Gesamtvolumen des Niets beträgt damit $$V = 19,6 + 34,2 + 7,1 = 60,9 \text{ cm}^3$$
Der Rohling hat einen Radius $r =1$ cm. Damit dieser das gleiche Volumen, wie der Niet, besitzt, muss er eine Länge von
\[
l = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{60,9}{\pi} \approx 19,4 \text{ cm}
\]
haben.
b) Aus 3 m Rohstall können 15 Niete hergestellt werden. Als Abfall verbleibt ein 9 cm Zylinder, d.h. 3 %.
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Diophant
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| Beitrag No.13, eingetragen 2022-08-13
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Hallo Steffen,
ich habe das gleiche heraus.
(Bei meiner vorigen Antwort hatte ich mich verrechnet und sie schnell wieder gelöscht. Dies nur, falls du sie bereits gesehen hattest.)
Gruß, Diophant
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stpolster
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-13
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Hallo Diophant,
vielen Dank
Steffen
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
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 | Beitrag No.15, eingetragen 2022-08-13
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Wenn ich die Lösung zu bewerten hätte, würde ich zwei Punkte anmerken:
\quoteon(2022-08-13 10:44 - stpolster in Beitrag No. 12)
$V = \frac{4}{6} \pi\cdot abc = \frac{4}{6} \pi \cdot 2,5^2 \cdot 1,5 = \frac{25}{4} \pi \approx 19,6 \text{ cm}^3$
\quoteoff
Die Einheiten verschwinden ab dem zweiten Gleichheitszeichen und tauchen erst beim "$\approx$" wieder aus dem Nichts auf.
\quoteon(2022-08-13 10:44 - stpolster in Beitrag No. 12)
Als Abfall verbleibt ein 9 cm Zylinder
\quoteoff
Die Angaben in der Aufgabenstellung sind in $\rm mm$. Im Rahmen dieser Genauigkeit stimmt dein Ergebnis nicht mit dem exakten Ergebnis $87\mathord,5\,\rm mm$ überein.
--zippy
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stpolster
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-13
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@zippy: Danke
Ich bin mir mit der Genauigkeit nicht sicher. Zur der damaligen Zeit wurde ausschließlich schriftlich und bei solchen Aufgaben mit dem Rechenstab gerechnet. Mit den gerundeten Zwischenergebnisse ist es schwer ein genaueres Ergebnis zu bekommen.
Steffen
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zippy
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| Beitrag No.17, eingetragen 2022-08-13
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Nach deiner Rechnung ist der Abfall in $\rm mm$ doch einfach$$
3000-15\cdot\left(\frac{250}{4}+109+\frac{340}{15}\right) =
3000-\left(937\mathord,5+1635+340\right) = 87\mathord,5 \;.
$$Warum sollte man da zum Rechenstab greifen und runden?
Du hast dir deine Rundungsprobleme nur durch die überflüssige Multiplikation der Zwischenergebnisse mit $\pi$ eingehandelt.
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stpolster
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-13
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Danke zippy.
Ich habe es in meinem "endgültigen" Abituraufgaben-Text entsprechend geändert.
LG Steffen
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