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 Volumen einer Menge mit Transformationssatz berechnen |
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Berpal23
Wenig Aktiv 
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 |  Themenstart: 2022-08-12
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Wie kann ich das Volumen von $M=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x^2+y^2+z^2\leq 9 \text{ und } x^2+y^2\leq 4\}$ berechnen? Mir ist klar, dass die erste Bedingung geometrisch eine Kugel mit Radius 3 darstellt und die zweite Bedingung einen Kreis mit Radius 2. Meine erste Idee wäre Kugelkoordinaten zu benutzen, aber da weiß ich nicht wie ich mit der zweiten Bedingung umgehen soll. Schonmal danke für Hilfe.
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Kampfpudel
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| Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-12
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Hey Berpal23,
folgende Fausregel: Wenn Kugelkoordinaten offensichtlich gehen, dann Kugelkoordinaten.
Wenn irgendwo ein kleines bisschen ein Zylinder mit dabei ist -> Zylinderkoordinaten
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Berpal23
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-12
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Also sollte ich hier Zylinderkoordinaten benutzen, denn $x^2+y^2\leq4$ ist ja „ein bisschen“ Zylinder, oder?
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Kampfpudel
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-12
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Berpal23
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-12
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Dann bekomme ich also $(x,y,z)=(r\cos(\varphi), r\sin(\varphi), h)$. Ich verstehe nicht, was ich als $h$ und was als $r$ wählen muss. Ich würde sagen, $h=2$.
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Kampfpudel
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-12
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Du musst herausfinden, wie die Intervalle für \(r, \varphi\) und \(h\) aussehen. \(h=2\) macht hier keinen Sinn
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Berpal23
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-14
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Ich habe jetzt für das Volumen
$V=\int_{-2}^2\int_{0}^{2\pi}\int_1^{\sqrt{4-z^2}}r dr d\varphi dz$ Stimmt das?
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Kampfpudel
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-14
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Leider nicht. Wie bist du darauf gekommen?
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Berpal23
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-14
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Ich hatte mich vertan, ich glaube das Volumen ist
$\int_{-3}^3\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{9-z^2}}r drd\varphi dz$
Begründung:
Für $r^2=x^2+y^2$ folgt aus der ersten Bedingung $r\leq \sqrt{9-z^2}$ und die zweite Bedingung sagt $r\geq 1$. Also habe ich schonmal die Grenzen für $r$. Damit die erste Bedingung für $z$ erfüllt ist, ist $z\in[-3,3]$.
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2022-08-14
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\quoteon(2022-08-14 16:02 - Berpal23 in Beitrag No. 8)
und die zweite Bedingung sagt $r\geq 1$.
\quoteoff
Die zweite Bedingung im Startbeitrag sieht eher wie $r\le2$ aus.
--zippy
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Berpal23
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-14
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Ich habe die Aufgabe falsch abgetippt. Aber egal, dann versuche ich es mit dir Aufgabe die ich gepostet habe.
Also $r^2\geq 4$ bedeutet $r\geq -2$ und $r^2\leq 9-z^2$ bedeutet $r\leq \sqrt{9-z^2}$. Also würde ich
$\int_{-3}^3\int_{0}^{2\pi}\int_{-2}^{\sqrt{9-z^2}} r dr d\varphi dz$ bekommen.
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-08-14
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\quoteon(2022-08-14 16:46 - Berpal23 in Beitrag No. 10)
Also $r^2\geq 4$ bedeutet $r\geq -2$ und $r^2\leq 9-z^2$ bedeutet $r\leq \sqrt{9-z^2}$.
\quoteoff
Nein, $r$ kann nicht negativ werden.
Für ein gegebenes $z$ ist $r\le\min\left(2,\sqrt{9-z^2}\right)$.
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Berpal23
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-14
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Oje, ich komme hier echt nicht mehr weiter die Integrationsgrenzen zu bestimmen
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
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| Beitrag No.13, eingetragen 2022-08-14
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Es bietet sich eine Fallunterscheidung an (ich ignoriere mal negative $z$-Werte, da $M$ gegen $z\mapsto-z$ symmetrisch ist):
1. Für $0\le z\le\sqrt 5$ läuft $r$ von $0$ bis $2$.
2. Für $\sqrt 5\le z\le3$ läuft $r$ von $0$ bis $\sqrt{9-z^2}$.
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